Program Matematika Indonesia / Indonesian Mathematics Program
Lewati ke konten utama
Daftar Isi Indeks
Cari dalam Buku
Hasil Pencarian:
Tidak ada hasil.
Pengaturan keterbacaan Sblm. Atas Lanjut \(\newcommand{\aatavdots}[1]{\vdots}
\newcommand{\codeword}{}
\newcommand{\identity}{\mathrm{id}}
\newcommand{\notdivide}{\nmid}
\newcommand{\notsubset}{\not\subset}
\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}
\newcommand{\gf}{\operatorname{GF}}
\newcommand{\inn}{\operatorname{Inn}}
\newcommand{\aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\cis}{\operatorname{cis}}
\newcommand{\chr}{\operatorname{char}}
\newcommand{\Null}{\operatorname{Null}}
\newcommand{\transpose}{\text{t}}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}
\newcommand{\amp}{&}
\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}
\newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}}
\)
Latihan 17.6 Latihan Tambahan: Menyelesaikan Persamaan Kubik dan Kuartik
1.
Sempurnakan kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat umum
\begin{equation*}
ax^2 + bx + c = 0
\end{equation*}
sehingga diperoleh
\begin{equation*}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}
\end{equation*}
Diskriminan dari persamaan kuadrat, \(\Delta = b^2 - 4ac\text{,}\) menentukan sifat penyelesaian persamaan tersebut. Jika \(\Delta \gt 0\text{,}\) persamaan memiliki dua penyelesaian real yang berbeda. Jika \(\Delta = 0\text{,}\) persamaan memiliki satu akar real berulang. Jika \(\Delta \lt 0\text{,}\) terdapat dua penyelesaian imajiner yang berbeda.
2.
Tunjukkan bahwa setiap persamaan kubik berbentuk
\begin{equation*}
x^3 + bx^2 + cx + d = 0
\end{equation*}
dapat direduksi ke bentuk \(y^3 + py + q = 0\) dengan melakukan substitusi \(x = y - b/3\text{.}\)
3.
Buktikan bahwa akar pangkat tiga dari \(1\) diberikan oleh
\begin{align*}
\omega & = \frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}\\
\omega^2 & = \frac{-1- i \sqrt{3}}{2}\\
\omega^3 & = 1\text{.}
\end{align*}
4.
Lakukan substitusi
\begin{equation*}
y = z - \frac{p}{3 z}
\end{equation*}
untuk \(y\) dalam persamaan \(y^3 + py + q = 0\) dan peroleh dua penyelesaian \(A\) dan \(B\) untuk \(z^3\text{.}\)
5. Tunjukkan bahwa hasil kali penyelesaian yang diperoleh dalam (4) adalah
\(-p^3/27\text{,}\) dan simpulkan bahwa
\(\sqrt[3]{A B} = -p/3\text{.}\)
6.
Buktikan bahwa semua penyelesaian yang mungkin untuk \(z\) dalam (4) diberikan oleh
\begin{equation*}
\sqrt[3]{A}, \quad \omega \sqrt[3]{A}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{A}, \quad \sqrt[3]{B}, \quad \omega \sqrt[3]{B}, \quad \omega^2 \sqrt[3]{B}
\end{equation*}
dan gunakan hasil ini untuk menunjukkan bahwa tiga penyelesaian yang mungkin untuk \(y\) adalah
\begin{equation*}
\omega^i \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} } + \omega^{2i} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{\ \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}} }\text{,}
\end{equation*}
dengan \(i = 0, 1, 2\text{.}\)
7.
Diskriminan dari persamaan kubik adalah
\begin{equation*}
\Delta = \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}\text{.}
\end{equation*}
Tunjukkan bahwa \(y^3 + py + q=0\)
memiliki tiga akar real, dengan sedikitnya dua di antaranya sama, jika
\(\Delta = 0\text{.}\)
memiliki satu akar real dan dua akar imajiner konjugat jika
\(\Delta \gt 0\text{.}\)
memiliki tiga akar real yang berbeda jika
\(\Delta \lt 0\text{.}\)
8.
Selesaikan persamaan-persamaan kubik berikut.
\(\displaystyle x^3 - 4x^2 + 11 x + 30 = 0\)
\(\displaystyle x^3 - 3x +5 = 0\)
\(\displaystyle x^3 - 3x +2 = 0\)
\(\displaystyle x^3 + x + 3 = 0\)
9.
Tunjukkan bahwa persamaan kuartik umum
\begin{equation*}
x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
\end{equation*}
dapat direduksi menjadi
\begin{equation*}
y^4 + py^2 + qy + r = 0
\end{equation*}
dengan menggunakan substitusi \(x = y - a/4\text{.}\)
10.
Tunjukkan bahwa
\begin{equation*}
\left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (z - p)y^2 - qy + \left( \frac{1}{4} z^2 - r \right)\text{.}
\end{equation*}
11.
Tunjukkan bahwa ruas kanan
Latihan 17.6.10 dapat dinyatakan dalam bentuk
\((my + k)^2\) jika dan hanya jika
\begin{equation*}
q^2 - 4(z - p)\left( \frac{1}{4} z^2 - r \right) = 0\text{.}
\end{equation*}
12.
\begin{equation*}
z^3 - pz^2 - 4rz + (4pr - q^2) = 0\text{.}
\end{equation*}
Dengan menyelesaikan persamaan kubik resolven, nyatakan persamaan yang ditemukan dalam
Latihan 17.6.10 dalam bentuk
\begin{equation*}
\left( y^2 + \frac{1}{2} z \right)^2 = (my + k)^2
\end{equation*}
untuk memperoleh penyelesaian persamaan kuartik.
13.
Gunakan metode ini untuk menyelesaikan persamaan-persamaan kuartik berikut.
\(\displaystyle x^4 - x^2 - 3x + 2 = 0\)
\(\displaystyle x^4 + x^3 - 7 x^2 - x + 6 = 0\)
\(\displaystyle x^4 -2 x^2 + 4 x -3 = 0\)
\(\displaystyle x^4 - 4 x^3 + 3x^2 - 5x +2 = 0\)
