Lewati ke konten utama

Latihan 22.4 Latihan

1.

Hitung setiap nilai berikut.
  1. \(\displaystyle [\gf(3^6) : \gf(3^3)]\)
  2. \(\displaystyle [\gf(128): \gf(16)]\)
  3. \(\displaystyle [\gf(625) : \gf(25) ]\)
  4. \(\displaystyle [\gf(p^{12}): \gf(p^2)]\)
Petunjuk.
Pastikan bahwa yang ditinjau merupakan perluasan lapangan.

2.

Hitung \([\gf(p^m): \gf(p^n)]\text{,}\) dengan \(n \mid m\text{.}\)

3.

Apakah kisi sublapangan dari \(\gf(p^{30})\text{?}\)

4.

Misalkan \(\alpha\) suatu akar dari \(x^3 + x^2 + 1\) di atas \({\mathbb Z}_2\text{.}\) Konstruksikan lapangan hingga berorde \(8\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(x^3 + x^2 + 1\) terurai dalam \({\mathbb Z}_2(\alpha)\text{.}\)
Petunjuk.
Terdapat delapan elemen dalam \({\mathbb Z}_2(\alpha)\text{.}\) Tunjukkan dua akar lain dari \(x^3 + x^2 + 1\) selain \(\alpha\) di antara kedelapan elemen tersebut.

5.

Konstruksikan lapangan hingga berorde \(27\text{.}\)
Petunjuk.
Temukan polinomial tak tereduksi \(p(x)\) dalam \({\mathbb Z}_3[x]\) yang berderajat \(3\) dan tunjukkan bahwa \({\mathbb Z}_3[x]/ \langle p(x) \rangle\) mempunyai \(27\) elemen.

6.

Buktikan atau bantah: \({\mathbb Q}^\ast\) bersifat siklik.

7.

Faktorkan setiap polinomial berikut dalam \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)
  1. \(\displaystyle x^5- 1\)
  2. \(\displaystyle x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\)
  3. \(\displaystyle x^9 - 1\)
  4. \(\displaystyle x^4 +x^3 + x^2 + x + 1\)
Petunjuk.
(a) \(x^5 -1 = (x+1)(x^4+x^3 + x^2 + x+ 1)\text{;}\) (c) \(x^9 -1 = (x+1)( x^2 + x+ 1)(x^6+x^3+1)\text{.}\)

8.

Buktikan atau bantah: \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle \cong {\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x^2 + 1 \rangle\text{.}\)
Petunjuk.
Benar.

9.

Tentukan banyaknya kode siklik dengan panjang \(n\) untuk \(n = 6, 7, 8, 10\text{.}\)

10.

Buktikan bahwa ideal \(\langle t + 1 \rangle\) dalam \(R_n\) merupakan kode dalam \({\mathbb Z}_2^n\) yang terdiri atas semua kata berparitas genap.

11.

Konstruksikan semua kode BCH dengan
  1. panjang \(7\text{.}\)
  2. panjang \(15\text{.}\)
Petunjuk.
(a) Gunakan fakta bahwa \(x^7 - 1 = (x + 1)( x^3 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1)\text{.}\)

12.

Buktikan atau bantah: Terdapat lapangan hingga yang tertutup secara aljabar.
Petunjuk.
Salah.

13.

Misalkan \(p\) prima. Buktikan bahwa lapangan fungsi rasional \({\mathbb Z}_p(x)\) merupakan lapangan tak hingga berkarakteristik \(p\text{.}\)

14.

Misalkan \(D\) suatu daerah integral berkarakteristik \(p\text{.}\) Buktikan bahwa \((a - b)^{p^n} = a^{p^n} - b^{p^n}\) untuk semua \(a, b \in D\text{.}\)

15.

Tunjukkan bahwa setiap elemen dalam suatu lapangan hingga dapat ditulis sebagai jumlah dua kuadrat.

16.

Misalkan \(E\) dan \(F\) sublapangan dari lapangan hingga \(K\text{.}\) Jika \(E\) isomorfik dengan \(F\text{,}\) tunjukkan bahwa \(E = F\text{.}\)

17.

Misalkan \(F \subset E \subset K\) lapangan-lapangan. Jika \(K\) merupakan perluasan separabel dari \(F\text{,}\) tunjukkan bahwa \(K\) juga merupakan perluasan separabel dari \(E\text{.}\)
Petunjuk.
Jika \(p(x) \in F[x]\text{,}\) maka \(p(x) \in E[x]\text{.}\)

18.

Misalkan \(E\) suatu perluasan dari lapangan hingga \(F\text{,}\) dengan \(F\) mempunyai \(q\) elemen. Misalkan \(\alpha \in E\) aljabar atas \(F\) dan berderajat \(n\text{.}\) Buktikan bahwa \(F( \alpha )\) mempunyai \(q^n\) elemen.
Petunjuk.
Karena \(\alpha\) aljabar atas \(F\) dan berderajat \(n\text{,}\) kita dapat menulis sebarang elemen \(\beta \in F(\alpha)\) secara tunggal sebagai \(\beta = a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n - 1} \alpha^{n - 1}\) dengan \(a_i \in F\text{.}\) Terdapat \(q^n\) tupel-\(n\) yang mungkin, yaitu \((a_0, a_1, \ldots, a_{n - 1})\text{.}\)

19.

Tunjukkan bahwa setiap perluasan hingga dari lapangan hingga \(F\) merupakan perluasan sederhana; artinya, jika \(E\) merupakan perluasan hingga dari lapangan hingga \(F\text{,}\) buktikan bahwa terdapat \(\alpha \in E\) sedemikian sehingga \(E = F( \alpha )\text{.}\)

20.

Tunjukkan bahwa untuk setiap \(n\) terdapat polinomial tak tereduksi berderajat \(n\) dalam \({\mathbb Z}_p[x]\text{.}\)

21.

Buktikan bahwa pemetaan Frobenius \(\Phi : \gf(p^n) \rightarrow \gf(p^n)\) yang diberikan oleh \(\Phi : \alpha \mapsto \alpha^p\) merupakan automorfisme berorde \(n\text{.}\)

22.

Tunjukkan bahwa setiap elemen dalam \(\gf(p^n)\) dapat ditulis dalam bentuk \(a^p\) untuk suatu \(a \in \gf(p^n)\) yang tunggal.

23.

Misalkan \(E\) dan \(F\) sublapangan dari \(\gf(p^n)\text{.}\) Jika \(|E| = p^r\) dan \(|F| = p^s\text{,}\) berapakah orde \(E \cap F\text{?}\)

24. Teorema Wilson.

Misalkan \(p\) prima. Buktikan bahwa \((p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\text{.}\)
Petunjuk.
Faktorkan \(x^{p-1} - 1\) di atas \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

25.

Jika \(g(t)\) merupakan polinomial pembangkit minimal bagi kode siklik \(C\) dalam \(R_n\text{,}\) buktikan bahwa suku konstan \(g(x)\) adalah \(1\text{.}\)

26.

Sering kali mungkin terjadi rentetan galat selama transmisi, seperti ketika terjadi lonjakan listrik. Semburan gangguan sesaat semacam itu dapat mengubah beberapa bit berurutan dalam suatu kata kode. Kode siklik memungkinkan pendeteksian rentetan galat semacam itu. Misalkan \(C\) suatu kode siklik-\((n,k)\text{.}\) Buktikan bahwa setiap rentetan galat hingga \(n-k\) digit dapat dideteksi.

27.

Buktikan bahwa gelanggang \(R_n\) dan \({\mathbb Z}_2^n\) isomorfik sebagai ruang vektor.

28.

Misalkan \(C\) suatu kode dalam \(R_n\) yang dibangkitkan oleh \(g(t)\text{.}\) Jika \(\langle f(t) \rangle\) merupakan kode lain dalam \(R_n\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\langle g(t) \rangle \subset \langle f(t) \rangle\) jika dan hanya jika \(f(x)\) membagi \(g(x)\) dalam \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

29.

Misalkan \(C = \langle g(t) \rangle\) suatu kode siklik dalam \(R_n\) dan andaikan bahwa \(x^n - 1 = g(x) h(x)\text{,}\) dengan \(g(x) = g_0 + g_1 x + \cdots + g_{n - k} x^{n - k}\) dan \(h(x) = h_0 + h_1 x + \cdots + h_k x^k\text{.}\) Definisikan \(G\) sebagai matriks \(n \times k\)
\begin{equation*} G = \begin{pmatrix} g_0 & 0 & \cdots & 0 \\ g_1 & g_0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ g_{n-k} & g_{n-k-1} & \cdots & g_0 \\ 0 & g_{n-k} & \cdots & g_{1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & g_{n-k} \end{pmatrix} \end{equation*}
dan \(H\) sebagai matriks \((n-k) \times n\)
\begin{equation*} H = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 0 & h_k & \cdots & h_0 \\ 0 & \cdots & 0 & h_k & \cdots & h_0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ h_k & \cdots & h_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
  1. Buktikan bahwa \(G\) merupakan matriks pembangkit bagi \(C\text{.}\)
  2. Buktikan bahwa \(H\) merupakan matriks pemeriksa paritas bagi \(C\text{.}\)
  3. Tunjukkan bahwa \(HG = 0\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut