Lewati ke konten utama

Latihan 16.11 Latihan Sage

1.

Definisikan dua gelanggang \({\mathbb Z}_{11}\) dan \({\mathbb Z}_{12}\) dengan perintah R = Integers(11) dan S = Integers(12). Untuk setiap gelanggang, gunakan perintah yang sesuai untuk menentukan: apakah gelanggang tersebut hingga, apakah gelanggang tersebut komutatif, apakah gelanggang tersebut merupakan daerah integral, dan apakah gelanggang tersebut merupakan lapangan. Kemudian, gunakan perintah-perintah Sage tunggal untuk mencari orde gelanggang, menampilkan daftar elemennya, dan menghasilkan identitas multiplikatifnya (i.e. \(1\text{,}\) jika ada).

2.

Definisikan R sebagai gelanggang bilangan bulat, \({\mathbb Z}\text{,}\) dengan menjalankan R = ZZ atau R = Integers(). Perintah seperti R.ideal(4) akan membuat ideal utama \(\langle 4\rangle\text{.}\) Perintah yang sama dapat menerima lebih dari satu pembangkit; sebagai contoh, R.ideal(3, 5) akan membuat ideal \(\{a\cdot 3+ b\cdot 5\mid a,b\in{\mathbb Z}\}\text{.}\) Buatlah beberapa ideal dari \({\mathbb Z}\) dengan dua pembangkit dan mintalah Sage menampilkan setiap ideal ketika Anda membuatnya. Jelaskan apa yang Anda amati, lalu buatlah kode yang akan menguji pengamatan Anda pada ribuan contoh yang berbeda.

3.

Buatlah lapangan hingga \(F\) berorde 81 dengan F.<t>=FiniteField(3^4).
  1. Tuliskan daftar elemen \(F\text{.}\)
  2. Peroleh pembangkit-pembangkit \(F\) dengan F.gens().
  3. Peroleh pembangkit pertama \(F\) dan simpan sebagai u dengan u = F.0 (atau sebagai pilihan lain, u = F.gen(0)).
  4. Hitunglah 80 pangkat pertama dari u dan berikan komentar.
  5. Pembangkit yang Anda gunakan di atas merupakan akar suatu polinomial atas \({\mathbb Z}_3\text{.}\) Peroleh polinomial ini dengan F.modulus(), lalu gunakan pengamatan ini untuk menjelaskan entri dalam daftar pangkat Anda yang merupakan pangkat keempat pembangkit tersebut.

4.

Bangun dan analisislah suatu gelanggang hasil bagi sebagai berikut:
  1. Gunakan P.<z>=Integers(7)[] untuk mengonstruksi gelanggang \(P\) yang terdiri atas polinomial dalam \(z\) dengan koefisien dari \({\mathbb Z}_7\text{.}\)
  2. Gunakan K = P.ideal(z^2+z+3) untuk membangun ideal utama \(K\) yang dibangkitkan oleh polinomial \(z^2+z+3\text{.}\)
  3. Gunakan H = P.quotient(K) untuk membangun \(H\text{,}\) gelanggang hasil bagi dari \(P\) oleh \(K\text{.}\)
  4. Gunakan Sage untuk memverifikasi bahwa \(H\) merupakan lapangan.
  5. Seperti dalam latihan sebelumnya, peroleh sebuah pembangkit dan periksa kumpulan pangkat yang sesuai dari pembangkit tersebut.
Sblm.Paling AtasLanjut