Diberikan dua subruang \(U\) dan \(W\) dari suatu ruang vektor \(V\text{,}\) jumlah keduanya, \(U+W\text{,}\) dapat didefinisikan sebagai himpunan\(U+W=\{u+w\mid u\in U,\ w\in W\}\text{;}\) dengan kata lain, himpunan semua jumlah yang mungkin antara suatu elemen dari \(U\) dan suatu elemen dari \(W\text{.}\)
Perhatikan bahwa ini bukan jumlah langsung dalam teks Anda, dan bukan pula metode direct_sum() dalam Sage. Namun, Anda dapat membangun subruang ini dalam Sage sebagai berikut. Ambil basis \(U\) dan basis \(W\) secara terpisah sebagai daftar vektor. Gabungkan kedua daftar dengan menggunakan tanda tambah di antaranya. Kemudian bangun subruang jumlah dengan membuat subruang dari \(V\) yang direntang oleh himpunan tersebut, menggunakan metode .subspace().
Dalam ruang vektor (QQ^10), bangun dua subruang yang Anda perkirakan (a) berdimensi sekitar \(5\) atau \(6\text{,}\) dan (b) memiliki irisan yang merupakan ruang vektor berdimensi sekitar \(2\text{.}\) Bandingkan dimensi masing-masing dengan dimensi irisan \(U\) dan \(W\) (\(U\cap W\text{,}\).intersection() dalam Sage) serta dimensi jumlah \(U+W\text{.}\)
Ulangi eksperimen tersebut dengan dua ruang vektor awal yang berdimensi sekitar \(8\text{,}\) dan dengan irisan sekecil mungkin. Berdasarkan hasil dua eksperimen Anda (atau lebih), rumuskan dugaan umum yang menghubungkan keempat dimensi tersebut.
Kita dapat membangun lapangan dalam Sage yang memperluas bilangan rasional dengan menambahkan akar pangkat empat dari dua, \({\mathbb Q}[\sqrt[4]{2}]\text{,}\) dengan perintah F.<c> = QQ[2^(1/4)]. Lapangan ini merupakan ruang vektor berdimensi \(4\) atas bilangan rasional, dengan basis yang terdiri atas empat pangkat pertama \(c = \sqrt[4]{2}\) (dimulai dari pangkat nol).
Perintah F.vector_space() akan mengembalikan tiga item dalam sebuah tripel (jadi berhati-hatilah ketika menangani keluaran ini untuk mengambil bagian yang Anda perlukan). Bagian pertama keluaran adalah ruang vektor atas bilangan rasional yang isomorfik dengan F. Bagian berikutnya adalah isomorfisma ruang vektor (transformasi linear yang dapat dibalik) dari ruang vektor yang diberikan ke lapangan tersebut, sedangkan bagian ketiga adalah isomorfisma dengan arah berlawanan. Kedua isomorfisma ini kemudian dapat digunakan seperti fungsi. Perhatikan bahwa perilaku ini berbeda dari .vector_space() yang diterapkan pada lapangan hingga. Buatlah contoh-contoh taktrivial yang menunjukkan bahwa isomorfisma ruang vektor ini berperilaku sebagaimana semestinya. (Penyelesaian lengkap akan memuat sekurang-kurangnya empat contoh semacam itu.)
Bangun lapangan hingga \(F\) berorde \(p^n\) dengan cara biasa. Kemudian bangun grup (multiplikatif) semua matriks \(m\times m\) yang dapat dibalik (tak singular) atas lapangan ini dengan perintah G = GL(m, F) (“grup linear umum”). Berapakah orde grup ini? Dengan kata lain, temukan bentuk umum bagi orde grup ini.
Jawaban Anda harus berupa fungsi dari \(m\text{,}\)\(p\text{,}\) dan \(n\text{.}\) Berikan penjelasan lengkap mengenai penalaran di balik penyelesaian Anda (i.e. sesuatu yang menyerupai pembuktian). Berikan pula pengujian dalam Sage yang menunjukkan bahwa jawaban Anda benar.
Petunjuk: G.order() akan membantu Anda menguji dan memverifikasi hipotesis. Contoh-contoh kecil dalam Sage (dengan menampilkan semua elemen grup) dapat membantu intuisi Anda—itulah sebabnya soal ini merupakan latihan Sage. Yang dimaksud kecil adalah matriks \(2\times 2\) dan \(3\times 3\) serta lapangan hingga dengan paling banyak \(2,3,4,5\) elemen. Hasilnya sebenarnya tidak bergantung pada \(p\) dan \(n\) secara terpisah, tetapi hanya pada \(p^n\text{.}\)
Perhatikan bahwa grup ini menarik karena memuat representasi semua transformasi linear yang dapat dibalik (i.e. injektif dan surjektif) dari ruang vektor (hingga) \(F^m\) ke dirinya sendiri.
Apa yang terjadi jika kita mencoba melakukan aljabar linear atas suatu gelanggang yang bukan sekaligus lapangan? Objek yang menyerupai ruang vektor, tetapi memiliki satu perbedaan ini, dikenal sebagai modul. Anda dapat membangunnya dengan mudah menggunakan konstruksi seperti ZZ^3. Evaluasilah perintah berikut untuk membuat modul dan submodul.
M = ZZ^3
u = M([1, 0, 0])
v = M([2, 2, 0])
w = M([0, 0, 4])
N = M.submodule([u, v, w])
Periksalah basis dan dimensi (alias “rank”) modul serta submodul tersebut, dan periksa apakah modul dan submodul itu sama. Apa perbedaannya dengan situasi pada ruang vektor? Dapatkah Anda membuat modul ketiga, P, yang merupakan himpunan bagian sejati dari M dan memuat N secara sejati?
Lapangan hingga \(F\) berorde \(5^3\) merupakan ruang vektor berdimensi 3 atas \({\mathbb Z}_5\text{.}\) Andaikan \(a\) adalah pembangkit \(F\text{.}\) Misalkan \(M\) adalah sebarang matriks \(3\times 3\) dengan entri dari \({\mathbb Z}_5\) (berhati-hatilah di sini: elemen-elemen tersebut berasal dari lapangan skalar, bukan dari ruang vektor). Jika kita mengonversi suatu elemen \(x\in F\) menjadi vektor (relatif terhadap basis \(\{1,a,a^2\}\)), kita kemudian dapat mengalikannya dengan \(M\) (dengan \(M\) di sebelah kiri) untuk menghasilkan vektor lain, yang dapat kita terjemahkan menjadi kombinasi linear elemen-elemen basis, dan dengan demikian menjadi elemen lain dari \(F\text{.}\) Fungsi ini merupakan homomorfisma ruang vektor, yang lebih dikenal sebagai transformasi linear (diimplementasikan dengan representasi matriks relatif terhadap basis \(\{1,a,a^2\}\)). Perhatikan bahwa setiap bagian berikut menjadi semakin tidak umum dan semakin khusus.
Buatlah matriks \(R\) yang tidak dapat dibalik dan berikan contoh untuk menunjukkan bahwa pemetaan yang dideskripsikan oleh \(R\) merupakan homomorfisma ruang vektor dari \(F\) ke \(F\text{.}\)
Buatlah matriks \(M\) yang dapat dibalik. Pemetaan tersebut kini merupakan homomorfisma yang dapat dibalik. Tentukan fungsi inversnya dan berikan contoh untuk memverifikasi sifat-sifatnya.
Karena \(a\) merupakan pembangkit lapangan, pemetaan \(a\mapsto a^5\) dapat diperluas menjadi homomorfisma ruang vektor (i.e. transformasi linear). Temukan matriks \(M\) yang mewujudkan transformasi linear ini, dan dari sini, tentukan bahwa homomorfisma tersebut dapat dibalik.
Tidak satu pun dari tiga bagian sebelumnya membahas sifat perkalian dalam lapangan. Namun, pemetaan dari bagian ketiga juga mempertahankan perkalian dalam lapangan, meskipun pembuktiannya mungkin belum jelas sekarang. Jadi, kita menyatakan bahwa pemetaan ini merupakan automorfisme lapangan yang mempertahankan penjumlahan maupun perkalian. Berikan contoh taktrivial mengenai sifat pemetaan ini yang mempertahankan perkalian. (Pemetaan ini adalah pemetaan Frobenius yang akan dibahas lebih lanjut dalam Bab 21.)
