Lewati ke konten utama

Latihan 14.5 Latihan

1.

Contoh-contoh 14.1.1–14.1.5 dalam bagian pertama masing-masing mendeskripsikan aksi suatu grup \(G\) pada suatu himpunan \(X\text{,}\) yang menghasilkan relasi ekuivalensi yang didefinisikan oleh ekuivalensi-\(G\text{.}\) Untuk setiap contoh, hitung kelas-kelas ekuivalensi dari relasi ekuivalensi tersebut, yaitu \(G\)-kelas ekuivalensi.
Petunjuk.
Contoh 14.1.1: \(0\text{,}\) \({\mathbb R}^2 \setminus \{ 0 \}\text{.}\) Contoh 14.1.2: \(X = \{ 1, 2, 3, 4 \}\text{.}\)

2.

Hitung semua \(X_g\) dan semua \(G_x\) untuk setiap grup permutasi berikut.
  1. \(X= \{1, 2, 3\}\text{,}\) \(G=S_3=\{(1), (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\)
  2. \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\text{,}\) \(G = \{(1), (1 \, 2), (3 \, 4 \, 5), (3 \, 5 \, 4), (1 \, 2)(3 \, 4 \, 5), (1 \, 2)(3 \, 5 \, 4) \}\)
Petunjuk.
(a) \(X_{(1)} = \{1, 2, 3 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 2)} = \{3 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 3)} = \{ 2 \}\text{,}\) \(X_{(2 \, 3)} = \{1 \}\text{,}\) \(X_{(1 \, 2 \, 3)} = X_{(1 \, 3 \, 2)} = \emptyset\text{.}\) \(G_1 = \{ (1), (2 \, 3) \}\text{,}\) \(G_2 = \{(1), (1 \, 3) \}\text{,}\) \(G_3 = \{ (1), (1 \, 2)\}\text{.}\)

3.

Hitung kelas ekuivalensi-\(G\) dari \(X\) untuk setiap himpunan-\(G\) dalam Latihan 14.5.2. Untuk setiap \(x \in X\text{,}\) verifikasikan bahwa \(|G|=|{\mathcal O}_x| \cdot |G_x|\text{.}\)
Petunjuk.
(a) \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 = \{ 1, 2, 3\}\text{.}\)

4.

Misalkan \(G\) adalah grup aditif bilangan real. Misalkan aksi \(\theta \in G\) pada bidang real \({\mathbb R}^2\) diberikan dengan memutar bidang tersebut berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal sejauh \(\theta\) radian. Misalkan \(P\) adalah suatu titik pada bidang selain titik asal.
  1. Tunjukkan bahwa \({\mathbb R}^2\) merupakan himpunan-\(G\text{.}\)
  2. Deskripsikan secara geometris orbit yang memuat \(P\text{.}\)
  3. Carilah grup \(G_P\text{.}\)

5.

Misalkan \(G = A_4\) dan misalkan \(G\) beraksi pada dirinya sendiri melalui konjugasi; yaitu, \((g,h)~\mapsto~ghg^{-1}\text{.}\)
  1. Tentukan kelas-kelas konjugasi (orbit) dari setiap unsur \(G\text{.}\)
  2. Tentukan semua subgrup isotropi untuk setiap unsur \(G\text{.}\)

6.

Carilah kelas-kelas konjugasi dan persamaan kelas untuk setiap grup berikut.
  1. \(\displaystyle S_4\)
  2. \(\displaystyle D_5\)
  3. \(\displaystyle {\mathbb Z}_9\)
  4. \(\displaystyle Q_8\)
Petunjuk.
Kelas-kelas konjugasi untuk \(S_4\) adalah
\begin{gather*} {\mathcal O}_{(1)} = \{ (1) \},\\ {\mathcal O}_{(12)} = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (1 \, 4), (2 \, 3), (2 \, 4), (3 \, 4) \},\\ {\mathcal O}_{(1 \, 2)(3 \, 4)} = \{ (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \},\\ {\mathcal O}_{(123)} = \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 4), (1 \, 4 \, 2), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 4 \, 3), (2 \, 3 \, 4), (2 \, 4 \, 3) \},\\ {\mathcal O}_{(1234)} = \{ (1 \, 2 \, 3 \, 4), (1 \, 2 \, 4 \, 3), (1 \, 3 \, 2 \, 4), (1 \, 3 \, 4 \, 2), (1 \, 4 \, 2 \, 3), (1 \, 4 \, 3 \, 2) \}\text{.} \end{gather*}
Persamaan kelasnya adalah \(1 + 3 + 6 + 6 + 8 = 24\text{.}\)

7.

Tuliskan persamaan kelas untuk \(S_5\) dan untuk \(A_5\text{.}\)

8.

Jika suatu persegi tetap pada tempatnya di bidang, berapa banyak cara berbeda sudut-sudut persegi tersebut dapat diwarnai apabila digunakan tiga warna?
Petunjuk.
\((3^4 + 3^1 + 3^2 + 3^1 + 3^2 + 3^2 + 3^3 + 3^3)/8 = 21\text{.}\)

9.

Berapa banyak cara titik-titik sudut segitiga sama sisi dapat diwarnai dengan menggunakan tiga warna berbeda?

10.

Carilah banyaknya cara sebuah dadu bersisi enam dapat dibuat jika setiap sisinya diberi tanda yang berbeda dengan \(1, \ldots, 6\) titik.

11.

Hingga rotasi, berapa banyak cara permukaan sebuah kubus dapat diwarnai dengan tiga warna berbeda?
Petunjuk.
Grup gerak kaku kubus dapat dideskripsikan oleh permutasi yang diizinkan pada keenam permukaannya dan isomorfik dengan \(S_4\text{.}\) Terdapat siklus identitas, \(6\) permutasi berstruktur \((abcd)\) yang bersesuaian dengan putaran seperempat, \(3\) permutasi berstruktur \((ab)(cd)\) yang bersesuaian dengan putaran setengah, \(6\) permutasi berstruktur \((ab)(cd)(ef)\) yang bersesuaian dengan rotasi kubus terhadap pusat sisi-sisi yang berhadapan, dan \(8\) permutasi berstruktur \((abc)(def)\) yang bersesuaian dengan rotasi kubus terhadap titik-titik sudut yang berhadapan.

12.

Tinjau \(12\) kawat lurus yang sama panjang dengan ujung-ujungnya disolder menjadi satu untuk membentuk rusuk-rusuk kubus. Kawat perak atau tembaga dapat digunakan untuk setiap rusuk. Berapa banyak cara berbeda kubus tersebut dapat dibuat?

13.

Misalkan kita mewarnai setiap sudut dari delapan sudut suatu kubus. Dengan menggunakan tiga warna berbeda, berapa banyak cara sudut-sudut tersebut dapat diwarnai hingga rotasi kubus?

14.

Setiap permukaan tetrahedron beraturan dapat dicat merah atau putih. Hingga rotasi, berapa banyak cara berbeda tetrahedron tersebut dapat dicat?

15.

Misalkan titik-titik sudut segi enam beraturan akan diwarnai merah atau putih. Berapa banyak cara hal ini dapat dilakukan hingga simetri segi enam tersebut?
Petunjuk.
\((1 \cdot 2^6 + 3 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^1)/12 = 13\text{.}\)

16.

Suatu molekul benzena terdiri atas enam atom karbon dan enam atom hidrogen, yang saling terhubung dalam bentuk segi enam seperti dalam Gambar 14.5.1.
  1. Berapa banyak senyawa berbeda yang dapat dibentuk dengan mengganti satu atau lebih atom hidrogen dengan atom klorin?
  2. Carilah banyaknya senyawa kimia berbeda yang dapat dibentuk dengan mengganti tiga dari enam atom hidrogen dalam cincin benzena dengan radikal \(CH_3\text{.}\)
Segi enam dengan atom hidrogen, H, yang terikat pada setiap titik sudut.
Gambar 14.5.1. Cincin benzena

17.

Berapa banyak kelas ekuivalensi fungsi pensakelaran jika variabel masukan \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) dan \(x_3\) dapat dipermutasi oleh sebarang permutasi dalam \(S_3\text{?}\) Bagaimana jika variabel masukan \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) \(x_3\text{,}\) dan \(x_4\) dapat dipermutasi oleh sebarang permutasi dalam \(S_4\text{?}\)
Petunjuk.
\((1 \cdot 2^8 + 3 \cdot 2^6 + 2 \cdot 2^4)/6 = 80\text{.}\)

18.

Berapa banyak kelas ekuivalensi fungsi pensakelaran jika variabel masukan \(x_1\text{,}\) \(x_2\text{,}\) \(x_3\text{,}\) dan \(x_4\) dapat dipermutasi oleh sebarang permutasi dalam subgrup \(S_4\) yang dibangkitkan oleh permutasi \((x_1, x_2, x_3, x_4)\text{?}\)

19.

Sebuah dasi bergaris memiliki \(12\) pita warna. Setiap pita dapat diwarnai dengan salah satu dari empat warna yang mungkin. Berapa banyak dasi dengan pewarnaan berbeda yang mungkin?

20.

Suatu grup beraksi secara setia pada himpunan-\(G\) \(X\) jika identitas merupakan satu-satunya unsur \(G\) yang menetapkan setiap unsur \(X\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(G\) beraksi secara setia pada \(X\) jika dan hanya jika tidak ada dua unsur berbeda dari \(G\) yang mempunyai aksi sama pada setiap unsur \(X\text{.}\)

21.

Misalkan \(p\) prima. Tunjukkan bahwa banyaknya grup abelian berbeda berorde \(p^n\) (hingga isomorfisma) sama dengan banyaknya kelas konjugasi dalam \(S_n\text{.}\)

22.

Misalkan \(a \in G\text{.}\) Tunjukkan bahwa untuk sebarang \(g \in G\text{,}\) \(gC(a) g^{-1} = C(gag^{-1})\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan fakta bahwa \(x \in g C(a) g^{-1}\) jika dan hanya jika \(g^{-1}x g \in C(a)\text{.}\)

23.

Misalkan \(|G| = p^n\) adalah grup nonabelian dengan \(p\) prima. Buktikan bahwa \(|Z(G)| \lt p^{n - 1}\text{.}\)

24.

Misalkan \(G\) adalah grup berorde \(p^n\) dengan \(p\) prima dan \(X\) adalah himpunan-\(G\) hingga. Jika \(X_G = \{ x \in X : gx = x \text{ untuk semua }g \in G \}\) adalah himpunan unsur dalam \(X\) yang tetap di bawah aksi grup, buktikan bahwa \(|X| \equiv |X_G| \pmod{ p}\text{.}\)

25.

Jika \(G\) adalah grup berorde \(p^n\text{,}\) dengan \(p\) prima dan \(n \geq 2\text{,}\) tunjukkan bahwa \(G\) pasti memiliki subgrup sejati berorde \(p\text{.}\) Jika \(n \geq 3\text{,}\) benarkah bahwa \(G\) memiliki subgrup sejati berorde \(p^2\text{?}\)
Sblm.Paling AtasLanjut