Lewati ke konten utama

Bagian 4.1 Subgrup Siklik

Sering kali suatu subgrup sepenuhnya bergantung pada satu elemen grup; artinya, dengan mengetahui elemen tertentu tersebut, kita dapat menghitung setiap elemen lain dalam subgrup itu.

Contoh 4.1.1.

Misalkan kita mempertimbangkan \(3 \in {\mathbb Z}\) dan melihat semua kelipatan (baik positif maupun negatif) dari \(3\text{.}\) Sebagai himpunan, himpunan ini adalah
\begin{equation*} 3 {\mathbb Z} = \{ \ldots, -3, 0, 3, 6, \ldots \}\text{.} \end{equation*}
Mudah dilihat bahwa \(3 {\mathbb Z}\) merupakan subgrup dari bilangan bulat. Subgrup ini sepenuhnya ditentukan oleh elemen \(3\) karena semua elemen lain dalam grup dapat diperoleh dengan mengambil kelipatan \(3\text{.}\) Setiap elemen dalam subgrup tersebut “dibangkitkan” oleh \(3\text{.}\)

Contoh 4.1.2.

Jika \(H = \{ 2^n : n \in {\mathbb Z} \}\text{,}\) maka \(H\) merupakan subgrup dari grup perkalian bilangan rasional tak nol, \({\mathbb Q}^*\text{.}\) Jika \(a = 2^m\) dan \(b = 2^n\) berada dalam \(H\text{,}\) maka \(ab^{-1} = 2^m 2^{-n} = 2^{m-n}\) juga berada dalam \(H\text{.}\) Berdasarkan Proposisi 3.3.8, \(H\) merupakan subgrup dari \({\mathbb Q}^*\) yang ditentukan oleh elemen \(2\text{.}\)

Bukti.
Elemen identitas berada dalam \(\langle a \rangle \) karena \(a^0 = e\text{.}\) Jika \(g\) dan \(h\) merupakan sebarang dua elemen dalam \(\langle a \rangle \text{,}\) maka berdasarkan definisi \(\langle a \rangle\text{,}\) kita dapat menuliskan \(g = a^m\) dan \(h = a^n\) untuk suatu bilangan bulat \(m\) dan \(n\text{.}\) Jadi, \(gh = a^m a^n = a^{m+n}\) kembali berada dalam \(\langle a \rangle \text{.}\) Terakhir, jika \(g = a^n\) berada dalam \(\langle a \rangle \text{,}\) maka invers \(g^{-1} = a^{-n}\) juga berada dalam \(\langle a \rangle \text{.}\) Jelas bahwa sebarang subgrup \(H\) dari \(G\) yang memuat \(a\) harus memuat semua pangkat \(a\) berdasarkan ketertutupan; jadi, \(H\) memuat \(\langle a \rangle \text{.}\) Oleh karena itu, \(\langle a \rangle \) merupakan subgrup terkecil dari \(G\) yang memuat \(a\text{.}\)

Catatan 4.1.4.

Jika kita menggunakan notasi “+”, seperti pada bilangan bulat dengan operasi penjumlahan, kita tulis \(\langle a \rangle = \{ na : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}\)
Untuk \(a \in G\text{,}\) \(\langle a \rangle \) disebut subgrup siklik yang dibangkitkan oleh \(a\text{.}\) Jika \(G\) memuat suatu elemen \(a\) sedemikian sehingga \(G = \langle a \rangle \text{,}\) maka \(G\) merupakan grup siklik. Dalam hal ini, \(a\) merupakan pembangkit dari \(G\text{.}\) Jika \(a\) merupakan elemen suatu grup \(G\text{,}\) kita mendefinisikan orde dari \(a\) sebagai bilangan bulat positif terkecil \(n\) sedemikian sehingga \(a^n= e\text{,}\) dan kita tulis \(|a| = n\text{.}\) Jika tidak terdapat bilangan bulat \(n\) seperti itu, kita mengatakan bahwa orde \(a\) tak hingga dan menuliskan \(|a| = \infty\) untuk menyatakan orde \(a\text{.}\)

Contoh 4.1.5.

Perhatikan bahwa suatu grup siklik dapat mempunyai lebih dari satu pembangkit. Baik \(1\) maupun \(5\) membangkitkan \({\mathbb Z}_6\text{;}\) jadi, \({\mathbb Z}_6\) merupakan grup siklik. Tidak setiap elemen dalam grup siklik harus merupakan pembangkit grup tersebut. Orde \(2 \in {\mathbb Z}_6\) adalah \(3\text{.}\) Subgrup siklik yang dibangkitkan oleh \(2\) adalah \(\langle 2 \rangle = \{ 0, 2, 4 \}\text{.}\)
Grup \({\mathbb Z}\) dan \({\mathbb Z}_n\) merupakan grup siklik. Elemen \(1\) dan \(-1\) merupakan pembangkit bagi \({\mathbb Z}\text{.}\) Kita tentu dapat membangkitkan \({\mathbb Z}_n\) dengan \(1\text{,}\) meskipun mungkin terdapat pembangkit lain dari \({\mathbb Z}_n\text{,}\) seperti dalam kasus \({\mathbb Z}_6\text{.}\)

Contoh 4.1.6.

Grup unit, \(U(9)\text{,}\) dalam \({\mathbb Z}_9\) merupakan grup siklik. Sebagai himpunan, \(U(9)\) adalah \(\{ 1, 2, 4, 5, 7, 8 \}\text{.}\) Elemen \(2\) merupakan pembangkit bagi \(U(9)\) karena
\begin{align*} 2^1 & = 2 \qquad 2^2 = 4\\ 2^3 & = 8 \qquad 2^4 = 7\\ 2^5 & = 5 \qquad 2^6 = 1\text{.} \end{align*}

Contoh 4.1.7.

Tidak setiap grup merupakan grup siklik. Perhatikan grup simetri segitiga sama sisi \(S_3\text{.}\) Tabel perkalian untuk grup ini diberikan dalam Gambar 3.1.7. Subgrup-subgrup dari \(S_3\) ditunjukkan dalam Gambar 4.1.8. Perhatikan bahwa setiap subgrup bersifat siklik; akan tetapi, tidak ada satu elemen pun yang membangkitkan seluruh grup.
Kisi subgrup untuk S-3: bagian teratas adalah S-3; baris kedua memuat identitas, rho-1, rho-2; identitas, mu-1; identitas, mu-2; identitas, mu-3; dan bagian terbawah adalah subgrup identitas.
Gambar 4.1.8. Subgrup dari \(S_3\)

Bukti.
Misalkan \(G\) grup siklik dan \(a \in G\) pembangkit bagi \(G\text{.}\) Jika \(g\) dan \(h\) berada dalam \(G\text{,}\) maka keduanya dapat ditulis sebagai pangkat dari \(a\text{,}\) misalkan \(g = a^r\) dan \(h = a^s\text{.}\) Karena
\begin{equation*} g h = a^r a^s = a^{r+s} = a^{s+r} = a^s a^r = h g\text{,} \end{equation*}
\(G\) bersifat abelian.

Subbagian 4.1.1 Subgrup dari Grup Siklik

Kita dapat mengajukan beberapa pertanyaan menarik mengenai subgrup siklik dari suatu grup dan subgrup dari suatu grup siklik. Jika \(G\) suatu grup, subgrup mana dari \(G\) yang bersifat siklik? Jika \(G\) suatu grup siklik, jenis subgrup apa yang dimiliki \(G\text{?}\)

Bukti.
Perangkat utama yang digunakan dalam bukti ini adalah algoritma pembagian dan Prinsip Urutan Baik. Misalkan \(G\) grup siklik yang dibangkitkan oleh \(a\text{,}\) dan misalkan \(H\) subgrup dari \(G\text{.}\) Jika \(H = \{ e \}\text{,}\) maka jelas \(H\) bersifat siklik. Misalkan \(H\) memuat suatu elemen lain \(g\) yang berbeda dari identitas. Maka \(g\) dapat ditulis sebagai \(a^n\) untuk suatu bilangan bulat \(n\text{.}\) Karena \(H\) merupakan subgrup, \(g^{-1} = a^{-n}\) juga harus berada dalam \(H\text{.}\) Karena salah satu dari \(n\) atau \(-n\) positif, kita dapat mengandaikan bahwa \(H\) memuat pangkat positif dari \(a\) dan \(n \gt 0\text{.}\) Misalkan \(m\) bilangan asli terkecil sedemikian sehingga \(a^m \in H\text{.}\) Bilangan \(m\) seperti itu ada berdasarkan Prinsip Urutan Baik.
Kita menyatakan bahwa \(h = a^m\) merupakan pembangkit bagi \(H\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa setiap \(h' \in H\) dapat ditulis sebagai pangkat dari \(h\text{.}\) Karena \(h' \in H\) dan \(H\) merupakan subgrup dari \(G\text{,}\) berlaku \(h' = a^k\) untuk suatu bilangan bulat \(k\text{.}\) Dengan menggunakan algoritma pembagian, kita dapat mencari bilangan \(q\) dan \(r\) sedemikian sehingga \(k = mq +r\) dengan \(0 \leq r \lt m\text{;}\) jadi,
\begin{equation*} a^k = a^{mq +r} = (a^m)^q a^r = h^q a^r\text{.} \end{equation*}
Jadi \(a^r = a^k h^{-q}\text{.}\) Karena \(a^k\) dan \(h^{-q}\) berada dalam \(H\text{,}\) \(a^r\) juga harus berada dalam \(H\text{.}\) Akan tetapi, \(m\) merupakan bilangan positif terkecil sedemikian sehingga \(a^m\) berada dalam \(H\text{;}\) akibatnya, \(r=0\) sehingga \(k=mq\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{equation*} h' = a^k = a^{mq} = h^q \end{equation*}
dan \(H\) dibangkitkan oleh \(h\text{.}\)

Bukti.
Pertama, misalkan \(a^k=e\text{.}\) Berdasarkan algoritma pembagian, \(k = nq + r\) dengan \(0 \leq r \lt n\text{;}\) jadi,
\begin{equation*} e = a^k = a^{nq + r} = a^{nq} a^r = e a^r = a^r\text{.} \end{equation*}
Karena bilangan bulat positif terkecil \(m\) sedemikian sehingga \(a^m = e\) adalah \(n\text{,}\) \(r= 0\text{.}\)
Sebaliknya, jika \(n\) membagi \(k\text{,}\) maka \(k=ns\) untuk suatu bilangan bulat \(s\text{.}\) Akibatnya,
\begin{equation*} a^k = a^{ns} = (a^n)^s = e^s = e\text{.} \end{equation*}

Bukti.
Kita ingin mencari bilangan bulat terkecil \(m\) sedemikian sehingga \(e = b^m = a^{km}\text{.}\) Berdasarkan Proposisi 4.1.12, bilangan itu adalah bilangan bulat terkecil \(m\) sedemikian sehingga \(n\) membagi \(km\) atau, secara ekuivalen, \(n/d\) membagi \(m(k/d)\text{.}\) Karena \(d\) merupakan faktor persekutuan terbesar dari \(n\) dan \(k\text{,}\) \(n/d\) dan \(k/d\) relatif prima. Jadi, agar \(n/d\) membagi \(m(k/d)\text{,}\) bilangan tersebut harus membagi \(m\text{.}\) Bilangan \(m\) terkecil seperti itu adalah \(n/d\text{.}\)

Contoh 4.1.15.

Mari kita periksa grup \({\mathbb Z}_{16}\text{.}\) Bilangan \(1\text{,}\) \(3\text{,}\) \(5\text{,}\) \(7\text{,}\) \(9\text{,}\) \(11\text{,}\) \(13\text{,}\) dan \(15\) merupakan elemen-elemen dari \({\mathbb Z}_{16}\) yang relatif prima terhadap \(16\text{.}\) Setiap elemen ini membangkitkan \({\mathbb Z}_{16}\text{.}\) Sebagai contoh,
\begin{align*} 1 \cdot 9 & = 9 & 2 \cdot 9 & = 2 & 3 \cdot 9 & = 11\\ 4 \cdot 9 & = 4 & 5 \cdot 9 & = 13 & 6 \cdot 9 & = 6\\ 7 \cdot 9 & = 15 & 8 \cdot 9 & = 8 & 9 \cdot 9 & = 1\\ 10 \cdot 9 & = 10 & 11 \cdot 9 & = 3 & 12 \cdot 9 & = 12\\ 13 \cdot 9 & = 5 & 14 \cdot 9 & = 14 & 15 \cdot 9 & = 7\text{.} \end{align*}
Sblm.Paling AtasLanjut