Lewati ke konten utama

Bagian 18.1 Lapangan Pecahan

Setiap lapangan juga merupakan daerah integral; tetapi, terdapat banyak daerah integral yang bukan lapangan. Sebagai contoh, bilangan bulat \({\mathbb Z}\) membentuk daerah integral, tetapi bukan lapangan. Pertanyaan yang secara alami muncul adalah bagaimana kita dapat mengaitkan suatu daerah integral dengan suatu lapangan. Terdapat cara alami untuk membangun bilangan rasional \({\mathbb Q}\) dari bilangan bulat: bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai hasil bagi formal dari dua bilangan bulat. Bilangan rasional tentu saja membentuk lapangan. Bahkan, dapat ditunjukkan bahwa bilangan rasional merupakan lapangan terkecil yang memuat bilangan bulat. Diberikan suatu daerah integral \(D\text{,}\) pertanyaan kita sekarang adalah bagaimana membangun lapangan terkecil \(F\) yang memuat \(D\text{.}\) Kita akan melakukannya dengan cara yang sama seperti ketika kita membangun bilangan rasional dari bilangan bulat.
Suatu elemen \(p/q \in {\mathbb Q}\) adalah hasil bagi dua bilangan bulat \(p\) dan \(q\text{;}\) tetapi, pasangan bilangan bulat yang berbeda dapat merepresentasikan bilangan rasional yang sama. Misalnya, \(1/2 = 2/4 = 3/6\text{.}\) Kita mengetahui bahwa
\begin{equation*} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \end{equation*}
jika dan hanya jika \(ad = bc\text{.}\) Cara yang lebih formal untuk meninjau masalah ini adalah mengkaji pecahan melalui relasi ekuivalensi. Kita dapat memandang elemen-elemen dalam \({\mathbb Q}\) sebagai pasangan terurut dalam \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\) Hasil bagi \(p/q\) dapat ditulis sebagai \((p, q)\text{.}\) Misalnya, \((3, 7)\) merepresentasikan pecahan \(3/7\text{.}\) Akan tetapi, timbul masalah jika kita meninjau semua pasangan yang mungkin dalam \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\) Tidak ada pecahan \(5/0\) yang bersesuaian dengan pasangan \((5,0)\text{.}\) Selain itu, pasangan \((3,6)\) dan \((2,4)\) sama-sama merepresentasikan pecahan \(1/2\text{.}\) Masalah pertama mudah diselesaikan dengan mensyaratkan koordinat kedua tidak nol. Masalah kedua diselesaikan dengan menganggap dua pasangan \((a, b)\) dan \((c, d)\) ekuivalen jika \(ad = bc\text{.}\)
Jika kita menggunakan pendekatan pasangan terurut alih-alih pecahan, kita dapat mempelajari daerah integral secara umum. Misalkan \(D\) sebarang daerah integral dan misalkan
\begin{equation*} S = \{ (a, b) : a, b \in D \text{ dan } b \neq 0 \}\text{.} \end{equation*}
Definisikan suatu relasi pada \(S\) dengan \((a, b) \sim (c, d)\) jika \(ad = bc\text{.}\)

Bukti.
Karena \(D\) komutatif, \(ab = ba\text{;}\) jadi, \(\sim\) bersifat refleksif pada \(D\text{.}\) Sekarang andaikan bahwa \((a,b) \sim (c,d)\text{.}\) Maka \(ad=bc\) atau \(cb = da\text{.}\) Oleh karena itu, \((c,d) \sim (a, b)\) dan relasi tersebut bersifat simetris. Terakhir, untuk menunjukkan bahwa relasi tersebut bersifat transitif, misalkan \((a, b) \sim (c, d)\) dan \((c, d) \sim (e,f)\text{.}\) Dalam hal ini \(ad = bc\) dan \(cf = de\text{.}\) Mengalikan kedua ruas \(ad = bc\) dengan \(f\) menghasilkan
\begin{equation*} a f d = a d f = b c f = b d e = bed\text{.} \end{equation*}
Karena \(D\) merupakan daerah integral, kita dapat menyimpulkan bahwa \(af = be\) atau \((a,b ) \sim (e, f)\text{.}\)
Kita akan menyatakan himpunan kelas ekuivalensi pada \(S\) dengan \(F_D\text{.}\) Sekarang kita perlu mendefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada \(F_D\text{.}\) Ingat kembali bagaimana pecahan dijumlahkan dan dikalikan dalam \({\mathbb Q}\text{:}\)
\begin{align*} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} & = \frac{ad + b c}{b d};\\ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} & = \frac{ac}{b d}\text{.} \end{align*}
Wajar jika operasi penjumlahan dan perkalian pada \(F_D\) didefinisikan dengan cara serupa. Jika kita menyatakan kelas ekuivalensi dari \((a, b) \in S\) dengan \([a, b]\text{,}\) kita terdorong untuk mendefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada \(F_D\) dengan
\begin{equation*} [a, b] + [c, d] = [ad + b c,b d] \end{equation*}
dan
\begin{equation*} [a, b] \cdot [c, d] = [ac, b d]\text{,} \end{equation*}
secara berturut-turut. Lema berikut menunjukkan bahwa operasi-operasi ini tidak bergantung pada pilihan wakil dari setiap kelas ekuivalensi.

Bukti.
Kita akan membuktikan bahwa operasi penjumlahan terdefinisi dengan baik. Bukti bahwa perkalian terdefinisi dengan baik diserahkan sebagai latihan. Misalkan \([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\) dan \([c_1, d_1] =[ c_2, d_2]\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa
\begin{equation*} [a_1 d_1 + b_1 c_1,b_1 d_1] = [a_2 d_2 + b_2 c_2,b_2 d_2] \end{equation*}
atau, secara ekuivalen, bahwa
\begin{equation*} (a_1 d_1 + b_1 c_1)( b_2 d_2) = (b_1 d_1) (a_2 d_2 + b_2 c_2)\text{.} \end{equation*}
Karena \([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\) dan \([c_1, d_1] =[ c_2, d_2]\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(a_1 b_2 = b_1 a_2\) dan \(c_1 d_2 = d_1 c_2\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{align*} (a_1 d_1 + b_1 c_1)( b_2 d_2) & = a_1 d_1 b_2 d_2 + b_1 c_1 b_2 d_2\\ & = a_1 b_2 d_1 d_2 + b_1 b_2 c_1 d_2\\ & = b_1 a_2 d_1 d_2 + b_1 b_2 d_1 c_2\\ & = (b_1 d_1) (a_2 d_2 + b_2 c_2)\text{.} \end{align*}

Bukti.
Identitas aditif dan multiplikatif masing-masing adalah \([0,1]\) dan \([1,1]\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \([0,1]\) merupakan identitas aditif, perhatikan bahwa
\begin{equation*} [a, b] + [0, 1] = [ a 1 + b 0, b 1] = [a,b]\text{.} \end{equation*}
Mudah ditunjukkan bahwa \([1, 1]\) merupakan identitas multiplikatif. Misalkan \([a, b] \in F_D\) dengan \(a \neq 0\text{.}\) Maka \([b, a]\) juga berada dalam \(F_D\) dan \([a,b] \cdot [b, a] = [1,1]\text{;}\) jadi, \([b, a]\) merupakan invers multiplikatif dari \([a, b]\text{.}\) Demikian pula, \([-a,b]\) merupakan invers aditif dari \([a, b]\text{.}\) Verifikasi sifat asosiatif dan komutatif perkalian dalam \(F_D\) kita serahkan sebagai latihan. Kita juga menyerahkan kepada pembaca untuk menunjukkan bahwa \(F_D\) merupakan grup abelian di bawah penjumlahan.
Tinggal menunjukkan bahwa sifat distributif berlaku dalam \(F_D\text{;}\) memang,
\begin{align*} [a, b] [e, f] + [c, d][ e, f ] & = [a e, b f ] + [c e, d f]\\ & = [a e d f + b f c e, b d f^2 ]\\ & = [a e d + b c e, b d f ]\\ & = [a d e + b c e, b d f ]\\ & = ( [a, b] + [c, d] ) [ e, f ] \end{align*}
sehingga lema terbukti.
Lapangan \(F_D\) dalam Lema 18.1.3 disebut lapangan pecahan atau lapangan hasil bagi dari daerah integral \(D\text{.}\)

Bukti.
Pertama-tama kita akan menunjukkan bahwa \(D\) dapat disematkan ke dalam lapangan \(F_D\text{.}\) Definisikan pemetaan \(\phi : D \rightarrow F_D\) dengan \(\phi(a) = [a, 1]\text{.}\) Maka untuk \(a\) dan \(b\) dalam \(D\text{,}\)
\begin{equation*} \phi( a + b ) = [a+b, 1] = [a, 1] + [b, 1] = \phi(a ) + \phi(b) \end{equation*}
dan
\begin{equation*} \phi( a b ) = [a b, 1] = [a, 1] [b, 1] = \phi(a ) \phi(b); \end{equation*}
jadi, \(\phi\) merupakan homomorfisma. Untuk menunjukkan bahwa \(\phi\) satu-ke-satu, andaikan bahwa \(\phi(a) = \phi( b)\text{.}\) Maka \([a, 1] = [b, 1]\text{,}\) atau \(a = a1 = 1b = b\text{.}\) Terakhir, setiap elemen \(F_D\) dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua elemen dalam \(D\text{,}\) karena
\begin{equation*} \phi(a) [\phi(b)]^{-1} = [a, 1] [b, 1]^{-1} = [a, 1] \cdot [1, b] = [a, b]\text{.} \end{equation*}
Sekarang misalkan \(E\) suatu lapangan yang memuat \(D\) dan definisikan pemetaan \(\psi :F_D \rightarrow E\) dengan \(\psi([a, b]) = a b^{-1}\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(\psi\) terdefinisi dengan baik, misalkan \([a_1, b_1] = [a_2, b_2]\text{.}\) Maka \(a_1 b_2 = b_1 a_2\text{.}\) Oleh karena itu, \(a_1 b_1^{-1} = a_2 b_2^{-1}\) dan \(\psi( [a_1, b_1]) = \psi( [a_2, b_2])\text{.}\)
Jika \([a, b ]\) dan \([c, d]\) berada dalam \(F_D\text{,}\) maka
\begin{align*} \psi( [a, b] + [c, d] ) & = \psi( [ad + b c, b d ] )\\ & = (ad + b c)(b d)^{-1}\\ & = a b^{-1} + c d^{-1}\\ & = \psi( [a, b] ) + \psi( [c, d] ) \end{align*}
dan
\begin{align*} \psi( [a, b] \cdot [c, d] ) & = \psi( [ac, b d ] )\\ & = (ac)(b d)^{-1}\\ & = a b^{-1} c d^{-1}\\ & = \psi( [a, b] ) \psi( [c, d] )\text{.} \end{align*}
Oleh karena itu, \(\psi\) merupakan homomorfisma.
Untuk menyelesaikan bukti teorema, kita perlu menunjukkan bahwa \(\psi\) satu-ke-satu. Andaikan bahwa \(\psi( [a, b] ) = ab^{-1} = 0\text{.}\) Maka \(a = 0b = 0\) dan \([a, b] = [0, b]\text{.}\) Oleh karena itu, kernel \(\psi\) adalah elemen nol \([ 0, b]\) dalam \(F_D\text{,}\) dan \(\psi\) bersifat injektif.

Contoh 18.1.5.

Karena \({\mathbb Q}\) merupakan lapangan, \({\mathbb Q}[x]\) merupakan daerah integral. Lapangan pecahan dari \({\mathbb Q}[x]\) adalah himpunan semua ekspresi rasional \(p(x)/q(x)\text{,}\) dengan \(p(x)\) dan \(q(x)\) berupa polinomial di atas bilangan rasional dan \(q(x)\) bukan polinomial nol. Lapangan ini akan kita nyatakan dengan \({\mathbb Q}(x)\text{.}\)
Bukti korolari-korolari berikut dari Teorema 18.1.4 kita serahkan sebagai latihan.
Sblm.Paling AtasLanjut