Lewati ke konten utama

Latihan 4.5 Latihan

1.

Buktikan atau sangkal setiap pernyataan berikut.
  1. Semua pembangkit dari \({\mathbb Z}_{60}\) adalah prima.
  2. \(U(8)\) bersifat siklik.
  3. \({\mathbb Q}\) bersifat siklik.
  4. Jika setiap subgrup sejati dari suatu grup \(G\) bersifat siklik, maka \(G\) merupakan grup siklik.
  5. Grup yang mempunyai berhingga banyak subgrup merupakan grup hingga.
Petunjuk.
(a) Salah; (c) salah; (e) benar.

2.

Tentukan orde setiap elemen berikut.
  1. \(\displaystyle 5 \in {\mathbb Z}_{12}\)
  2. \(\displaystyle \sqrt{3} \in {\mathbb R}\)
  3. \(\displaystyle \sqrt{3} \in {\mathbb R}^\ast\)
  4. \(\displaystyle -i \in {\mathbb C}^\ast\)
  5. \(\displaystyle 72 \in {\mathbb Z}_{240}\)
  6. \(\displaystyle 312 \in {\mathbb Z}_{471}\)
Petunjuk.
(a) \(12\text{;}\) (c) tak hingga; (e) \(10\text{.}\)

3.

Cantumkan semua elemen dalam setiap subgrup berikut.
  1. Subgrup dari \({\mathbb Z}\) yang dibangkitkan oleh \(7\)
  2. Subgrup dari \({\mathbb Z}_{24}\) yang dibangkitkan oleh \(15\)
  3. Semua subgrup dari \({\mathbb Z}_{12}\)
  4. Semua subgrup dari \({\mathbb Z}_{60}\)
  5. Semua subgrup dari \({\mathbb Z}_{13}\)
  6. Semua subgrup dari \({\mathbb Z}_{48}\)
  7. Subgrup yang dibangkitkan oleh \(3\) dalam \(U(20)\)
  8. Subgrup yang dibangkitkan oleh \(5\) dalam \(U(18)\)
  9. Subgrup dari \({\mathbb R}^\ast\) yang dibangkitkan oleh \(7\)
  10. Subgrup dari \({\mathbb C}^\ast\) yang dibangkitkan oleh \(i\) dengan \(i^2 = -1\)
  11. Subgrup dari \({\mathbb C}^\ast\) yang dibangkitkan oleh \(2i\)
  12. Subgrup dari \({\mathbb C}^\ast\) yang dibangkitkan oleh \((1 + i) / \sqrt{2}\)
  13. Subgrup dari \({\mathbb C}^\ast\) yang dibangkitkan oleh \((1 + \sqrt{3}\, i) / 2\)
Petunjuk.
(a) \(7 {\mathbb Z} = \{ \ldots, -7, 0, 7, 14, \ldots \}\text{;}\) (b) \(\{ 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 \}\text{;}\) (c) \(\{ 0 \}\text{,}\) \(\{ 0, 6 \}\text{,}\) \(\{ 0, 4, 8 \}\text{,}\) \(\{ 0, 3, 6, 9 \}\text{,}\) \(\{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \}\text{;}\) (g) \(\{ 1, 3, 7, 9 \}\text{;}\) (j) \(\{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\)

4.

Tentukan subgrup dari \(GL_2( {\mathbb R })\) yang dibangkitkan oleh setiap matriks berikut.
  1. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1/3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
  5. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)
  6. \(\displaystyle \displaystyle \begin{pmatrix} \sqrt{3}/ 2 & 1/2 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix}\)
Petunjuk.
(a)
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
(c)
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

5.

Tentukan orde setiap elemen dalam \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\)

6.

Tentukan orde setiap elemen dalam grup simetri persegi, \(D_4\text{.}\)

7.

Tentukan semua subgrup siklik dari grup kuaternion, \(Q_8\text{?}\)

8.

Cantumkan semua subgrup siklik dari \(U(30)\text{.}\)

9.

Cantumkan setiap pembangkit dari setiap subgrup berorde 8 dalam \({\mathbb Z}_{32}\text{.}\)

10.

Tentukan semua elemen berorde hingga dalam setiap grup berikut. Di sini “\(\ast\)” menunjukkan himpunan yang unsur nolnya dihapus.
  1. \(\displaystyle {\mathbb Z}\)
  2. \(\displaystyle {\mathbb Q}^\ast\)
  3. \(\displaystyle {\mathbb R}^\ast\)
Petunjuk.
(a) \(0\text{;}\) (b) \(1, -1\text{.}\)

11.

Jika \(a^{24} =e\) dalam suatu grup \(G\text{,}\) apa saja kemungkinan orde \(a\text{?}\)
Petunjuk.
\(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\text{.}\)

12.

Tentukan grup siklik dengan tepat satu pembangkit. Dapatkah Anda menentukan grup siklik dengan tepat dua pembangkit? Empat pembangkit? Bagaimana dengan \(n\) pembangkit?

13.

Untuk \(n \leq 20\text{,}\) grup \(U(n)\) mana yang bersifat siklik? Rumuskan dugaan mengenai hal yang berlaku secara umum. Dapatkah Anda membuktikan dugaan tersebut?

14.

Misalkan
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{dan} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{equation*}
merupakan elemen-elemen dalam \(GL_2( {\mathbb R} )\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(A\) dan \(B\) berorde hingga, tetapi \(AB\) tidak.

15.

Hitung setiap bentuk berikut.
  1. \(\displaystyle (3-2i)+ (5i-6)\)
  2. \(\displaystyle (4-5i)-\overline{(4i -4)}\)
  3. \(\displaystyle (5-4i)(7+2i)\)
  4. \(\displaystyle (9-i) \overline{(9-i)}\)
  5. \(\displaystyle i^{45}\)
  6. \(\displaystyle (1+i)+\overline{(1+i)}\)
Petunjuk.
(a) \(-3 + 3i\text{;}\) (c) \(43- 18i\text{;}\) (e) \(i\)

16.

Ubah bilangan-bilangan kompleks berikut ke bentuk \(a + bi\text{.}\)
  1. \(\displaystyle 2 \cis(\pi / 6 )\)
  2. \(\displaystyle 5 \cis(9\pi/4)\)
  3. \(\displaystyle 3 \cis(\pi)\)
  4. \(\displaystyle \cis(7\pi/4) /2\)
Petunjuk.
(a) \(\sqrt{3} + i\text{;}\) (c) \(-3\text{.}\)

17.

Ubah bilangan-bilangan kompleks berikut ke representasi polar.
  1. \(\displaystyle 1-i\)
  2. \(\displaystyle -5\)
  3. \(\displaystyle 2+2i\)
  4. \(\displaystyle \sqrt{3} + i\)
  5. \(\displaystyle -3i\)
  6. \(\displaystyle 2i + 2 \sqrt{3}\)
Petunjuk.
(a) \(\sqrt{2} \cis( 7 \pi /4)\text{;}\) (c) \(2 \sqrt{2} \cis( \pi /4)\text{;}\) (e) \(3 \cis(3 \pi/2)\text{.}\)

18.

Hitung setiap bentuk berikut.
  1. \(\displaystyle (1+i)^{-1}\)
  2. \(\displaystyle (1 - i)^{6}\)
  3. \(\displaystyle (\sqrt{3} + i)^{5}\)
  4. \(\displaystyle (-i)^{10}\)
  5. \(\displaystyle ((1-i)/2)^{4}\)
  6. \(\displaystyle (-\sqrt{2} - \sqrt{2}\, i)^{12}\)
  7. \(\displaystyle (-2 + 2i)^{-5}\)
Petunjuk.
(a) \((1 - i)/2\text{;}\) (c) \(16(i - \sqrt{3}\, )\text{;}\) (e) \(-1/4\text{.}\)

19.

Buktikan setiap pernyataan berikut.
  1. \(\displaystyle |z| = | \overline{z}|\)
  2. \(\displaystyle z \overline{z} = |z|^2\)
  3. \(\displaystyle z^{-1} = \overline{z} / |z|^2\)
  4. \(\displaystyle |z +w| \leq |z| + |w|\)
  5. \(\displaystyle |z - w| \geq | |z| - |w||\)
  6. \(\displaystyle |z w| = |z| |w|\)

20.

Cantumkan dan gambarkan akar kesatuan ke-6. Apa saja pembangkit grup ini? Apa saja akar kesatuan ke-6 primitif?

21.

Cantumkan dan gambarkan akar kesatuan ke-5. Apa saja pembangkit grup ini? Apa saja akar kesatuan ke-5 primitif?

22.

Hitung setiap bentuk berikut.
  1. \(\displaystyle 292^{3171} \pmod{ 582}\)
  2. \(\displaystyle 2557^{ 341} \pmod{ 5681}\)
  3. \(\displaystyle 2071^{ 9521} \pmod{ 4724}\)
  4. \(\displaystyle 971^{ 321} \pmod{ 765}\)
Petunjuk.
(a) \(292\text{;}\) (c) \(1523\text{.}\)

23.

Misalkan \(a, b \in G\text{.}\) Buktikan pernyataan-pernyataan berikut.
  1. Orde \(a\) sama dengan orde \(a^{-1}\text{.}\)
  2. Untuk setiap \(g \in G\text{,}\) berlaku \(|a| = |g^{-1}ag|\text{.}\)
  3. Orde \(ab\) sama dengan orde \(ba\text{.}\)

24.

Misalkan \(p\) dan \(q\) bilangan prima yang berbeda. Berapa banyak pembangkit yang dimiliki \({\mathbb Z}_{pq}\text{?}\)

25.

Misalkan \(p\) bilangan prima dan \(r\) bilangan bulat positif. Berapa banyak pembangkit yang dimiliki \({\mathbb Z}_{p^r}\text{?}\)

26.

Buktikan bahwa \({\mathbb Z}_{p}\) tidak mempunyai subgrup nontrivial jika \(p\) prima.

27.

Jika \(g\) dan \(h\) masing-masing berorde \(15\) dan \(16\) dalam suatu grup \(G\text{,}\) berapakah orde \(\langle g \rangle \cap \langle h \rangle \text{?}\)
Petunjuk.
\(|\langle g \rangle \cap \langle h \rangle| = 1\text{.}\)

28.

Misalkan \(a\) suatu elemen dalam grup \(G\text{.}\) Tentukan pembangkit bagi subgrup \(\langle a^m \rangle \cap \langle a^n \rangle\text{.}\)

29.

Buktikan bahwa \({\mathbb Z}_n\) mempunyai sejumlah genap pembangkit untuk \(n \gt 2\text{.}\)

30.

Misalkan \(G\) suatu grup dan \(a\text{,}\) \(b \in G\text{.}\) Buktikan bahwa jika \(|a| = m\) dan \(|b| = n\) dengan \(\gcd(m,n) = 1\text{,}\) maka \(\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{ e \}\text{.}\)

31.

Misalkan \(G\) grup abelian. Tunjukkan bahwa elemen-elemen berorde hingga dalam \(G\) membentuk subgrup. Subgrup ini disebut subgrup torsi dari \(G\text{.}\)
Petunjuk.
Elemen identitas dalam sebarang grup berorde hingga. Misalkan \(g, h \in G\) masing-masing berorde \(m\) dan \(n\text{.}\) Karena \((g^{-1})^m = e\) dan \((gh)^{mn} = e\text{,}\) elemen-elemen berorde hingga dalam \(G\) membentuk subgrup dari \(G\text{.}\)

32.

Misalkan \(G\) grup siklik hingga berorde \(n\) yang dibangkitkan oleh \(x\text{.}\) Tunjukkan bahwa jika \(y = x^k\) dengan \(\gcd(k,n) = 1\text{,}\) maka \(y\) harus merupakan pembangkit dari \(G\text{.}\)

33.

Jika \(G\) grup abelian yang memuat sepasang subgrup siklik berorde \(2\text{,}\) tunjukkan bahwa \(G\) harus memuat subgrup berorde \(4\text{.}\) Apakah subgrup ini harus bersifat siklik?

34.

Misalkan \(G\) grup abelian berorde \(pq\) dengan \(\gcd(p,q) = 1\text{.}\) Jika \(G\) memuat elemen \(a\) dan \(b\) yang masing-masing berorde \(p\) dan \(q\text{,}\) tunjukkan bahwa \(G\) bersifat siklik.

35.

Buktikan bahwa subgrup-subgrup dari \(\mathbb Z\) tepat merupakan \(n{\mathbb Z}\) untuk \(n = 0, 1, 2, \ldots\text{.}\)

36.

Buktikan bahwa pembangkit-pembangkit dari \({\mathbb Z}_n\) adalah bilangan bulat \(r\) sedemikian sehingga \(1 \leq r \lt n\) dan \(\gcd(r,n) = 1\text{.}\)

37.

Buktikan bahwa jika \(G\) tidak mempunyai subgrup sejati nontrivial, maka \(G\) merupakan grup siklik.
Petunjuk.
Jika \(g\) merupakan elemen yang berbeda dari identitas dalam \(G\text{,}\) \(g\) harus membangkitkan \(G\text{;}\) jika tidak, \(\langle g \rangle\) merupakan subgrup sejati nontrivial dari \(G\text{.}\)

38.

Buktikan bahwa orde suatu elemen dalam grup siklik \(G\) harus membagi orde grup tersebut.

39.

Buktikan bahwa jika \(G\) grup siklik berorde \(m\) dan \(d \mid m\text{,}\) maka \(G\) harus mempunyai subgrup berorde \(d\text{.}\)

40.

Untuk bilangan bulat \(n\) manakah \(-1\) merupakan akar kesatuan ke-\(n\text{?}\)

41.

Jika \(z = r( \cos \theta + i \sin \theta)\) dan \(w = s(\cos \phi + i \sin \phi)\) dua bilangan kompleks tak nol, tunjukkan bahwa
\begin{equation*} zw = rs[ \cos( \theta + \phi) + i \sin( \theta + \phi)]\text{.} \end{equation*}

42.

Buktikan bahwa grup lingkaran merupakan subgrup dari \({\mathbb C}^*\text{.}\)

43.

Buktikan bahwa akar kesatuan ke-\(n\) membentuk subgrup siklik dari \({\mathbb T}\) yang berorde \(n\text{.}\)

44.

Misalkan \(\alpha \in \mathbb T\text{.}\) Buktikan bahwa \(\alpha^m =1\) dan \(\alpha^n = 1\) jika dan hanya jika \(\alpha^d = 1\) untuk \(d = \gcd(m,n)\text{.}\)

45.

Misalkan \(z \in {\mathbb C}^\ast\text{.}\) Jika \(|z| \neq 1\text{,}\) buktikan bahwa orde \(z\) tak hingga.

46.

Misalkan \(z =\cos \theta + i \sin \theta\) berada dalam \({\mathbb T}\) dengan \(\theta \in {\mathbb Q}\text{.}\) Buktikan bahwa orde \(z\) tak hingga.
Sblm.Paling AtasLanjut