Bagian 1.1 Catatan Singkat tentang Pembuktian
Matematika abstrak berbeda dari ilmu-ilmu lain. Dalam ilmu laboratorium seperti kimia dan fisika, para ilmuwan melakukan eksperimen untuk menemukan prinsip-prinsip baru dan menguji teori. Walaupun matematika sering dimotivasi oleh eksperimen fisik atau simulasi komputer, ketelitiannya ditegakkan melalui penggunaan argumen logis. Dalam mempelajari matematika abstrak, kita menggunakan apa yang disebut pendekatan aksiomatik; artinya, kita mengambil suatu koleksi objek \(\mathcal S\) dan mengasumsikan beberapa aturan mengenai strukturnya. Aturan-aturan ini disebut aksioma. Dengan menggunakan aksioma-aksioma untuk \(\mathcal S\text{,}\) kita ingin menurunkan informasi lain tentang \(\mathcal S\) melalui argumen logis. Kita mensyaratkan agar aksioma-aksioma kita konsisten; artinya, aksioma-aksioma itu tidak boleh saling bertentangan. Kita juga menuntut agar jumlah aksioma tidak terlalu banyak. Jika suatu sistem aksioma terlalu membatasi, hanya akan ada sedikit contoh struktur matematis tersebut.
Suatu pernyataan dalam logika atau matematika adalah penegasan yang bernilai benar atau salah. Perhatikan contoh-contoh berikut:
-
\(3 + 56 - 13 + 8/2 \text{.}\)
-
Semua kucing berwarna hitam.
-
\(2 + 3 = 5\text{.}\)
-
\(2x = 6\) tepat ketika \(x = 4\text{.}\)
-
Jika \(ax^2 + bx + c = 0\) dan \(a \neq 0\text{,}\) maka\begin{equation*} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.} \end{equation*}
-
\(x^3 - 4x^2 + 5 x - 6\text{.}\)
Semua contoh, kecuali contoh pertama dan terakhir, merupakan pernyataan, dan harus bernilai benar atau salah.
Suatu bukti matematis tidak lain adalah argumen yang meyakinkan mengenai kebenaran suatu pernyataan. Argumen semacam itu harus memuat cukup banyak perincian untuk meyakinkan pembacanya; misalnya, kita dapat melihat bahwa pernyataan “\(2x = 6\) tepat ketika \(x = 4\)” salah dengan menghitung \(2 \cdot 4\) dan memperhatikan bahwa \(6 \neq 8\text{,}\) suatu argumen yang akan meyakinkan siapa pun. Tentu saja, kalangan pembaca dapat sangat beragam: bukti dapat ditujukan kepada mahasiswa lain, kepada dosen, atau kepada pembaca suatu buku. Jika bukti menyajikan perincian melebihi yang diperlukan, penjelasannya akan bertele-tele atau ditulis dengan buruk. Jika terlalu banyak perincian dihilangkan, bukti itu mungkin tidak meyakinkan. Sekali lagi, penting untuk selalu mempertimbangkan pembacanya. Siswa sekolah menengah memerlukan jauh lebih banyak perincian daripada mahasiswa pascasarjana. Pedoman yang baik untuk suatu argumen dalam mata kuliah pengantar aljabar abstrak ialah menuliskannya sedemikian rupa sehingga meyakinkan rekan sejawat, baik rekan tersebut mahasiswa lain maupun pembaca lain buku ini.
Mari kita telaah berbagai jenis pernyataan. Suatu pernyataan dapat sesederhana “\(10/5 = 2\text{;}\)” namun, matematikawan biasanya tertarik pada pernyataan yang lebih kompleks seperti “Jika \(p\text{,}\) maka \(q\text{,}\)” dengan \(p\) dan \(q\) keduanya merupakan pernyataan. Jika pernyataan-pernyataan tertentu diketahui atau diasumsikan benar, kita ingin mengetahui apa yang dapat kita katakan mengenai pernyataan-pernyataan lain. Di sini \(p\) disebut hipotesis dan \(q\) disebut kesimpulan. Perhatikan pernyataan berikut: Jika \(ax^2 + bx + c = 0\) dan \(a \neq 0\text{,}\) maka
\begin{equation*}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}
\end{equation*}
Hipotesisnya adalah \(ax^2 + bx + c = 0\) dan \(a \neq 0\text{;}\) kesimpulannya adalah
\begin{equation*}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa pernyataan tersebut sama sekali tidak mengatakan apakah hipotesisnya benar atau tidak. Namun, jika keseluruhan pernyataan ini benar dan kita dapat menunjukkan bahwa \(ax^2 + bx + c = 0\) dengan \(a \neq 0\) benar, maka kesimpulannya harus benar. Bukti pernyataan ini mungkin hanya berupa serangkaian persamaan:
\begin{align*}
ax^2 + bx + c & = 0\\
x^2 + \frac{b}{a}x & = - \frac{c}{a}\\
x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 & = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}\\
\left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 & = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\\
x + \frac{b}{2a} & = \frac{ \pm \sqrt{ b^2 -4ac}}{2a}\\
x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\text{.}
\end{align*}
Jika kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan benar, pernyataan itu disebut proposisi. Proposisi yang sangat penting disebut teorema. Kadang-kadang, alih-alih membuktikan suatu teorema atau proposisi sekaligus, kita memecah bukti tersebut menjadi beberapa modul; artinya, kita membuktikan beberapa proposisi pendukung, yang disebut lema, lalu menggunakan hasil proposisi-proposisi itu untuk membuktikan hasil utama. Jika kita dapat membuktikan suatu proposisi atau teorema, sering kali, dengan upaya yang sangat sedikit, kita dapat menurunkan proposisi terkait lainnya yang disebut korolari.
Subbagian 1.1.1 Beberapa Peringatan dan Saran
Ada beberapa strategi berbeda untuk membuktikan proposisi. Selain menggunakan berbagai metode pembuktian, mahasiswa sering melakukan sejumlah kesalahan umum ketika baru belajar membuktikan teorema. Untuk membantu mahasiswa yang mempelajari matematika abstrak untuk pertama kalinya, di sini kami mencantumkan beberapa kesulitan yang mungkin mereka hadapi dan beberapa strategi pembuktian yang dapat digunakan. Ada baiknya daftar ini dirujuk kembali sebagai pengingat. (Teknik pembuktian lainnya akan tampak sepanjang bab ini dan bagian-bagian selanjutnya dalam buku ini.)
-
Teorema tidak dapat dibuktikan dengan contoh; namun, cara baku untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan bukan teorema ialah memberikan contoh penyangkal.
-
Kuantor itu penting. Kata dan frasa seperti hanya, untuk semua, untuk setiap, dan untuk beberapa memiliki arti yang berbeda.
-
Jangan pernah mengasumsikan hipotesis yang tidak dinyatakan secara eksplisit dalam teorema. Jangan menganggap sesuatu benar begitu saja.
-
Misalkan Anda ingin menunjukkan bahwa suatu objek ada dan tunggal. Pertama-tama tunjukkan bahwa objek semacam itu memang ada. Untuk menunjukkan ketunggalannya, asumsikan bahwa ada dua objek semacam itu, misalkan \(r\) dan \(s\text{,}\) lalu tunjukkan bahwa \(r = s\text{.}\)
-
Kadang-kadang lebih mudah membuktikan kontraposisi suatu pernyataan. Membuktikan pernyataan “Jika \(p\text{,}\) maka \(q\)” tepat sama dengan membuktikan pernyataan “Jika bukan \(q\text{,}\) maka bukan \(p\text{.}\)”
-
Walaupun biasanya lebih baik menemukan bukti langsung bagi suatu teorema, tugas ini kadang-kadang sulit. Mungkin lebih mudah mengasumsikan bahwa teorema yang sedang Anda coba buktikan itu salah, lalu berharap bahwa dalam rangkaian argumen tersebut Anda terpaksa membuat suatu pernyataan yang mustahil benar.
Ingatlah bahwa salah satu tujuan utama matematika tingkat lanjut adalah membuktikan teorema. Teorema merupakan alat yang memungkinkan penerapan matematika yang baru dan produktif. Kita menggunakan contoh untuk memberi wawasan tentang teorema yang sudah ada dan menumbuhkan intuisi mengenai teorema baru apa yang mungkin benar. Penerapan, contoh, dan bukti saling terkait erat—jauh lebih erat daripada yang mungkin tampak pada awalnya.
