Contoh 10.1.1.
Misalkan \(G\) suatu grup abelian. Setiap subgrup \(H\) dari \(G\) merupakan subgrup normal. Karena \(gh = hg\) untuk semua \(g \in G\) dan \(h \in H\text{,}\) selalu berlaku \(gH = Hg\text{.}\)
Bagian 10.1 Grup Hasil Bagi dan Subgrup Normal
Subbagian 10.1.1 Subgrup Normal
Suatu subgrup \(H\) dari grup \(G\) disebut normal dalam G jika \(gH = Hg\) untuk semua \(g \in G\text{.}\) Dengan kata lain, subgrup normal dari suatu grup \(G\) adalah subgrup yang koset kanan dan koset kirinya tepat sama.
Contoh 10.1.2.
Misalkan \(H\) merupakan subgrup dari \(S_3\) yang terdiri atas elemen \((1)\) dan \((12)\text{.}\) Karena
\begin{equation*}
(123) H = \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3) \} \quad \text{dan} \quad H (1 \, 2 \, 3) = \{ (1 \, 2 \, 3), (2 \, 3) \}\text{,}
\end{equation*}
\(H\) bukan subgrup normal dari \(S_3\text{.}\) Akan tetapi, subgrup \(N\text{,}\) yang terdiri atas permutasi \((1)\text{,}\) \((1 \, 2 \, 3)\text{,}\) dan \((1 \, 3 \, 2)\text{,}\) adalah normal karena koset-koset \(N\) ialah
\begin{gather*}
N = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\\
(1 \, 2) N = N (1 \, 2) = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\text{.}
\end{gather*}
Teorema berikut mendasari pemahaman kita mengenai subgrup normal.
Teorema 10.1.3.
Misalkan \(G\) suatu grup dan \(N\) suatu subgrup dari \(G\text{.}\) Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen.
-
Subgrup \(N\) normal dalam \(G\text{.}\)
-
Untuk semua \(g \in G\text{,}\) \(gNg^{-1} \subset N\text{.}\)
-
Untuk semua \(g \in G\text{,}\) \(gNg^{-1} = N\text{.}\)
Bukti.
(1) \(\Rightarrow\) (2). Karena \(N\) normal dalam \(G\text{,}\) \(gN = Ng\) untuk semua \(g \in G\text{.}\) Oleh karena itu, untuk suatu \(g \in G\) dan \(n \in N\text{,}\) terdapat \(n'\) dalam \(N\) sedemikian sehingga \(g n = n' g\text{.}\) Jadi, \(gng^{-1} = n' \in N\text{,}\) atau \(gNg^{-1} \subset N\text{.}\)
(2) \(\Rightarrow\) (3). Misalkan \(g \in G\text{.}\) Karena \(gNg^{-1} \subset N\text{,}\) kita hanya perlu menunjukkan \(N \subset gNg^{-1}\text{.}\) Untuk \(n \in N\text{,}\) \(g^{-1}ng=g^{-1}n(g^{-1})^{-1} \in N\text{.}\) Dengan demikian, \(g^{-1}ng = n'\) untuk suatu \(n' \in N\text{.}\) Oleh karena itu, \(n = g n' g^{-1}\) berada dalam \(g N g^{-1}\text{.}\)
(3) \(\Rightarrow\) (1). Andaikan \(gNg^{-1} = N\) untuk semua \(g \in G\text{.}\) Maka, untuk setiap \(n \in N\text{,}\) terdapat \(n' \in N\) sedemikian sehingga \(gng^{-1} = n'\text{.}\) Akibatnya, \(gn = n' g\text{,}\) atau \(gN \subset Ng\text{.}\) Demikian pula, \(Ng \subset gN\text{.}\)
Subbagian 10.1.2 Grup Hasil Bagi
Jika \(N\) merupakan subgrup normal dari suatu grup \(G\text{,}\) koset-koset \(N\) dalam \(G\) membentuk grup \(G/N\) di bawah operasi \((aN) (bN) = abN\text{.}\) Grup ini disebut grup hasil bagi atau grup kuosien dari \(G\) oleh \(N\text{.}\) Tugas pertama kita adalah membuktikan bahwa \(G/N\) benar-benar merupakan sebuah grup.
Teorema 10.1.4.
Misalkan \(N\) suatu subgrup normal dari grup \(G\text{.}\) Koset-koset \(N\) dalam \(G\) membentuk grup \(G/N\) yang berorde \([G:N]\text{.}\)
Bukti.
Operasi grup pada \(G/N\) adalah \((a N ) (b N)= a b N\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik; yaitu, perkalian grup harus tidak bergantung pada pemilihan wakil koset. Misalkan \(aN = bN\) dan \(cN = dN\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa
\begin{equation*}
(aN) (cN) = acN = bd N = (b N)(d N)\text{.}
\end{equation*}
Maka \(a = b n_1\) dan \(c = d n_2\) untuk suatu \(n_1\) dan \(n_2\) dalam \(N\text{.}\) Jadi,
\begin{align*}
acN & = b n_1 d n_2 N\\
& = b n_1 d N\\
& = b n_1 N d\\
& = b N d\\
& = b d N\text{.}
\end{align*}
Bagian lain dari teorema ini mudah: \(eN = N\) merupakan identitas dan \(g^{-1} N\) merupakan invers dari \(gN\text{.}\) Orde \(G/N\) tentu saja sama dengan banyaknya koset \(N\) dalam \(G\text{.}\)
Sangat penting untuk mengingat bahwa elemen-elemen dalam suatu grup hasil bagi merupakan himpunan elemen dalam grup asal.
Contoh 10.1.5.
Perhatikan subgrup normal dari \(S_3\text{,}\) \(N = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\text{.}\) Koset-koset \(N\) dalam \(S_3\) adalah \(N\) dan \((12) N\text{.}\) Grup hasil bagi \(S_3 / N\) memiliki tabel perkalian berikut.
\begin{equation*}
\begin{array}{c|cc}
& N & (1 \, 2) N \\ \hline
N & N & (1 \, 2) N \\
(1 \, 2) N & (1 \, 2) N & N
\end{array}
\end{equation*}
Grup ini isomorfik dengan \({\mathbb Z}_2\text{.}\) Pada awalnya, perkalian koset tampak rumit sekaligus ganjil; akan tetapi, perhatikan bahwa \(S_3 / N\) merupakan grup yang lebih kecil. Grup hasil bagi tersebut menampilkan sejumlah informasi mengenai \(S_3\text{.}\) Sesungguhnya, \(N = A_3\) adalah grup permutasi genap, sedangkan \((1 \, 2) N = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\) adalah himpunan permutasi ganjil. Informasi yang ditangkap oleh \(G/N\) ialah paritas; yaitu, perkalian dua permutasi genap atau dua permutasi ganjil menghasilkan permutasi genap, sedangkan perkalian permutasi ganjil dengan permutasi genap menghasilkan permutasi ganjil.
Contoh 10.1.6.
Perhatikan subgrup normal \(3 {\mathbb Z}\) dari \({\mathbb Z}\text{.}\) Koset-koset \(3 {\mathbb Z}\) dalam \({\mathbb Z}\) adalah
\begin{align*}
0 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -3, 0, 3, 6, \ldots \}\\
1 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -2, 1, 4, 7, \ldots \}\\
2 + 3 {\mathbb Z} & = \{ \ldots, -1, 2, 5, 8, \ldots \}\text{.}
\end{align*}
Grup \({\mathbb Z}/ 3 {\mathbb Z}\) diberikan oleh tabel Cayley di bawah ini.
\begin{equation*}
\begin{array}{c|ccc}
+ & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} \\\hline
0 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} \\
1 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} \\
2 + 3{\mathbb Z} & 2 + 3{\mathbb Z} & 0 + 3{\mathbb Z} & 1 + 3{\mathbb Z}
\end{array}
\end{equation*}
Secara umum, subgrup \(n {\mathbb Z}\) dari \({\mathbb Z}\) adalah normal. Koset-koset \({\mathbb Z } / n {\mathbb Z}\) adalah
\begin{gather*}
n {\mathbb Z}\\
1 + n {\mathbb Z}\\
2 + n {\mathbb Z}\\
\vdots\\
(n-1) + n {\mathbb Z}\text{.}
\end{gather*}
Jumlah koset \(k + n{\mathbb Z}\) dan \(l + n{\mathbb Z}\) adalah \(k+l + n{\mathbb Z}\text{.}\) Perhatikan bahwa kita telah menuliskan koset-koset tersebut secara aditif, karena operasi grupnya adalah penjumlahan bilangan bulat.
Contoh 10.1.7.
Perhatikan grup dihedral \(D_n\text{,}\) yang dibangkitkan oleh dua elemen \(r\) dan \(s\) yang memenuhi relasi
\begin{align*}
r^n & = \identity\\
s^2 & = \identity\\
srs & = r^{-1}\text{.}
\end{align*}
Elemen \(r\) membangkitkan subgrup siklik rotasi, \(R_n\text{,}\) dari \(D_n\text{.}\) Karena \(srs^{-1} = srs = r^{-1} \in R_n\text{,}\) grup rotasi merupakan subgrup normal dari \(D_n\text{;}\) oleh karena itu, \(D_n / R_n\) merupakan sebuah grup. Karena grup ini memiliki tepat dua elemen, grup tersebut harus isomorfik dengan \({\mathbb Z}_2\text{.}\)
