1.
Buktikan bahwa \(\mathbb Z \cong n \mathbb Z\) untuk \(n \neq 0\text{.}\)
Petunjuk.
Setiap grup siklik tak hingga isomorfik dengan \({\mathbb Z}\) berdasarkan Teorema 9.1.7.
Latihan 9.4 Latihan
2.
Buktikan bahwa \({\mathbb C}^\ast\) isomorfik dengan subgrup dari \(GL_2( {\mathbb R} )\) yang terdiri atas matriks-matriks berbentuk
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Petunjuk.
Definisikan \(\phi: {\mathbb C}^* \rightarrow GL_2( {\mathbb R})\) dengan
\begin{equation*}
\phi(a + bi) =
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
3.
Buktikan atau bantah: \(U(8) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}\)
Petunjuk.
Salah.
4.
Buktikan bahwa \(U(8)\) isomorfik dengan grup matriks
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
5.
Tunjukkan bahwa \(U(5)\) isomorfik dengan \(U(10)\text{,}\) tetapi tidak isomorfik dengan \(U(12)\text{.}\)
6.
Tunjukkan bahwa akar-akar kesatuan ke-\(n\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_n\text{.}\)
Petunjuk.
Definisikan pemetaan dari \({\mathbb Z}_n\) ke akar-akar kesatuan ke-\(n\) dengan \(k \mapsto \cis(2k\pi / n)\text{.}\)
7.
Tunjukkan bahwa setiap grup siklik berorde \(n\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_n\text{.}\)
8.
Buktikan bahwa \({\mathbb Q}\) tidak isomorfik dengan \({\mathbb Z}\text{.}\)
Petunjuk.
Andaikan \({\mathbb Q}\) siklik dan cobalah mencari pembangkitnya.
9.
Misalkan \(G = {\mathbb R} \setminus \{ -1 \}\) dan definisikan operasi biner pada \(G\) dengan
\begin{equation*}
a \ast b = a + b + ab\text{.}
\end{equation*}
Buktikan bahwa \(G\) merupakan grup terhadap operasi ini. Tunjukkan bahwa \((G, *)\) isomorfik dengan grup multiplikatif bilangan real taknol.
10.
Tunjukkan bahwa matriks-matriks
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
membentuk suatu grup. Temukan isomorfisma dari \(G\) dengan grup berorde \(6\) yang lebih dikenal.
11.
Temukan lima grup berorde \(8\) yang saling takisomorfik.
Petunjuk.
Terdapat dua grup nonabelian dan tiga grup abelian yang saling takisomorfik.
12.
Buktikan bahwa \(S_4\) tidak isomorfik dengan \(D_{12}\text{.}\)
13.
Misalkan \(\omega = \cis(2 \pi /n)\) adalah akar kesatuan primitif ke-\(n\text{.}\) Buktikan bahwa matriks-matriks
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
\omega & 0 \\
0 & \omega^{-1}
\end{pmatrix}
\quad \text{dan} \quad
B =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
membangkitkan grup multiplikatif yang isomorfik dengan \(D_n\text{.}\)
14.
Tunjukkan bahwa himpunan semua matriks berbentuk
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\pm 1 & k \\
0 & 1
\end{pmatrix}\text{,}
\end{equation*}
merupakan grup yang isomorfik dengan \(D_n\text{,}\) dengan semua entri matriks berada dalam \({\mathbb Z}_n\text{.}\)
15.
Daftarkan semua elemen \({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)
16.
Tentukan orde setiap elemen berikut.
-
\((3, 4)\) dalam \({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_6\)
-
\((6, 15, 4)\) dalam \({\mathbb Z}_{30} \times {\mathbb Z}_{45} \times {\mathbb Z}_{24}\)
-
\((5, 10, 15)\) dalam \({\mathbb Z}_{25} \times {\mathbb Z}_{25} \times {\mathbb Z}_{25}\)
-
\((8, 8, 8)\) dalam \({\mathbb Z}_{10} \times {\mathbb Z}_{24} \times {\mathbb Z}_{80}\)
Petunjuk.
(a) \(12\text{;}\) (c) \(5\text{.}\)
17.
Buktikan bahwa \(D_4\) tidak mungkin merupakan hasil kali langsung internal dari dua subgrup sejatinya.
18.
Buktikan bahwa subgrup dari \({\mathbb Q}^\ast\) yang terdiri atas elemen berbentuk \(2^m 3^n\) untuk \(m,n \in {\mathbb Z}\) merupakan hasil kali langsung internal yang isomorfik dengan \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\)
19.
Buktikan bahwa \(S_3 \times {\mathbb Z}_2\) isomorfik dengan \(D_6\text{.}\) Dapatkah Anda membuat konjektur tentang \(D_{2n}\text{?}\) Buktikan konjektur Anda.
Petunjuk.
Gambarlah diagramnya.
20.
Buktikan atau bantah: Setiap grup abelian yang ordenya habis dibagi \(3\) memuat subgrup berorde \(3\text{.}\)
Petunjuk.
Benar.
21.
Buktikan atau bantah: Setiap grup nonabelian yang ordenya habis dibagi 6 memuat subgrup berorde \(6\text{.}\)
22.
Misalkan \(G\) suatu grup berorde \(20\text{.}\) Jika \(G\) memiliki subgrup \(H\) dan \(K\) yang berturut-turut berorde \(4\) dan \(5\) sedemikian sehingga \(hk = kh\) untuk semua \(h \in H\) dan \(k \in K\text{,}\) buktikan bahwa \(G\) merupakan hasil kali langsung internal dari \(H\) dan \(K\text{.}\)
23.
Buktikan atau bantah pernyataan berikut. Misalkan \(G\text{,}\) \(H\text{,}\) dan \(K\) adalah grup. Jika \(G \times K \cong H \times K\text{,}\) maka \(G \cong H\text{.}\)
24.
Buktikan atau bantah: Terdapat grup abelian taksiklik berorde \(51\text{.}\)
25.
Buktikan atau bantah: Terdapat grup abelian taksiklik berorde \(52\text{.}\)
Petunjuk.
Benar.
26.
Misalkan \(\phi : G \rightarrow H\) suatu isomorfisma grup. Tunjukkan bahwa \(\phi( x) = e_H\) jika dan hanya jika \(x=e_G\text{,}\) dengan \(e_G\) dan \(e_H\) berturut-turut merupakan identitas dari \(G\) dan \(H\text{.}\)
27.
Misalkan \(G \cong H\text{.}\) Tunjukkan bahwa jika \(G\) siklik, maka \(H\) juga siklik.
Petunjuk.
Misalkan \(a\) suatu pembangkit dari \(G\text{.}\) Jika \(\phi :G \rightarrow H\) adalah isomorfisma, tunjukkan bahwa \(\phi(a)\) merupakan pembangkit dari \(H\text{.}\)
28.
Buktikan bahwa setiap grup \(G\) berorde \(p\text{,}\) dengan \(p\) prima, harus isomorfik dengan \({\mathbb Z}_p\text{.}\)
29.
Tunjukkan bahwa \(S_n\) isomorfik dengan suatu subgrup dari \(A_{n+2}\text{.}\)
30.
Buktikan bahwa \(D_n\) isomorfik dengan suatu subgrup dari \(S_n\text{.}\)
31.
Misalkan \(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) dan \(\psi : G_2 \rightarrow G_3\) adalah isomorfisma. Tunjukkan bahwa \(\phi^{-1}\) dan \(\psi \circ \phi\) keduanya merupakan isomorfisma. Dengan menggunakan hasil-hasil ini, tunjukkan bahwa keisomorfikan grup menentukan suatu relasi ekuivalensi pada kelas semua grup.
32.
Buktikan bahwa \(U(5) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}\) Dapatkah Anda memperumum hasil ini untuk \(U(p)\text{,}\) dengan \(p\) prima?
33.
Tuliskan permutasi yang dikaitkan dengan setiap elemen \(S_3\) dalam pembuktian Teorema Cayley.
34.
Automorfisme dari suatu grup \(G\) adalah isomorfisma grup tersebut dengan dirinya sendiri. Buktikan bahwa konjugasi kompleks merupakan automorfisme dari grup aditif bilangan kompleks; yaitu, tunjukkan bahwa pemetaan \(\phi( a + bi ) = a - bi\) merupakan isomorfisma dari \({\mathbb C}\) ke \({\mathbb C}\text{.}\)
35.
Buktikan bahwa \(a + ib \mapsto a - ib\) merupakan automorfisme dari \({\mathbb C}^*\text{.}\)
36.
Buktikan bahwa \(A \mapsto B^{-1}AB\) merupakan automorfisme dari \(SL_2({\mathbb R})\) untuk semua \(B\) dalam \(GL_2({\mathbb R})\text{.}\)
37.
Kita akan menyatakan himpunan semua automorfisme dari \(G\) dengan \(\aut(G)\text{.}\) Buktikan bahwa \(\aut(G)\) merupakan subgrup dari \(S_G\text{,}\) yaitu grup permutasi dari \(G\text{.}\)
38.
Tentukan \(\aut( {\mathbb Z}_6)\text{.}\)
Petunjuk.
Setiap automorfisme dari \({\mathbb Z}_6\) harus memetakan \(1\) ke pembangkit lain dari \({\mathbb Z}_6\text{.}\)
39.
Tentukan \(\aut( {\mathbb Z})\text{.}\)
40.
Temukan dua grup takisomorfik \(G\) dan \(H\) sedemikian sehingga \(\aut(G) \cong \aut(H)\text{.}\)
41.
Misalkan \(G\) suatu grup dan \(g \in G\text{.}\) Definisikan pemetaan \(i_g : G \rightarrow G\) dengan \(i_g(x) = g x g^{-1}\text{.}\) Buktikan bahwa \(i_g\) mendefinisikan suatu automorfisme dari \(G\text{.}\) Automorfisme semacam ini disebut automorfisme dalam. Himpunan semua automorfisme dalam dinyatakan dengan \(\inn(G)\text{.}\)
42.
Buktikan bahwa \(\inn(G)\) merupakan subgrup dari \(\aut(G)\text{.}\)
43.
Apa saja automorfisme dalam dari grup kuaternion \(Q_8\text{?}\) Apakah \(\inn(G) = \aut(G)\) dalam kasus ini?
44.
Misalkan \(G\) suatu grup dan \(g \in G\text{.}\) Definisikan pemetaan \(\lambda_g :G \rightarrow G\) dan \(\rho_g :G \rightarrow G\) dengan \(\lambda_g(x) = gx\) dan \(\rho_g(x) = xg^{-1}\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(i_g = \rho_g \circ \lambda_g\) merupakan automorfisme dari \(G\text{.}\) Isomorfisma \(g \mapsto \rho_g\) disebut representasi reguler kanan dari \(G\text{.}\)
45.
Misalkan \(G\) merupakan hasil kali langsung internal dari subgrup \(H\) dan \(K\text{.}\) Tunjukkan bahwa pemetaan \(\phi : G \rightarrow H \times K\) yang didefinisikan oleh \(\phi(g) = (h,k)\) untuk \(g =hk\text{,}\) dengan \(h \in H\) dan \(k \in K\text{,}\) bersifat injektif dan surjektif.
Petunjuk.
Untuk menunjukkan bahwa \(\phi\) injektif, misalkan \(g_1 = h_1 k_1\) dan \(g_2 = h_2 k_2\text{,}\) lalu tinjau \(\phi(g_1) = \phi(g_2)\text{.}\)
46.
Misalkan \(G\) dan \(H\) adalah grup-grup isomorfik. Jika \(G\) memiliki subgrup berorde \(n\text{,}\) buktikan bahwa \(H\) juga harus memiliki subgrup berorde \(n\text{.}\)
47.
Jika \(G \cong \overline{G}\) dan \(H \cong \overline{H}\text{,}\) tunjukkan bahwa \(G \times H \cong \overline{G} \times \overline{H}\text{.}\)
48.
Buktikan bahwa \(G \times H\) isomorfik dengan \(H \times G\text{.}\)
49.
Misalkan \(n_1, \ldots, n_k\) adalah bilangan bulat positif. Tunjukkan bahwa
\begin{equation*}
\prod_{i=1}^k {\mathbb Z}_{n_i} \cong {\mathbb Z}_{n_1 \cdots n_k}
\end{equation*}
jika dan hanya jika \(\gcd( n_i, n_j) =1\) untuk \(i \neq j\text{.}\)
50.
Buktikan bahwa \(A \times B\) abelian jika dan hanya jika \(A\) dan \(B\) abelian.
51.
Jika \(G\) merupakan hasil kali langsung internal dari \(H_1, H_2, \ldots, H_n\text{,}\) buktikan bahwa \(G\) isomorfik dengan \(\prod_i H_i\text{.}\)
52.
Misalkan \(H_1\) dan \(H_2\) berturut-turut merupakan subgrup dari \(G_1\) dan \(G_2\text{.}\) Buktikan bahwa \(H_1 \times H_2\) merupakan subgrup dari \(G_1 \times G_2\text{.}\)
53.
Misalkan \(m, n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Buktikan bahwa \(\langle m,n \rangle = \langle d \rangle\) jika dan hanya jika \(d = \gcd(m,n)\text{.}\)
54.
Misalkan \(m, n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Buktikan bahwa \(\langle m \rangle \cap \langle n \rangle = \langle l \rangle\) jika dan hanya jika \(l = \lcm(m,n)\text{.}\)
55. Grup berorde \(2p\).
Dalam rangkaian latihan ini, kita akan mengklasifikasikan semua grup berorde \(2p\text{,}\) dengan \(p\) suatu bilangan prima ganjil.
-
Andaikan \(G\) merupakan grup berorde \(2p\text{,}\) dengan \(p\) suatu bilangan prima ganjil. Jika \(a \in G\text{,}\) tunjukkan bahwa \(a\) harus berorde \(1\text{,}\) \(2\text{,}\) \(p\text{,}\) atau \(2p\text{.}\)
-
Misalkan \(G\) memiliki elemen berorde \(2p\text{.}\) Buktikan bahwa \(G\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_{2p}\text{.}\) Dengan demikian, \(G\) bersifat siklik.
-
Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(G\) harus memuat elemen berorde \(p\text{.}\) Petunjuk: Andaikan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(p\text{.}\)
-
Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(G\) harus memuat elemen berorde \(2\text{.}\)
-
Misalkan \(P\) merupakan subgrup dari \(G\) yang berorde \(p\text{,}\) dan \(y \in G\) berorde \(2\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(yP = Py\text{.}\)
-
Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\) dan \(P = \langle z \rangle\) merupakan subgrup berorde \(p\) yang dibangkitkan oleh \(z\text{.}\) Jika \(y\) merupakan elemen berorde \(2\text{,}\) maka \(yz = z^ky\) untuk suatu \(2 \leq k \lt p\text{.}\)
-
Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\text{.}\) Buktikan bahwa \(G\) tidak abelian.
-
Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\) dan \(P = \langle z \rangle\) merupakan subgrup berorde \(p\) yang dibangkitkan oleh \(z\text{,}\) serta \(y\) merupakan elemen berorde \(2\text{.}\) Tunjukkan bahwa kita dapat mendaftarkan elemen-elemen \(G\) sebagai \(\{z^iy^j\mid 0\leq i \lt p, 0\leq j \lt 2\}\text{.}\)
-
Misalkan \(G\) tidak memuat elemen berorde \(2p\) dan \(P = \langle z \rangle\) merupakan subgrup berorde \(p\) yang dibangkitkan oleh \(z\text{,}\) serta \(y\) merupakan elemen berorde \(2\text{.}\) Buktikan bahwa hasil kali \((z^iy^j)(z^ry^s)\) dapat dinyatakan secara tunggal sebagai \(z^m y^n\) untuk suatu bilangan bulat taknegatif \(m, n\text{.}\) Dengan demikian, simpulkan bahwa hanya ada satu kemungkinan untuk grup nonabelian berorde \(2p\text{,}\) sehingga grup tersebut pastilah grup yang sudah kita jumpai, yaitu grup dihedral.
