\begin{align*}
A & = \{ x : x \in \mathbb N \text{ dan } x \text{ genap} \},\\
B & = \{x : x \in \mathbb N \text{ dan } x \text{ prima}\},\\
C & = \{ x : x \in \mathbb N \text{ dan } x \text{ merupakan kelipatan } 5\}\text{.}
\end{align*}
Jika \(A = \{ a, b, c \}\text{,}\)\(B = \{ 1, 2, 3 \}\text{,}\)\(C = \{ x \}\text{,}\) dan \(D = \emptyset\text{,}\) cantumkan semua elemen dalam setiap himpunan berikut.
Perhatikan bahwa \(x \in A \cup B\) jika dan hanya jika \(x \in A\) atau \(x \in B\text{.}\) Secara ekuivalen, \(x \in B\) atau \(x \in A\text{,}\) yang sama dengan \(x \in B \cup A\text{.}\) Oleh karena itu, \(A \cup B = B \cup A\text{.}\)
\((A \cap B) \cup (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cap B) \cup (A \cap B') \cup (B \cap A') = [A \cap (B \cup B')] \cup (B \cap A') = A \cup (B \cap A') = (A \cup B) \cap (A \cup A') = A \cup B\text{.}\)
\(A \setminus (B \cup C) = A \cap (B \cup C)' = (A \cap A) \cap (B' \cap C') = (A \cap B') \cap (A \cap C') = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\text{.}\)
Manakah di antara relasi \(f: {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Q}\) berikut yang mendefinisikan pemetaan? Untuk setiap kasus, berikan alasan mengapa \(f\) merupakan atau bukan merupakan pemetaan.
(a) Bukan pemetaan karena \(f(2/3)\) tidak terdefinisi; (b) ini merupakan pemetaan; (c) bukan pemetaan, karena \(f(1/2) = 3/4\) tetapi \(f(2/4)=3/8\text{;}\) (d) ini merupakan pemetaan.
(a) \(f\) injektif tetapi tidak surjektif. \(f({\mathbb R} ) = \{ x \in {\mathbb R} : x \gt 0 \}\text{.}\) (c) \(f\) tidak injektif maupun surjektif. \(f(\mathbb R) = \{ x : -1 \leq x \leq 1 \}\text{.}\)
Misalkan \(f :A \rightarrow B\) dan \(g : B \rightarrow C\) adalah pemetaan yang dapat dibalik; yaitu, pemetaan sedemikian sehingga \(f^{-1}\) dan \(g^{-1}\) ada. Tunjukkan bahwa \((g \circ f)^{-1} =f^{-1} \circ g^{-1}\text{.}\)
Buktikan bahwa relasi yang didefinisikan pada \({\mathbb R}^2\) oleh \((x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)\) jika \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\) merupakan relasi ekuivalensi.
(a) Misalkan \(y \in f(A_1 \cup A_2)\text{.}\) Maka terdapat \(x \in A_1 \cup A_2\) sedemikian sehingga \(f(x) = y\text{.}\) Jadi, \(y \in f(A_1)\) atau \(f(A_2) \text{.}\) Oleh karena itu, \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Akibatnya, \(f(A_1 \cup A_2) \subset f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\) Sebaliknya, jika \(y \in f(A_1) \cup f(A_2)\text{,}\) maka \(y \in f(A_1)\) atau \(f(A_2)\text{.}\) Jadi, terdapat \(x\) dalam \(A_1\) atau \(A_2\) sedemikian sehingga \(f(x) = y\text{.}\) Dengan demikian, terdapat \(x \in A_1 \cup A_2\) sedemikian sehingga \(f(x) = y\text{.}\) Oleh karena itu, \(f(A_1) \cup f(A_2) \subset f(A_1 \cup A_2)\text{,}\) dan \(f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)\text{.}\)
Tentukan apakah relasi-relasi berikut merupakan relasi ekuivalensi pada himpunan yang diberikan. Jika relasi tersebut merupakan relasi ekuivalensi, deskripsikan partisi yang dihasilkannya. Jika relasi tersebut bukan relasi ekuivalensi, nyatakan mengapa relasi itu gagal menjadi relasi ekuivalensi.
\(x \sim y\) dalam \({\mathbb R}\) jika \(x \geq y\)
(a) Relasi tersebut tidak simetris. (b) Relasi tersebut tidak refleksif, karena \(0\) tidak ekuivalen dengan dirinya sendiri. (c) Relasi tersebut tidak transitif.
Definisikan relasi \(\sim\) pada \({\mathbb R}^2\) dengan menyatakan bahwa \((a, b) \sim (c, d)\) jika dan hanya jika \(a^2 + b^2 \leq c^2 + d^2\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(\sim\) refleksif dan transitif, tetapi tidak simetris.
Temukan kesalahan dalam argumen berikut dengan memberikan contoh penyangkal. “Sifat refleksif berlebih dalam aksioma relasi ekuivalensi. Jika \(x \sim y\text{,}\) maka \(y \sim x\) berdasarkan sifat simetris. Dengan menggunakan sifat transitif, kita dapat menyimpulkan bahwa \(x \sim x\text{.}\)”
Definisikan suatu relasi pada \({\mathbb R}^2 \setminus \{ (0,0) \}\) dengan menetapkan \((x_1, y_1) \sim (x_2, y_2)\) jika terdapat bilangan real taknol \(\lambda\) sedemikian sehingga \((x_1, y_1) = ( \lambda x_2, \lambda y_2)\text{.}\) Buktikan bahwa \(\sim\) mendefinisikan relasi ekuivalensi pada \({\mathbb R}^2 \setminus (0,0)\text{.}\) Apakah kelas-kelas ekuivalensi yang bersesuaian? Relasi ekuivalensi ini mendefinisikan garis proyektif, yang dilambangkan dengan \({\mathbb P}({\mathbb R}) \text{,}\) dan sangat penting dalam geometri.
