Lewati ke konten utama

Bagian 21.1 Perluasan Lapangan

Lapangan \(E\) merupakan perluasan lapangan dari lapangan \(F\) jika \(F\) merupakan sublapangan dari \(E\text{.}\) Lapangan \(F\) disebut lapangan dasar. Kita menulis \(F \subset E\text{.}\)

Contoh 21.1.1.

Sebagai contoh, misalkan
\begin{equation*} F = {\mathbb Q}( \sqrt{2}\,) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \} \end{equation*}
dan misalkan \(E = {\mathbb Q }( \sqrt{2} + \sqrt{3}\,)\) adalah lapangan terkecil yang memuat \({\mathbb Q}\) dan \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\text{.}\) Baik \(E\) maupun \(F\) merupakan perluasan lapangan dari bilangan rasional. Kita mengklaim bahwa \(E\) merupakan perluasan lapangan dari \(F\text{.}\) Untuk melihatnya, kita hanya perlu menunjukkan bahwa \(\sqrt{2}\) berada di \(E\text{.}\) Karena \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) berada di \(E\text{,}\) \(1 / (\sqrt{2} + \sqrt{3}\,) = \sqrt{3} - \sqrt{2}\) juga harus berada di \(E\text{.}\) Dengan mengambil kombinasi linear dari \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) dan \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\text{,}\) kita menemukan bahwa \(\sqrt{2}\) dan \(\sqrt{3}\) keduanya harus berada di \(E\text{.}\)

Contoh 21.1.2.

Misalkan \(p(x) = x^2 + x + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Karena \(0\) maupun \(1\) bukan akar polinomial ini, kita mengetahui bahwa \(p(x)\) tak tereduksi atas \({\mathbb Z}_2\text{.}\) Kita akan membangun perluasan lapangan dari \({\mathbb Z}_2\) yang memuat elemen \(\alpha\) sedemikian sehingga \(p(\alpha) = 0\text{.}\) Berdasarkan Teorema 17.3.12, ideal \(\langle p(x) \rangle\) yang dibangkitkan oleh \(p(x)\) bersifat maksimal; jadi, \({\mathbb Z}_2[x] / \langle p(x) \rangle\) merupakan lapangan. Misalkan \(f(x) + \langle p(x) \rangle\) sembarang elemen dari \({\mathbb Z}_2[x] / \langle p(x) \rangle\text{.}\) Berdasarkan algoritma pembagian,
\begin{equation*} f(x) = (x^2 + x + 1) q(x) + r(x)\text{,} \end{equation*}
dengan derajat \(r(x)\) kurang dari derajat \(x^2 + x + 1\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{equation*} f(x) + \langle x^2 + x + 1 \rangle = r(x) + \langle x^2 + x + 1 \rangle\text{.} \end{equation*}
Jadi, satu-satunya kemungkinan bagi \(r(x)\) adalah \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(x\text{,}\) dan \(1 + x\text{.}\) Akibatnya, \(E = {\mathbb Z}_2[x] / \langle x^2 + x + 1 \rangle\) merupakan lapangan dengan empat elemen dan harus menjadi perluasan lapangan dari \({\mathbb Z}_2\text{,}\) yang memuat nol \(\alpha\) dari \(p(x)\text{.}\) Lapangan \({\mathbb Z}_2( \alpha)\) terdiri atas elemen-elemen
\begin{align*} 0 + 0 \alpha & = 0\\ 1 + 0 \alpha & = 1\\ 0 + 1 \alpha & = \alpha\\ 1 + 1 \alpha & = 1 + \alpha\text{.} \end{align*}
Perhatikan bahwa \({\alpha}^2 + {\alpha} + 1 = 0\text{;}\) jadi, jika kita menghitung \((1 + \alpha)^2\text{,}\)
\begin{equation*} (1 + \alpha)(1 + \alpha)= 1 + \alpha + \alpha + (\alpha)^2 = \alpha\text{.} \end{equation*}
Perhitungan lain dilakukan dengan cara serupa. Kita merangkum perhitungan ini dalam tabel-tabel berikut, yang menunjukkan cara menjumlahkan dan mengalikan elemen-elemen di \(E\text{.}\)
\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} + & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ \hline 0 & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ 1 & 1 & 0 & 1 + \alpha & \alpha \\ \alpha & \alpha & 1 + \alpha & 0 & 1 \\ 1 + \alpha & 1 + \alpha & \alpha & 1 & 0 \end{array} \end{equation*}
Gambar 21.1.3. Tabel Penjumlahan untuk \({\mathbb Z}_2(\alpha)\)
\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} \cdot & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & \alpha & 1 + \alpha \\ \alpha & 0 & \alpha & 1 + \alpha & 1 \\ 1 + \alpha & 0 & 1 + \alpha & 1 & \alpha \end{array} \end{equation*}
Gambar 21.1.4. Tabel Perkalian untuk \({\mathbb Z}_2(\alpha)\)
Teorema berikut, yang berasal dari Kronecker, begitu penting dan mendasar bagi pemahaman kita tentang lapangan sehingga sering dikenal sebagai Teorema Fundamental Teori Lapangan.

Bukti.
Untuk membuktikan teorema ini, kita akan menggunakan metode yang dipakai untuk membangun Contoh 21.1.2. Jelas bahwa kita dapat mengasumsikan \(p(x)\) merupakan polinomial tak tereduksi. Kita ingin menemukan perluasan lapangan \(E\) dari \(F\) yang memuat elemen \(\alpha\) sedemikian sehingga \(p(\alpha) = 0\text{.}\) Ideal \(\langle p(x) \rangle\) yang dibangkitkan oleh \(p(x)\) merupakan ideal maksimal di \(F[x]\) berdasarkan Teorema 17.3.12; jadi, \(F[x]/\langle p(x) \rangle\) merupakan lapangan. Kita mengklaim bahwa \(E = F[x]/\langle p(x) \rangle\) adalah lapangan yang diinginkan.
Pertama-tama kita menunjukkan bahwa \(E\) merupakan perluasan lapangan dari \(F\text{.}\) Kita dapat mendefinisikan homomorfisma gelanggang komutatif melalui pemetaan \(\psi:F \rightarrow F[x]/\langle p(x) \rangle\text{,}\) dengan \(\psi(a) = a + \langle p(x)\rangle\) untuk \(a \in F\text{.}\) Mudah diperiksa bahwa \(\psi\) memang merupakan homomorfisma gelanggang. Perhatikan bahwa
\begin{equation*} \psi( a ) + \psi( b ) = (a + \langle p(x) \rangle) + (b + \langle p(x) \rangle) = (a + b) + \langle p(x) \rangle = \psi( a + b ) \end{equation*}
dan
\begin{equation*} \psi( a ) \psi( b ) = (a + \langle p(x) \rangle) (b + \langle p(x) \rangle) = ab + \langle p(x) \rangle = \psi( ab )\text{.} \end{equation*}
Untuk membuktikan bahwa \(\psi\) satu-ke-satu, asumsikan bahwa
\begin{equation*} a + \langle p(x) \rangle = \psi(a) = \psi(b) = b + \langle p(x) \rangle\text{.} \end{equation*}
Maka \(a - b\) merupakan kelipatan \(p(x)\text{,}\) karena berada dalam ideal \(\langle p(x) \rangle\text{.}\) Karena \(p(x)\) polinomial takkonstan, satu-satunya kemungkinan adalah \(a - b = 0\text{.}\) Akibatnya, \(a = b\) dan \(\psi\) injektif. Karena \(\psi\) satu-ke-satu, kita dapat mengidentifikasi \(F\) dengan sublapangan \(\{ a + \langle p(x) \rangle : a \in F \}\) dari \(E\) dan memandang \(E\) sebagai perluasan lapangan dari \(F\text{.}\)
Tinggal membuktikan bahwa \(p(x)\) memiliki nol \(\alpha \in E\text{.}\) Tetapkan \(\alpha = x + \langle p(x) \rangle\text{.}\) Maka \(\alpha\) berada di \(E\text{.}\) Jika \(p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\text{,}\) maka
\begin{align*} p( \alpha ) & = a_0 + a_1( x + \langle p(x) \rangle) + \cdots + a_n ( x + \langle p(x) \rangle)^n\\ & = a_0 + ( a_1 x + \langle p(x) \rangle) + \cdots + (a_n x^n + \langle p(x) \rangle)\\ & = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n + \langle p(x) \rangle\\ & = 0 + \langle p(x) \rangle\text{.} \end{align*}
Oleh karena itu, kita telah menemukan elemen \(\alpha \in E = F[x]/\langle p(x) \rangle\) sedemikian sehingga \(\alpha\) merupakan nol dari \(p(x)\text{.}\)

Contoh 21.1.6.

Misalkan \(p(x) = x^5 + x^4 + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Maka \(p(x)\) memiliki faktor-faktor tak tereduksi \(x^2 + x + 1\) dan \(x^3 + x + 1\text{.}\) Untuk memperoleh perluasan lapangan \(E\) dari \({\mathbb Z}_2\) sedemikian sehingga \(p(x)\) memiliki akar di \(E\text{,}\) kita dapat mengambil \(E\) sebagai \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^2 + x + 1 \rangle\) atau \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\text{.}\) Kita serahkan sebagai latihan untuk menunjukkan bahwa \({\mathbb Z}_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle\) merupakan lapangan dengan \(2^3 = 8\) elemen.

Subbagian 21.1.1 Unsur Aljabar

Suatu elemen \(\alpha\) dalam perluasan lapangan \(E\) atas \(F\) disebut aljabar atas \(F\) jika \(f(\alpha)=0\) untuk suatu polinomial taknol \(f(x) \in F[x]\text{.}\) Elemen di \(E\) yang tidak aljabar atas \(F\) disebut transenden atas \(F\text{.}\) Perluasan lapangan \(E\) dari lapangan \(F\) disebut perluasan aljabar dari \(F\) jika setiap elemen di \(E\) aljabar atas \(F\text{.}\) Jika \(E\) merupakan perluasan lapangan dari \(F\) dan \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) termuat di \(E\text{,}\) kita menyatakan lapangan terkecil yang memuat \(F\) dan \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) dengan \(F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n)\text{.}\) Jika \(E = F( \alpha )\) untuk suatu \(\alpha \in E\text{,}\) maka \(E\) merupakan perluasan sederhana dari \(F\text{.}\)

Contoh 21.1.7.

\(\sqrt{2}\) dan \(i\) keduanya aljabar atas \({\mathbb Q}\) karena masing-masing merupakan nol dari polinomial \(x^2 -2\) dan \(x^2 + 1\text{.}\) Jelas bahwa \(\pi\) dan \(e\) aljabar atas bilangan real; akan tetapi, fakta bahwa keduanya transenden atas \({\mathbb Q}\) tidaklah sepele. Bilangan-bilangan di \({\mathbb R}\) yang aljabar atas \({\mathbb Q}\) sebenarnya cukup langka. Hampir semua bilangan real transenden atas \({\mathbb Q}\text{.}\)
 1 
Probabilitas bahwa bilangan real yang dipilih secara acak dari interval \([0, 1]\) bersifat transenden atas bilangan rasional adalah satu.
(Dalam banyak kasus kita tidak mengetahui apakah suatu bilangan tertentu transenden; sebagai contoh, masih belum diketahui apakah \(\pi + e\) transenden atau aljabar.)
Bilangan kompleks yang aljabar atas \({\mathbb Q}\) disebut bilangan aljabar. Bilangan transenden adalah elemen dari \({\mathbb C}\) yang transenden atas \({\mathbb Q}\text{.}\)

Contoh 21.1.8.

Kita akan menunjukkan bahwa \(\sqrt{2 + \sqrt{3} }\) aljabar atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Jika \(\alpha = \sqrt{2 + \sqrt{3} }\text{,}\) maka \(\alpha^2 = 2 + \sqrt{3}\text{.}\) Jadi, \(\alpha^2 - 2 = \sqrt{3}\) dan \(( \alpha^2 - 2)^2 = 3\text{.}\) Karena \(\alpha^4 - 4 \alpha^2 + 1 = 0\text{,}\) haruslah \(\alpha\) merupakan nol dari polinomial \(x^4 - 4 x^2 + 1 \in {\mathbb Q}[x]\text{.}\)
Sangat mudah memberikan contoh perluasan lapangan \(E\) atas lapangan \(F\text{,}\) dengan \(E\) memuat elemen yang transenden atas \(F\text{.}\) Teorema berikut mencirikan perluasan transenden.

Bukti.
Misalkan \(\phi_{\alpha} : F[x] \rightarrow E\) homomorfisma evaluasi untuk \(\alpha\text{.}\) Maka \(\alpha\) transenden atas \(F\) jika dan hanya jika \(\phi_{\alpha} (p(x)) = p(\alpha) \neq 0\) untuk semua polinomial takkonstan \(p(x) \in F[x]\text{.}\) Hal ini benar jika dan hanya jika \(\ker \phi_{\alpha} = \{ 0 \}\text{;}\) yakni, tepat ketika \(\phi_{\alpha}\) satu-ke-satu. Jadi, \(E\) harus memuat salinan \(F[x]\text{.}\) Lapangan terkecil yang memuat \(F[x]\) adalah lapangan pecahan \(F(x)\text{.}\) Berdasarkan Teorema 18.1.4, \(E\) harus memuat salinan lapangan ini.
Kita menghadapi situasi yang lebih menarik dalam kasus perluasan aljabar.

Bukti.
Misalkan \(\phi_{\alpha} : F[x] \rightarrow E\) homomorfisma evaluasi. Kernel \(\phi_{\alpha}\) merupakan ideal utama yang dibangkitkan oleh suatu \(p(x) \in F[x]\) dengan \(\deg p(x) \geq 1\text{.}\) Kita mengetahui bahwa polinomial semacam itu ada, karena \(F[x]\) merupakan domain ideal utama dan \(\alpha\) aljabar. Ideal \(\langle p(x) \rangle\) tepat terdiri atas elemen-elemen \(F[x]\) yang memiliki \(\alpha\) sebagai nol. Jika \(f( \alpha ) = 0\) dan \(f(x)\) bukan polinomial nol, maka \(f(x) \in \langle p(x) \rangle\) dan \(p(x)\) membagi \(f(x)\text{.}\) Jadi, \(p(x)\) merupakan polinomial berderajat minimum yang memiliki \(\alpha\) sebagai nol. Setiap polinomial lain berderajat sama yang memiliki \(\alpha\) sebagai nol harus berbentuk \(\beta p( x)\) untuk suatu \(\beta \in F\text{.}\)
Sekarang misalkan \(p(x) = r(x) s(x)\) merupakan faktorisasi \(p(x)\) menjadi polinomial-polinomial berderajat lebih rendah. Karena \(p( \alpha ) = 0\text{,}\) \(r( \alpha ) s( \alpha ) = 0\text{;}\) akibatnya, \(r( \alpha )=0\) atau \(s( \alpha ) = 0\text{,}\) yang bertentangan dengan fakta bahwa \(p\) berderajat minimum. Oleh karena itu, \(p(x)\) harus tak tereduksi.
Misalkan \(E\) perluasan lapangan dari \(F\) dan \(\alpha \in E\) aljabar atas \(F\text{.}\) Polinomial monik tunggal \(p(x)\) dalam teorema terakhir disebut polinomial minimal dari \(\alpha\) atas \(F\text{.}\) Derajat \(p(x)\) disebut derajat \(\alpha\) atas \(F\).

Contoh 21.1.11.

Misalkan \(f(x) = x^2 - 2\) dan \(g(x) = x^4 - 4 x^2 + 1\text{.}\) Polinomial-polinomial ini masing-masing merupakan polinomial minimal dari \(\sqrt{2}\) dan \(\sqrt{2 + \sqrt{3} }\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(\phi_{\alpha} : F[x] \rightarrow E\) homomorfisma evaluasi. Kernel pemetaan ini adalah \(\langle p(x) \rangle\text{,}\) dengan \(p(x)\) polinomial minimal dari \(\alpha\text{.}\) Berdasarkan Teorema Isomorfisma Pertama untuk gelanggang, citra \(\phi_{\alpha}\) di \(E\) isomorfik dengan \(F( \alpha )\) karena memuat \(F\) dan \(\alpha\text{.}\)

Bukti.
Karena \(\phi_{\alpha} ( F[x] ) \cong F( \alpha )\text{,}\) setiap elemen di \(E = F( \alpha )\) harus berbentuk \(\phi_{\alpha} ( f(x) ) = f( \alpha )\text{,}\) dengan \(f(\alpha)\) polinomial dalam \(\alpha\) yang koefisiennya berada di \(F\text{.}\) Misalkan
\begin{equation*} p(x) = x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_0 \end{equation*}
adalah polinomial minimal dari \(\alpha\text{.}\) Maka \(p( \alpha ) = 0\text{;}\) jadi,
\begin{equation*} {\alpha}^n = - a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0\text{.} \end{equation*}
Demikian pula,
\begin{align*} {\alpha}^{n + 1} & = {\alpha} {\alpha}^n\\ & = - a_{n - 1} {\alpha}^n - a_{n - 2} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0 {\alpha}\\ & = - a_{n - 1}( - a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0) - a_{n - 2} {\alpha}^{n - 1} - \cdots - a_0 {\alpha}\text{.} \end{align*}
Dengan melanjutkan cara ini, kita dapat menyatakan setiap monomial \({\alpha}^m\text{,}\) \(m \geq n\text{,}\) sebagai kombinasi linear pangkat-pangkat \({\alpha}\) yang kurang dari \(n\text{.}\) Jadi, setiap \(\beta \in F( \alpha )\) dapat ditulis sebagai
\begin{equation*} \beta = b_0 + b_1 \alpha + \cdots + b_{n - 1} \alpha^{n - 1}\text{.} \end{equation*}
Untuk menunjukkan ketunggalan, misalkan
\begin{equation*} \beta = b_0 + b_1 \alpha + \cdots + b_{n-1} \alpha^{n-1} = c_0 + c_1 \alpha + \cdots + c_{n - 1} \alpha^{n - 1} \end{equation*}
untuk \(b_i\) dan \(c_i\) di \(F\text{.}\) Maka
\begin{equation*} g(x) = (b_0 - c_0) + (b_1 - c_1) x + \cdots + (b_{n - 1} - c_{n - 1})x^{n - 1} \end{equation*}
berada di \(F[x]\) dan \(g( \alpha ) = 0\text{.}\) Karena derajat \(g(x)\) kurang dari derajat \(p( x )\text{,}\) yaitu polinomial tak tereduksi dari \(\alpha\text{,}\) \(g(x)\) harus merupakan polinomial nol. Akibatnya,
\begin{equation*} b_0 - c_0 = b_1 - c_1 = \cdots = b_{n - 1} - c_{n - 1} = 0\text{,} \end{equation*}
atau \(b_i = c_i\) untuk \(i = 0, 1, \ldots, n-1\text{.}\) Oleh karena itu, kita telah menunjukkan ketunggalan.

Contoh 21.1.14.

Karena \(x^2 + 1\) tak tereduksi atas \({\mathbb R}\text{,}\) \(\langle x^2 + 1 \rangle\) merupakan ideal maksimal di \({\mathbb R}[x]\text{.}\) Jadi, \(E = {\mathbb R}[x]/\langle x^2 + 1 \rangle\) merupakan perluasan lapangan dari \({\mathbb R}\) yang memuat suatu akar dari \(x^2 + 1\text{.}\) Misalkan \(\alpha = x + \langle x^2 + 1 \rangle\text{.}\) Kita dapat mengidentifikasi \(E\) dengan bilangan kompleks. Berdasarkan Proposisi 21.1.12, \(E\) isomorfik dengan \({\mathbb R}( \alpha ) = \{ a + b \alpha : a, b \in {\mathbb R} \}\text{.}\) Kita mengetahui bahwa \(\alpha^2 = -1\) di \(E\text{,}\) karena
\begin{align*} \alpha^2 + 1 & = (x + \langle x^2 + 1 \rangle)^2 + (1 + \langle x^2 + 1 \rangle)\\ & = (x^2 + 1) + \langle x^2 + 1 \rangle\\ & = 0\text{.} \end{align*}
Jadi, kita memiliki isomorfisma antara \({\mathbb R}( \alpha )\) dan \({\mathbb C}\) yang didefinisikan oleh pemetaan yang membawa \(a + b \alpha\) ke \(a + bi\text{.}\)
Misalkan \(E\) perluasan lapangan dari lapangan \(F\text{.}\) Jika kita memandang \(E\) sebagai ruang vektor atas \(F\text{,}\) kita dapat menerapkan perangkat aljabar linear pada masalah-masalah yang akan dijumpai dalam kajian lapangan. Elemen-elemen dalam lapangan \(E\) adalah vektor; elemen-elemen dalam lapangan \(F\) adalah skalar. Kita dapat memandang penjumlahan di \(E\) sebagai penjumlahan vektor. Ketika kita mengalikan suatu elemen di \(E\) dengan elemen dari \(F\text{,}\) kita mengalikan vektor dengan skalar. Pandangan terhadap perluasan lapangan ini sangat bermanfaat jika perluasan lapangan \(E\) dari \(F\) merupakan ruang vektor berdimensi hingga atas \(F\text{,}\) dan Teorema 21.1.13 menyatakan bahwa \(E = F(\alpha )\) merupakan ruang vektor berdimensi hingga atas \(F\) dengan basis \(\{ 1, \alpha, {\alpha}^2, \ldots, {\alpha}^{n - 1} \}\text{.}\)
Jika perluasan lapangan \(E\) dari lapangan \(F\) merupakan ruang vektor berdimensi hingga atas \(F\) dengan dimensi \(n\text{,}\) kita mengatakan bahwa \(E\) merupakan perluasan hingga berderajat \(n\) atas \(F\). Kita menulis
\begin{equation*} [E:F]= n\text{.} \end{equation*}
untuk menyatakan dimensi \(E\) atas \(F\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(\alpha \in E\text{.}\) Karena \([E:F] = n\text{,}\) elemen-elemen
\begin{equation*} 1, \alpha, \ldots, {\alpha}^n \end{equation*}
tidak mungkin bebas linear. Jadi, terdapat \(a_i \in F\text{,}\) yang tidak semuanya nol, sedemikian sehingga
\begin{equation*} a_n {\alpha}^n + a_{n - 1} {\alpha}^{n - 1} + \cdots + a_1 \alpha + a_0 = 0\text{.} \end{equation*}
Oleh karena itu,
\begin{equation*} p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \in F[x] \end{equation*}
merupakan polinomial taknol dengan \(p( \alpha ) = 0\text{.}\)

Catatan 21.1.16.

Teorema 21.1.15 menyatakan bahwa setiap perluasan hingga dari lapangan \(F\) merupakan perluasan aljabar. Akan tetapi, konversnya salah. Kita serahkan sebagai latihan untuk menunjukkan bahwa himpunan semua elemen di \({\mathbb R}\) yang aljabar atas \({\mathbb Q}\) membentuk perluasan lapangan takhingga dari \({\mathbb Q}\text{.}\)
Teorema berikutnya adalah teorema pencacahan, yang serupa dengan Teorema Lagrange dalam teori grup. Teorema 21.1.17 akan terbukti menjadi alat yang sangat berguna dalam penyelidikan kita mengenai perluasan lapangan hingga.

Bukti.
Misalkan \(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \}\) suatu basis untuk \(E\) sebagai ruang vektor atas \(F\) dan \(\{ \beta_1, \ldots, \beta_m \}\) suatu basis untuk \(K\) sebagai ruang vektor atas \(E\text{.}\) Kita mengklaim bahwa \(\{ \alpha_i \beta_j \}\) merupakan basis untuk \(K\) atas \(F\text{.}\) Pertama-tama kita akan menunjukkan bahwa vektor-vektor ini merentang \(K\text{.}\) Misalkan \(u \in K\text{.}\) Maka \(u = \sum_{j = 1}^{m} b_j \beta_j\) dan \(b_j = \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} \alpha_i\text{,}\) dengan \(b_j \in E\) dan \(a_{ij} \in F\text{.}\) Maka
\begin{equation*} u = \sum_{j = 1}^{m} \left( \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} \alpha_i \right) \beta_j = \sum_{i,j} a_{ij} ( \alpha_i \beta_j )\text{.} \end{equation*}
Jadi, \(mn\) vektor \(\alpha_i \beta_j\) harus merentang \(K\) atas \(F\text{.}\)
Kita harus menunjukkan bahwa \(\{ \alpha_i \beta_j \}\) bebas linear. Ingat bahwa suatu himpunan vektor \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) dalam ruang vektor \(V\) bebas linear jika
\begin{equation*} c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0 \end{equation*}
mengakibatkan
\begin{equation*} c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0\text{.} \end{equation*}
Misalkan
\begin{equation*} u = \sum_{i,j} c_{ij} ( \alpha_i \beta_j ) = 0 \end{equation*}
untuk \(c_{ij} \in F\text{.}\) Kita perlu membuktikan bahwa semua \(c_{ij}\) bernilai nol. Kita dapat menulis ulang \(u\) sebagai
\begin{equation*} \sum_{j = 1}^{m} \left( \sum_{i = 1}^{n} c_{ij} \alpha_i \right) \beta_j = 0\text{,} \end{equation*}
dengan \(\sum_i c_{ij} \alpha_i \in E\text{.}\) Karena setiap \(\beta_j\) bebas linear atas \(E\text{,}\) haruslah
\begin{equation*} \sum_{i = 1}^n c_{ij} \alpha_i = 0 \end{equation*}
untuk semua \(j\text{.}\) Akan tetapi, setiap \(\alpha_j\) juga bebas linear atas \(F\text{.}\) Oleh karena itu, \(c_{ij} = 0\) untuk semua \(i\) dan \(j\text{,}\) yang menyelesaikan pembuktian.
Korolari berikut mudah dibuktikan dengan induksi matematika.

Bukti.
Kita mengetahui bahwa \(\deg p(x) = [F( \alpha ) : F ]\) dan \(\deg q(x) = [F( \beta ) : F ]\text{.}\) Karena \(F \subset F( \beta ) \subset F( \alpha )\text{,}\)
\begin{equation*} [F( \alpha ) : F ]= [ F( \alpha ) : F( \beta ) ] [ F( \beta ) : F ]\text{.} \end{equation*}

Contoh 21.1.20.

Mari kita tentukan perluasan lapangan dari \({\mathbb Q}\) yang memuat \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\text{.}\) Mudah ditentukan bahwa polinomial minimal dari \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\) adalah \(x^4 - 16 x^2 + 4\text{.}\) Dengan demikian,
\begin{equation*} [{\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, ) : {\mathbb Q} ] = 4\text{.} \end{equation*}
Kita mengetahui bahwa \(\{ 1, \sqrt{3}\, \}\) merupakan basis untuk \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Jadi, \(\sqrt{3} + \sqrt{5}\) tidak mungkin berada di \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\) Dengan demikian, \(\sqrt{5}\) juga tidak mungkin berada di \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\text{.}\) Oleh karena itu, \(\{ 1, \sqrt{5}\, \}\) merupakan basis untuk \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) = ( {\mathbb Q}(\sqrt{3}\, ))( \sqrt{5}\, )\) atas \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) dan \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{3} \sqrt{5} = \sqrt{15}\, \}\) merupakan basis untuk \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, )\) atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Contoh ini menunjukkan bahwa mungkin saja suatu perluasan \(F( \alpha_1, \ldots, \alpha_n )\) sebenarnya merupakan perluasan sederhana dari \(F\) meskipun \(n \gt 1\text{.}\)

Contoh 21.1.21.

Mari kita hitung basis untuk \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5} \, i )\text{,}\) dengan \(\sqrt{5}\) akar kuadrat positif dari \(5\) dan \(\sqrt[3]{5}\) akar pangkat tiga real dari \(5\text{.}\) Kita mengetahui bahwa \(\sqrt{5} \, i \notin {\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}\, )\text{,}\) sehingga
\begin{equation*} [ {\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i) : {\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}\, )] = 2\text{.} \end{equation*}
Mudah ditentukan bahwa \(\{ 1, \sqrt{5}i\, \}\) merupakan basis untuk \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\) atas \({\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}\, )\text{.}\) Kita juga mengetahui bahwa \(\{ 1, \sqrt[3]{5}, (\sqrt[3]{5}\, )^2 \}\) merupakan basis untuk \({\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}\, )\) atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Jadi, suatu basis untuk \({\mathbb Q}(\sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\) atas \({\mathbb Q}\) adalah
\begin{equation*} \{ 1, \sqrt{5}\, i, \sqrt[3]{5}, (\sqrt[3]{5}\, )^2, (\sqrt[6]{5}\, )^5 i, (\sqrt[6]{5}\, )^7 i = 5 \sqrt[6]{5}\, i \text{ atau } \sqrt[6]{5}\, i \}\text{.} \end{equation*}
Perhatikan bahwa \(\sqrt[6]{5}\, i\) merupakan nol dari \(x^6 + 5\text{.}\) Kita dapat menunjukkan bahwa polinomial ini tak tereduksi atas \({\mathbb Q}\) dengan menggunakan Kriteria Eisenstein, dengan mengambil \(p = 5\text{.}\) Akibatnya,
\begin{equation*} {\mathbb Q} \subset {\mathbb Q}( \sqrt[6]{5}\, i) \subset {\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\text{.} \end{equation*}
Akan tetapi, haruslah \({\mathbb Q}( \sqrt[6]{5}\, i) = {\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i )\text{,}\) karena derajat kedua perluasan ini adalah \(6\text{.}\)

Bukti.
(1) \(\Rightarrow\) (2). Misalkan \(E\) perluasan aljabar hingga dari \(F\text{.}\) Maka \(E\) merupakan ruang vektor berdimensi hingga atas \(F\) dan terdapat basis yang terdiri atas elemen-elemen \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) di \(E\) sedemikian sehingga \(E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\text{.}\) Setiap \(\alpha_i\) aljabar atas \(F\) berdasarkan Teorema 21.1.15.
(2) \(\Rightarrow\) (3). Misalkan \(E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\text{,}\) dengan setiap \(\alpha_i\) aljabar atas \(F\text{.}\) Maka
\begin{equation*} E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \supset F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1} ) \supset \cdots \supset F( \alpha_1 ) \supset F\text{,} \end{equation*}
dengan setiap lapangan \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)\) aljabar atas \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\text{.}\)
(3) \(\Rightarrow\) (1). Misalkan
\begin{equation*} E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \supset F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n - 1} ) \supset \cdots \supset F( \alpha_1 ) \supset F\text{,} \end{equation*}
dengan setiap lapangan \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i)\) aljabar atas \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\text{.}\) Karena
\begin{equation*} F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1} )(\alpha_i) \end{equation*}
merupakan perluasan sederhana dan \(\alpha_i\) aljabar atas \(F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1})\text{,}\) maka
\begin{equation*} [ F(\alpha_1, \ldots, \alpha_i) : F(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1} )] \end{equation*}
bernilai hingga untuk setiap \(i\text{.}\) Oleh karena itu, \([E : F]\) bernilai hingga.

Subbagian 21.1.2 Penutupan Aljabar

Untuk suatu lapangan \(F\text{,}\) timbul pertanyaan apakah kita dapat menemukan lapangan \(E\) sedemikian sehingga setiap polinomial \(p(x)\) memiliki akar di \(E\text{.}\) Hal ini membawa kita pada teorema berikut.

Bukti.
Misalkan \(\alpha, \beta \in E\) aljabar atas \(F\text{.}\) Maka \(F( \alpha, \beta )\) merupakan perluasan hingga dari \(F\text{.}\) Karena setiap elemen dari \(F( \alpha, \beta )\) aljabar atas \(F\text{,}\) \(\alpha \pm \beta\text{,}\) \(\alpha \beta\text{,}\) dan \(\alpha / \beta\) (\(\beta \neq 0\)) semuanya aljabar atas \(F\text{.}\) Akibatnya, himpunan elemen di \(E\) yang aljabar atas \(F\) membentuk suatu lapangan.
Misalkan \(E\) perluasan lapangan dari lapangan \(F\text{.}\) Kita mendefinisikan penutupan aljabar dari lapangan \(F\) dalam \(E\) sebagai lapangan yang terdiri atas semua elemen di \(E\) yang aljabar atas \(F\text{.}\) Lapangan \(F\) disebut tertutup secara aljabar jika setiap polinomial takkonstan di \(F[x]\) memiliki akar di \(F\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(F\) lapangan yang tertutup secara aljabar. Jika \(p(x) \in F[x]\) polinomial takkonstan, maka \(p(x)\) memiliki nol di \(F\text{,}\) katakanlah \(\alpha\text{.}\) Oleh karena itu, \(x-\alpha\) harus merupakan faktor dari \(p(x)\text{,}\) sehingga \(p(x) = (x - \alpha) q_1(x)\text{,}\) dengan \(\deg q_1(x) = \deg p(x) - 1\text{.}\) Lanjutkan proses ini pada \(q_1(x)\) untuk memperoleh faktorisasi
\begin{equation*} p(x) = (x - \alpha)(x - \beta)q_2(x)\text{,} \end{equation*}
dengan \(\deg q_2(x) = \deg p(x) -2\text{.}\) Proses ini akhirnya harus berhenti karena derajat \(p(x)\) hingga.
Sebaliknya, misalkan setiap polinomial takkonstan \(p(x)\) di \(F[x]\) terfaktor menjadi faktor-faktor linear. Misalkan \(ax - b\) salah satu faktor tersebut. Maka \(p( b/a ) = 0\text{.}\) Akibatnya, \(F\) tertutup secara aljabar.

Bukti.
Misalkan \(E\) perluasan aljabar dari \(F\text{;}\) maka \(F \subset E\text{.}\) Untuk \(\alpha \in E\text{,}\) polinomial minimal dari \(\alpha\) adalah \(x - \alpha\text{.}\) Oleh karena itu, \(\alpha \in F\) dan \(F = E\text{.}\)
Fakta bahwa setiap lapangan memiliki penutupan aljabar yang tunggal tidaklah sepele. Buktinya tidak terlalu sulit, tetapi memerlukan teori himpunan yang cukup canggih. Untuk bukti hasil ini, kami merujuk pembaca ke [3], [4], atau [8].
Sekarang kita menyatakan Teorema Fundamental Aljabar, yang pertama kali dibuktikan Gauss pada usia 22 tahun dalam tesis doktornya. Teorema ini menyatakan bahwa setiap polinomial dengan koefisien bilangan kompleks memiliki akar dalam bilangan kompleks. Bukti teorema ini akan diberikan dalam Bab 23.
Sblm.Paling AtasLanjut