Lewati ke konten utama

Bagian 13.2 Grup Solvabel

Deret subnormal dari suatu grup \(G\) adalah barisan hingga subgrup
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{,} \end{equation*}
dengan \(H_i\) merupakan subgrup normal dari \(H_{i+1}\text{.}\) Jika setiap subgrup \(H_i\) normal dalam \(G\text{,}\) maka deret tersebut disebut deret normal. Panjang suatu deret subnormal atau deret normal adalah banyaknya inklusi sejati.

Contoh 13.2.1.

Setiap deret subgrup dari suatu grup abelian merupakan deret normal. Tinjau deret grup berikut:
\begin{gather*} {\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\},\\ {\mathbb Z}_{24} \supset \langle 2 \rangle \supset \langle 6 \rangle \supset \langle 12 \rangle \supset \{0\}\text{.} \end{gather*}

Contoh 13.2.2.

Deret subnormal tidak harus merupakan deret normal. Tinjau deret subnormal berikut dari grup \(D_4\text{:}\)
\begin{equation*} D_4 \supset \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \} \supset \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4) \} \supset \{ (1) \}\text{.} \end{equation*}
Subgrup \(\{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4) \}\) tidak normal dalam \(D_4\text{;}\) akibatnya, deret ini bukan deret normal.
Suatu deret subnormal (normal) \(\{ K_j \}\) merupakan perhalusan dari deret subnormal (normal) \(\{ H_i \}\) jika \(\{ H_i \} \subset \{ K_j \}\text{.}\) Artinya, setiap \(H_i\) merupakan salah satu \(K_j\text{.}\)

Contoh 13.2.3.

Deret
\begin{equation*} {\mathbb Z} \supset 3{\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 90{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\} \end{equation*}
merupakan perhalusan dari deret
\begin{equation*} {\mathbb Z} \supset 9{\mathbb Z} \supset 45{\mathbb Z} \supset 180{\mathbb Z} \supset \{0\}\text{.} \end{equation*}
Cara terbaik untuk mempelajari suatu deret subnormal atau normal dari subgrup-subgrup \(\{ H_i \}\) dari \(G\) sebenarnya adalah mempelajari grup hasil bagi \(H_{i+1}/H_i\text{.}\) Kita mengatakan bahwa dua deret subnormal (normal) \(\{H_i \}\) dan \(\{ K_j \}\) dari suatu grup \(G\) isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara koleksi grup hasil bagi \(\{H_{i+1}/H_i \}\) dan \(\{ K_{j+1}/ K_j \}\text{.}\)

Contoh 13.2.4.

Kedua deret normal
\begin{gather*} {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 3 \rangle \supset \langle 15 \rangle \supset \{ 0 \}\\ {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 4 \rangle \supset \langle 20 \rangle \supset \{ 0 \} \end{gather*}
dari grup \({\mathbb Z}_{60}\) isomorfik karena
\begin{gather*} {\mathbb Z}_{60} / \langle 3 \rangle \cong \langle 20 \rangle / \{ 0 \} \cong {\mathbb Z}_{3}\\ \langle 3 \rangle / \langle 15 \rangle \cong \langle 4 \rangle / \langle 20 \rangle \cong {\mathbb Z}_{5}\\ \langle 15 \rangle / \{ 0 \} \cong {\mathbb Z}_{60} / \langle 4 \rangle \cong {\mathbb Z}_4\text{.} \end{gather*}
Suatu deret subnormal \(\{ H_i \}\) dari grup \(G\) disebut deret komposisi jika semua grup hasil baginya sederhana; yaitu, jika tidak satu pun grup hasil bagi dalam deret tersebut memuat subgrup normal. Suatu deret normal \(\{ H_i \}\) dari \(G\) disebut deret prinsipal jika semua grup hasil baginya sederhana.

Contoh 13.2.5.

Grup \({\mathbb Z}_{60}\) memiliki deret komposisi
\begin{equation*} {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 3 \rangle \supset \langle 15 \rangle \supset \langle 30 \rangle \supset \{ 0 \} \end{equation*}
dengan grup-grup hasil bagi
\begin{align*} {\mathbb Z}_{60} / \langle 3 \rangle & \cong {\mathbb Z}_{3}\\ \langle 3 \rangle / \langle 15 \rangle & \cong {\mathbb Z}_{5}\\ \langle 15 \rangle / \langle 30 \rangle & \cong {\mathbb Z}_{2}\\ \langle 30 \rangle / \{ 0 \} & \cong {\mathbb Z}_2\text{.} \end{align*}
Karena \({\mathbb Z}_{60}\) merupakan grup abelian, deret ini secara otomatis merupakan deret prinsipal. Perhatikan bahwa deret komposisi tidak harus tunggal. Deret
\begin{equation*} {\mathbb Z}_{60} \supset \langle 2 \rangle \supset \langle 4 \rangle \supset \langle 20 \rangle \supset \{ 0 \} \end{equation*}
juga merupakan deret komposisi.

Contoh 13.2.6.

Untuk \(n \geq 5\text{,}\) deret
\begin{equation*} S_n \supset A_n \supset \{ (1) \} \end{equation*}
merupakan deret komposisi untuk \(S_n\) karena \(S_n / A_n \cong {\mathbb Z}_2\) dan \(A_n\) sederhana.

Contoh 13.2.7.

Tidak setiap grup memiliki deret komposisi atau deret prinsipal. Misalkan
\begin{equation*} \{ 0 \} = H_0 \subset H_1 \subset \cdots \subset H_{n-1} \subset H_n = {\mathbb Z} \end{equation*}
merupakan deret subnormal untuk bilangan bulat terhadap penjumlahan. Maka \(H_1\) harus berbentuk \(k {\mathbb Z}\) untuk suatu \(k \in {\mathbb N}\text{.}\) Dalam hal ini, \(H_1 / H_0 \cong k {\mathbb Z}\) merupakan grup siklik tak hingga dengan banyak subgrup normal sejati nontrivial.
Meskipun deret komposisi tidak harus tunggal, seperti dalam kasus \({\mathbb Z}_{60}\text{,}\) ternyata sebarang dua deret komposisi saling berkaitan. Grup-grup hasil bagi dari kedua deret komposisi untuk \({\mathbb Z}_{60}\) adalah \({\mathbb Z}_2\text{,}\) \({\mathbb Z}_2\text{,}\) \({\mathbb Z}_3\text{,}\) dan \({\mathbb Z}_5\text{;}\) yaitu, kedua deret komposisi tersebut isomorfik. Teorema Jordan-Hölder menyatakan bahwa hal ini selalu berlaku.

Bukti.
Kita akan menggunakan induksi matematika pada panjang deret komposisi. Jika panjang suatu deret komposisi adalah \(1\text{,}\) maka \(G\) harus merupakan grup sederhana. Dalam kasus ini, sebarang dua deret komposisi isomorfik.
Sekarang andaikan bahwa teorema tersebut benar untuk semua grup yang memiliki deret komposisi dengan panjang \(k\text{,}\) dengan \(1 \leq k \lt n\text{.}\) Misalkan
\begin{gather*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\\ G = K_m \supset K_{m-1} \supset \cdots \supset K_1 \supset K_0 = \{ e \} \end{gather*}
merupakan dua deret komposisi untuk \(G\text{.}\) Kita dapat membentuk dua deret subnormal baru untuk \(G\) karena \(H_i \cap K_{m-1}\) normal dalam \(H_{i+1} \cap K_{m-1}\) dan \(K_j \cap H_{n-1}\) normal dalam \(K_{j+1} \cap H_{n-1}\text{:}\)
\begin{gather*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}\\ G = K_m \supset K_{m-1} \supset K_{m-1} \cap H_{n-1} \supset \cdots \supset K_0 \cap H_{n-1} = \{ e \}\text{.} \end{gather*}
Karena \(H_i \cap K_{m-1}\) normal dalam \(H_{i+1} \cap K_{m-1}\text{,}\) Teorema Isomorfisma Kedua (Teorema 11.2.3) mengakibatkan bahwa
\begin{align*} (H_{i+1} \cap K_{m-1}) / (H_i \cap K_{m-1}) & = (H_{i+1} \cap K_{m-1}) / (H_i \cap ( H_{i+1} \cap K_{m-1} ))\\ & \cong H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})/ H_i\text{,} \end{align*}
dengan \(H_i\) normal dalam \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})\text{.}\) Karena \(\{ H_i \}\) merupakan deret komposisi, \(H_{i+1} / H_i\) harus sederhana; akibatnya, \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})/ H_i\) adalah \(H_{i+1}/H_i\) atau \(H_i/H_i\text{.}\) Artinya, \(H_i (H_{i+1} \cap K_{m-1})\) harus merupakan \(H_i\) atau \(H_{i+1}\text{.}\) Dengan menghapus setiap inklusi yang tidak sejati dari deret
\begin{equation*} H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \}\text{,} \end{equation*}
kita memperoleh deret komposisi untuk \(H_{n-1}\text{.}\) Hipotesis induksi menyatakan bahwa deret ini harus ekuivalen dengan deret komposisi
\begin{equation*} H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{.} \end{equation*}
Dengan demikian, deret komposisi
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \} \end{equation*}
dan
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \} \end{equation*}
ekuivalen. Jika \(H_{n-1} = K_{m-1}\text{,}\) maka deret komposisi \(\{H_i \}\) dan \(\{ K_j \}\) ekuivalen dan pembuktian selesai; jika tidak, \(H_{n-1} K_{m-1}\) merupakan subgrup normal dari \(G\) yang memuat \(H_{n-1}\) secara sejati. Dalam hal ini, \(H_{n-1} K_{m-1} = G\) dan kita dapat menerapkan Teorema Isomorfisma Kedua sekali lagi; yaitu,
\begin{equation*} K_{m-1} / (K_{m-1} \cap H_{n-1}) \cong (H_{n-1} K_{m-1}) / H_{n-1} = G/H_{n-1}\text{.} \end{equation*}
Oleh karena itu,
\begin{equation*} G = H_n \supset H_{n-1} \supset H_{n-1} \cap K_{m-1} \supset \cdots \supset H_0 \cap K_{m-1} = \{ e \} \end{equation*}
dan
\begin{equation*} G = K_m \supset K_{m-1} \supset K_{m-1} \cap H_{n-1} \supset \cdots \supset K_0 \cap H_{n-1} = \{ e \} \end{equation*}
ekuivalen, dan pembuktian teorema selesai.
Suatu grup \(G\) disebut solvabel jika grup tersebut memiliki deret subnormal \(\{ H_i \}\) sedemikian sehingga semua grup hasil bagi \(H_{i+1} / H_i\) abelian. Grup solvabel akan memainkan peran mendasar ketika kita mempelajari teori Galois dan penyelesaian persamaan polinomial.

Contoh 13.2.9.

Grup \(S_4\) solvabel karena
\begin{equation*} S_4 \supset A_4 \supset \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 3)(2 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \} \supset \{ (1) \} \end{equation*}
memiliki grup-grup hasil bagi abelian; namun, untuk \(n \geq 5\text{,}\) deret
\begin{equation*} S_n \supset A_n \supset \{ (1) \} \end{equation*}
merupakan deret komposisi untuk \(S_n\) dengan suatu grup hasil bagi nonabelian. Oleh karena itu, \(S_n\) bukan grup solvabel untuk \(n \geq 5\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut