Lewati ke konten utama

Bagian 12.1 Grup Matriks

Subbagian 12.1.1 Beberapa Fakta dari Aljabar Linear

Sebelum mempelajari grup matriks, kita perlu mengingat kembali beberapa fakta dasar dari aljabar linear. Salah satu gagasan paling mendasar dalam aljabar linear ialah transformasi linear. Suatu transformasi linear atau pemetaan linear \(T : {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^m\) adalah pemetaan yang mempertahankan penjumlahan vektor dan perkalian skalar; yaitu, untuk vektor \({\mathbf x}\) dan \({\mathbf y}\) dalam \({\mathbb R}^n\) serta skalar \(\alpha \in {\mathbb R}\text{,}\)
\begin{align*} T({\mathbf x}+{\mathbf y}) & = T({\mathbf x}) + T({\mathbf y})\\ T(\alpha {\mathbf y}) & = \alpha T({\mathbf y})\text{.} \end{align*}
Suatu matriks \(m \times n\) dengan entri dalam \({\mathbb R}\) merepresentasikan transformasi linear dari \({\mathbb R}^n\) ke \({\mathbb R}^m\text{.}\) Jika vektor \({\mathbf x} = (x_1, \ldots, x_n)^\transpose\) dan \({\mathbf y} = (y_1, \ldots, y_n)^\transpose\) dalam \({\mathbb R}^n\) kita tuliskan sebagai matriks kolom, maka matriks \(m \times n\)
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \end{equation*}
memetakan vektor-vektor tersebut secara linear ke \({\mathbb R}^m\) melalui perkalian matriks. Perhatikan bahwa jika \(\alpha\) suatu bilangan real,
\begin{equation*} A({\mathbf x} + {\mathbf y} ) = A {\mathbf x }+ A {\mathbf y} \qquad \text{dan} \qquad \alpha A {\mathbf x} = A ( \alpha {\mathbf x})\text{,} \end{equation*}
dengan
\begin{equation*} {\mathbf x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
Kita akan sering menyingkat matriks \(A\) dengan menuliskan \((a_{ij})\text{.}\)
Sebaliknya, jika \(T : {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^m\) suatu pemetaan linear, kita dapat mengaitkan suatu matriks \(A\) dengan \(T\) dengan memperhatikan tindakan \(T\) pada vektor-vektor
\begin{align*} {\mathbf e}_1 & = (1, 0, \ldots, 0)^\transpose\\ {\mathbf e}_2 & = (0, 1, \ldots, 0)^\transpose\\ & \aatavdots{=} &\\ {\mathbf e}_n & = (0, 0, \ldots, 1)^\transpose\text{.} \end{align*}
Setiap vektor \({\mathbf x} = (x_1, \ldots, x_n)^\transpose\) dapat kita tuliskan sebagai
\begin{equation*} x_1 {\mathbf e}_1 + x_2 {\mathbf e}_2 + \cdots + x_n {\mathbf e}_n\text{.} \end{equation*}
Akibatnya, jika
\begin{align*} T({\mathbf e}_1) & = (a_{11}, a_{21}, \ldots, a_{m1})^\transpose,\\ T({\mathbf e}_2) & = (a_{12}, a_{22}, \ldots, a_{m2})^\transpose,\\ & \aatavdots{=} &\\ T({\mathbf e}_n) & = (a_{1n}, a_{2n}, \ldots, a_{mn})^\transpose\text{,} \end{align*}
maka
\begin{align*} T({\mathbf x} ) & = T(x_1 {\mathbf e}_1 + x_2 {\mathbf e}_2 + \cdots + x_n {\mathbf e}_n)\\ & = x_1 T({\mathbf e}_1) + x_2 T({\mathbf e}_2) + \cdots + x_n T({\mathbf e}_n)\\ & = \left( \sum_{k=1}^{n} a_{1k} x_k, \ldots, \sum_{k=1}^{n} a_{mk} x_k \right)^\transpose\\ & = A {\mathbf x}\text{.} \end{align*}

Contoh 12.1.1.

Jika \(T : {\mathbb R}^2 \rightarrow {\mathbb R}^2\) kita tetapkan sebagai pemetaan yang diberikan oleh
\begin{equation*} T(x_1, x_2) = (2 x_1 + 5 x_2, - 4 x_1 + 3 x_2)\text{,} \end{equation*}
aksioma-aksioma yang harus dipenuhi \(T\) agar menjadi transformasi linear dapat diverifikasi dengan mudah. Vektor kolom \(T {\mathbf e}_1 = (2, -4)^\transpose\) dan \(T {\mathbf e}_2 = (5,3)^\transpose\) menunjukkan bahwa \(T\) diberikan oleh matriks
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
Karena kita tertarik pada grup matriks, kita perlu mengetahui matriks mana yang mempunyai invers perkalian. Ingat bahwa matriks \(n \times n\) \(A\) disebut dapat dibalik tepat ketika terdapat matriks lain \(A^{-1}\) sedemikian sehingga \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\text{,}\) dengan
\begin{equation*} I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
merupakan matriks identitas \(n \times n\text{.}\) Dari aljabar linear, kita mengetahui bahwa \(A\) dapat dibalik jika dan hanya jika determinan \(A\) tidak nol. Matriks yang dapat dibalik kadang-kadang disebut nonsingular.

Contoh 12.1.2.

Jika \(A\) adalah matriks
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\text{,} \end{equation*}
maka invers \(A\) adalah
\begin{equation*} A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
Keberadaan \(A^{-1}\) terjamin karena \(\det(A) = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 1\) tidak nol.
Beberapa fakta lain mengenai determinan juga akan berguna dalam bab ini. Misalkan \(A\) dan \(B\) matriks \(n \times n\text{.}\) Dari aljabar linear, kita memperoleh sifat-sifat determinan berikut.
  • Determinan merupakan homomorfisma ke grup perkalian bilangan real; yaitu, \(\det( A B) = (\det A )(\det B)\text{.}\)
  • Jika \(A\) merupakan matriks yang dapat dibalik, maka \(\det(A^{-1}) = 1 / \det A\text{.}\)
  • Jika transpos dari matriks \(A = (a_{ij})\) kita definisikan sebagai \(A^\transpose = (a_{ji})\text{,}\) maka \(\det(A^\transpose) = \det A\text{.}\)
  • Misalkan \(T\) transformasi linear yang berkaitan dengan matriks \(n \times n\) \(A\text{.}\) Maka \(T\) mengalikan volume dengan faktor \(\mathopen{|}\det A|\text{.}\) Dalam kasus \({\mathbb R}^2\text{,}\) ini berarti bahwa \(T\) mengalikan luas dengan \(\mathopen{|}\det A|\text{.}\)
Pemetaan linear, matriks, dan determinan dibahas dalam setiap buku teks aljabar linear elementer; akan tetapi, jika Anda belum pernah mengikuti mata kuliah aljabar linear, sifat-sifat ini dapat diverifikasi secara langsung dengan mudah untuk matriks \(2 \times 2\text{,}\) yaitu kasus yang paling kita perhatikan.

Subbagian 12.1.2 Grup Linear Umum dan Grup Linear Khusus

Himpunan semua matriks \(n \times n\) yang dapat dibalik membentuk suatu grup yang disebut grup linear umum. Kita akan menyatakan grup ini dengan \(GL_n({\mathbb R})\text{.}\) Grup linear umum memiliki beberapa subgrup penting. Sifat perkalian determinan menyiratkan bahwa himpunan matriks berdeterminan satu merupakan subgrup dari grup linear umum. Dengan kata lain, andaikan \(\det(A) =1\) dan \(\det(B) = 1\text{.}\) Maka \(\det(AB) = \det(A) \det (B) = 1\) dan \(\det(A^{-1}) = 1 / \det A = 1\text{.}\) Subgrup ini disebut grup linear khusus dan dinyatakan dengan \(SL_n({\mathbb R})\text{.}\)

Contoh 12.1.3.

Diberikan suatu matriks \(2 \times 2\)
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\text{,} \end{equation*}
determinan \(A\) adalah \(ad-bc\text{.}\) Grup \(GL_2({\mathbb R})\) terdiri atas matriks-matriks yang memenuhi \(ad-bc \neq 0\text{.}\) Invers \(A\) adalah
\begin{equation*} A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
Jika \(A\) berada dalam \(SL_2({\mathbb R})\text{,}\) maka
\begin{equation*} A^{-1} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
Secara geometris, \(SL_2({\mathbb R})\) merupakan grup yang mempertahankan luas jajar genjang. Misalkan
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
berada dalam \(SL_2({\mathbb R})\text{.}\) Dalam Gambar 12.1.4, persegi satuan yang bersesuaian dengan vektor \({\mathbf x} = (1,0)^\transpose\) dan \({\mathbf y} = (0,1)^\transpose\) dipetakan oleh \(A\) ke jajar genjang dengan sisi \((1,0)^\transpose\) dan \((1, 1)^\transpose\text{;}\) yaitu, \(A {\mathbf x} = (1,0)^\transpose\) dan \(A {\mathbf y} = (1, 1)^\transpose\text{.}\) Perhatikan bahwa kedua jajar genjang ini mempunyai luas yang sama.
Sebuah persegi pada sistem sumbu, dengan sisi kiri berupa vektor dari titik asal ke (0,1) dan sisi bawah berupa vektor dari titik asal ke (1,0).
Sebuah jajar genjang pada sistem sumbu, dengan sisi kiri berupa vektor dari titik asal ke (1,1) dan sisi bawah berupa vektor dari titik asal ke (1,0).
Gambar 12.1.4. Tindakan \(SL_2(\mathbb R)\) pada persegi satuan

Subbagian 12.1.3 Grup Ortogonal \(O(n)\)

Subgrup lain dari \(GL_n({\mathbb R})\) ialah grup ortogonal. Suatu matriks \(A\) disebut ortogonal jika \(A^{-1} = A^\transpose\text{.}\) Grup ortogonal terdiri atas himpunan semua matriks ortogonal. Kita menuliskan \(O(n)\) untuk grup ortogonal \(n \times n\text{.}\) Pembuktian bahwa \(O(n)\) merupakan subgrup dari \(GL_n( {\mathbb R})\) diserahkan sebagai latihan.

Contoh 12.1.5.

Matriks-matriks berikut bersifat ortogonal:
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 3/5 & -4/5 \\ 4/5 & 3/5 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} & 0 & 1/ \sqrt{2} \\ 1/\sqrt{6} & -2/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6} \\ 1/ \sqrt{3} & 1/ \sqrt{3} & 1/ \sqrt{3} \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}
Terdapat cara yang lebih geometris untuk memandang grup \(O(n)\text{.}\) Matriks ortogonal tepat merupakan matriks yang mempertahankan panjang vektor. Kita dapat mendefinisikan panjang vektor dengan menggunakan hasil kali dalam Euklides, atau hasil kali titik, dari dua vektor. Hasil kali dalam Euklides dari dua vektor \({\mathbf x}=(x_1, \ldots, x_n)^\transpose\) dan \({\mathbf y}=(y_1, \ldots, y_n)^\transpose\) adalah
\begin{equation*} \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = {\mathbf x}^\transpose {\mathbf y} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n\text{.} \end{equation*}
Panjang vektor \({\mathbf x}=(x_1, \ldots, x_n)^\transpose\) kita definisikan sebagai
\begin{equation*} \| {\mathbf x} \| = \sqrt{\langle {\mathbf x}, {\mathbf x} \rangle} = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}\text{.} \end{equation*}
Gagasan jarak antara dua vektor berkaitan dengan konsep panjang vektor. Kita mendefinisikan jarak antara dua vektor \({\mathbf x}\) dan \({\mathbf y}\) sebagai \(\| {\mathbf x}-{\mathbf y} \|\text{.}\) Pembuktian proposisi berikut mengenai sifat hasil kali dalam Euklides diserahkan sebagai latihan.

Contoh 12.1.7.

Vektor \({\mathbf x} =(3,4)^\transpose\) mempunyai panjang \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{.}\) Kita juga dapat melihat bahwa matriks ortogonal
\begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 3/5 & -4/5 \\ 4/5 & 3/5 \end{pmatrix} \end{equation*}
mempertahankan panjang vektor tersebut. Vektor \(A{\mathbf x} = (-7/5,24/5)^\transpose\) juga mempunyai panjang \(5\text{.}\)
Karena \(\det(A A^\transpose) = \det(I) = 1\) dan \(\det(A) = \det( A^\transpose )\text{,}\) determinan setiap matriks ortogonal bernilai \(1\) atau \(-1\text{.}\) Perhatikan vektor-vektor kolom
\begin{equation*} {\mathbf a}_j = \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{pmatrix} \end{equation*}
dari matriks ortogonal \(A= (a_{ij})\text{.}\) Karena \(AA^\transpose = I\text{,}\) \(\langle {\mathbf a}_r, {\mathbf a}_s \rangle = \delta_{rs}\text{,}\) dengan
\begin{equation*} \delta_{rs} = \begin{cases} 1 & r = s \\ 0 & r \neq s \end{cases} \end{equation*}
merupakan delta Kronecker. Dengan demikian, semua vektor kolom suatu matriks ortogonal mempunyai panjang \(1\text{;}\) dan hasil kali dalam Euklides dari vektor-vektor kolom yang berbeda bernilai nol. Setiap himpunan vektor yang memenuhi sifat-sifat ini disebut himpunan ortonormal. Sebaliknya, jika diberikan matriks \(n \times n\) \(A\) yang kolom-kolomnya membentuk himpunan ortonormal, maka \(A^{-1} = A^\transpose\text{.}\)
Suatu matriks \(A\) disebut mempertahankan jarak, mempertahankan panjang, atau mempertahankan hasil kali dalam apabila \(\| A{\mathbf x}- A{\mathbf y} \| =\| {\mathbf x}- {\mathbf y} \|\text{,}\) \(\| A{\mathbf x} \| =\| {\mathbf x} \|\text{,}\) atau \(\langle A{\mathbf x}, A{\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf x},{\mathbf y} \rangle\text{,}\) secara berturut-turut. Teorema berikut, yang mengarakterisasi grup ortogonal, menyatakan bahwa gagasan-gagasan tersebut ekuivalen.

Bukti.
Kita telah menunjukkan bahwa (1) dan (2) ekuivalen.
\((2) \Rightarrow (3)\text{.}\)
\begin{align*} \langle A{\mathbf x}, A{\mathbf y} \rangle & = (A {\mathbf x})^\transpose A {\mathbf y}\\ & = {\mathbf x}^\transpose A^\transpose A {\mathbf y}\\ & = {\mathbf x}^\transpose {\mathbf y}\\ & = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.} \end{align*}
\((3) \Rightarrow (2)\text{.}\) Pertama-tama, \(\langle A{\mathbf x}, A {\mathbf y} \rangle = (A{\mathbf x})^\transpose A{\mathbf y} = {\mathbf x}^\transpose A^\transpose A {\mathbf y} = {\mathbf x}^\transpose {\mathbf y}.\) Jika \(M\) suatu matriks \(n \times n\) sembarang, maka \(\mathbf e_i^\transpose M \mathbf e_j^\transpose = M_{ij}\text{,}\) dengan \(M_{ij}\) merupakan entri ke-\(ij\) dari matriks \(M\text{.}\) Dengan memperhatikan bahwa \({\mathbf x}^\transpose A^\transpose A {\mathbf y} = {\mathbf x}^\transpose {\mathbf y}\text{,}\) misalkan \(\mathbf x = \mathbf e_i\) dan \(\mathbf y = \mathbf e_j\text{.}\) Maka
\begin{equation*} \mathbf e_i^\transpose A^\transpose A \mathbf e_j = \mathbf e_i^\transpose \mathbf e_j. \end{equation*}
Jadi, komponen ke-\(ij\) dari \(A^\transpose A\) bernilai \(1\) ketika \(i = j\) dan \(0\) selainnya. Dengan kata lain, \(A^\transpose A = I\text{,}\) dan \(A^{-1} = A^\transpose\text{.}\)
\((3) \Rightarrow (4)\text{.}\) Jika \(A\) mempertahankan hasil kali dalam, maka \(A\) mempertahankan jarak, sebab
\begin{align*} \| A{\mathbf x} - A{\mathbf y} \|^2 & = \| A({\mathbf x} - {\mathbf y}) \|^2\\ & = \langle A({\mathbf x} - {\mathbf y}), A({\mathbf x} - {\mathbf y}) \rangle\\ & = \langle {\mathbf x} - {\mathbf y}, {\mathbf x} - {\mathbf y} \rangle\\ & = \| {\mathbf x} - {\mathbf y} \|^2\text{.} \end{align*}
\((4) \Rightarrow (5)\text{.}\) Jika \(A\) mempertahankan jarak, maka \(A\) mempertahankan panjang. Dengan mengambil \({\mathbf y} = 0\text{,}\) kita memperoleh
\begin{equation*} \| A{\mathbf x}\| = \| A{\mathbf x}- A{\mathbf y} \| = \| {\mathbf x}- {\mathbf y} \| = \| {\mathbf x} \|\text{.} \end{equation*}
\((5) \Rightarrow (3)\text{.}\) Kita menggunakan identitas berikut untuk menunjukkan bahwa sifat mempertahankan panjang menyiratkan sifat mempertahankan hasil kali dalam:
\begin{equation*} \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} +{\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \|{\mathbf y}\|^2 \right]\text{.} \end{equation*}
Perhatikan bahwa
\begin{align*} \langle A {\mathbf x}, A {\mathbf y} \rangle & = \frac{1}{2} \left[ \|A {\mathbf x} + A {\mathbf y} \|^2 - \|A {\mathbf x} \|^2 - \|A {\mathbf y} \|^2 \right]\\ & = \frac{1}{2} \left[ \|A ( {\mathbf x} + {\mathbf y} ) \|^2 - \|A {\mathbf x} \|^2 - \|A {\mathbf y} \|^2 \right]\\ & = \frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} + {\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \|{\mathbf y}\|^2 \right]\\ & = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.} \end{align*}
Dua gambar berdampingan. Gambar di kiri berupa sistem sumbu dengan sebuah panah dari titik asal yang mengarah ke atas dan kanan menuju (a,b), serta panah kedua dari titik asal yang mengarah ke bawah dan kanan menuju titik (a, -b). Gambar di kanan berupa sistem sumbu dengan sebuah panah dari titik asal yang mengarah ke atas dan kanan menuju (kosinus teta, sinus teta), serta sebuah panah yang mengarah ke atas dan kiri, tegak lurus terhadap vektor pertama, dari titik asal menuju (sinus teta, minus kosinus teta).
Dua gambar berdampingan. Gambar di kiri berupa sistem sumbu dengan sebuah panah dari titik asal yang mengarah ke atas dan kanan menuju (a,b), serta panah kedua dari titik asal yang mengarah ke bawah dan kanan menuju titik (a, -b). Gambar di kanan berupa sistem sumbu dengan sebuah panah dari titik asal yang mengarah ke atas dan kanan menuju (kosinus teta, sinus teta), serta sebuah panah yang mengarah ke atas dan kiri, tegak lurus terhadap vektor pertama, dari titik asal menuju (sinus teta, minus kosinus teta).
Gambar 12.1.9. Tindakan \(O(2)\) pada \(\mathbb R^2\)

Contoh 12.1.10.

Mari kita periksa grup ortogonal pada \({\mathbb R}^2\) dengan lebih saksama. Suatu elemen \(A \in O(2)\) ditentukan oleh tindakannya pada \({\mathbf e}_1 = (1, 0)^\transpose\) dan \({\mathbf e}_2 = (0, 1)^\transpose\text{.}\) Jika \(A{\mathbf e}_1 = (a,b)^\transpose\text{,}\) maka \(a^2 + b^2 = 1\text{,}\) karena panjang suatu vektor harus dipertahankan ketika vektor tersebut dikalikan dengan \(A\text{.}\) Karena perkalian dengan elemen \(O(2)\) mempertahankan panjang dan keortogonalan, \(A{\mathbf e}_2 = \pm(-b, a)^\transpose\text{.}\) Jika kita memilih \(A{\mathbf e}_2 = (-b, a)^\transpose\text{,}\) maka
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}, \end{equation*}
dengan \(0 \leq \theta \lt 2 \pi\text{.}\) Matriks \(A\) memutar suatu vektor dalam \(\mathbb R^2\) berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal sejauh sudut \(\theta\) (Gambar 12.1.9).
Jika kita memilih \(A{\mathbf e}_2 = (b, -a)^\transpose\text{,}\) maka kita memperoleh matriks
\begin{equation*} B = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix}. \end{equation*}
Di sini, \(\det B = -1\) dan
\begin{equation*} B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}
Pencerminan terhadap sumbu horizontal diberikan oleh matriks
\begin{equation*} C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \end{equation*}
dan \(B = AC\) (lihat Gambar 12.1.9). Jadi, pencerminan terhadap garis \(\ell\) tidak lain adalah pencerminan terhadap sumbu horizontal yang diikuti oleh rotasi.
Dua grup matriks atau grup yang berkaitan dengan matriks lainnya yang akan kita perhatikan ialah grup ortogonal khusus dan grup gerak Euklides. Grup ortogonal khusus, \(SO(n)\text{,}\) tidak lain adalah irisan \(O(n)\) dan \(SL_n({\mathbb R})\text{;}\) yaitu, elemen-elemen dalam \(O(n)\) yang berdeterminan satu. Grup Euklides, \(E(n)\text{,}\) dapat dituliskan sebagai pasangan terurut \((A, {\mathbf x})\text{,}\) dengan \(A\) berada dalam \(O(n)\) dan \({\mathbf x}\) berada dalam \({\mathbb R}^n\text{.}\) Kita mendefinisikan perkalian dengan
\begin{equation*} (A, {\mathbf x}) (B, {\mathbf y}) = (AB, A {\mathbf y} +{\mathbf x})\text{.} \end{equation*}
Identitas grup tersebut adalah \((I,{\mathbf 0})\text{;}\) invers dari \((A, {\mathbf x})\) adalah \((A^{-1}, -A^{-1} {\mathbf x})\text{.}\) Dalam Latihan 12.4.6, Anda diminta memeriksa bahwa \(E(n)\) benar-benar merupakan grup di bawah operasi ini.
Sistem sumbu dengan sebuah panah dari titik asal yang mengarah ke atas dan kanan menuju titik x.
Sistem sumbu dengan sebuah panah yang panjang dan arahnya sama seperti pada diagram sebelumnya, dari sebuah titik di sebelah kanan dan atas titik asal menuju titik x + y.
Gambar 12.1.11. Translasi dalam \(\mathbb R^2\)
Sblm.Paling AtasLanjut