Lewati ke konten utama

Latihan 22.8 Latihan Sage

1.

Buat lapangan hingga berorde \(5^2\text{,}\) kemudian faktorkan \(p(x)=x^{25}-x\) di atas lapangan ini. Jelaskan hal yang menarik dari hasil tersebut dan mengapa hasil itu tidak mengejutkan.

2.

Korolari 22.1.11 menyatakan bahwa elemen-elemen tak nol suatu lapangan hingga membentuk grup siklik di bawah perkalian. Pembangkit yang digunakan dalam Sage juga merupakan pembangkit grup multiplikatif ini. Untuk melihatnya, buat lapangan hingga berorde \(2^7\text{.}\) Buat dua daftar elemen lapangan tersebut: pertama, gunakan metode .list(), kemudian gunakan komprehensi daftar untuk menghasilkan pangkat-pangkat yang sesuai dari pembangkit yang Anda tentukan ketika membuat lapangan.
Daftar kedua seharusnya mencakup seluruh lapangan, tetapi tidak memuat nol. Buat elemen nol dari lapangan (mungkin dengan memaksakan \(0\) ke dalam lapangan) dan tambahkan elemen tersebut ke daftar pangkat dengan .append(). Terapkan perintah sorted() pada setiap daftar, kemudian uji apakah kedua daftar sama.

3.

Sublapangan dari suatu lapangan hingga diklasifikasikan secara lengkap oleh Teorema 22.1.7. Kita dapat membuat dua lapangan hingga dengan orde yang tepat agar hubungan lapangan induk/sublapangan berlaku, lalu menerjemahkan elemen dari satu lapangan ke lapangan lainnya. Akan tetapi, dalam latihan ini kita akan membuat sublapangan dari suatu lapangan hingga sejak awal. Karena grup elemen tak nol dalam lapangan hingga bersifat siklik, elemen-elemen tak nol suatu sublapangan akan membentuk subgrup dari grup siklik tersebut, dan dengan sendirinya akan bersifat siklik.
Buat lapangan hingga berorde \(3^6\text{.}\) Teori menyatakan bahwa terdapat sublapangan berorde \(3^2\text{,}\) karena \(2|6\text{.}\) Tentukan pembangkit berorde multiplikatif \(8\) bagi elemen-elemen tak nol dari sublapangan ini, lalu konstruksikan \(8\) elemen tersebut. Tambahkan elemen nol lapangan ke daftar ini. Seharusnya jelas bahwa himpunan beranggotakan \(9\) elemen ini tertutup di bawah perkalian. Tanpa teorema kita tentang lapangan hingga dan grup siklik, ketertutupan di bawah penjumlahan belum terjamin. Tulis satu pernyataan yang memeriksa apakah himpunan ini juga tertutup di bawah penjumlahan, dengan meninjau semua kemungkinan jumlah elemen dari himpunan tersebut.

4.

Soal ini menyelidiki “separabilitas” \({\mathbb Q}(\sqrt{3},\sqrt{7})\text{.}\) Anda dapat membuat lapangan bilangan ini dengan cepat menggunakan konstruktor NumberFieldTower, bersama dengan polinomial \(x^2-3\) dan \(x^2-7\text{.}\) Ratakan menara tersebut dengan metode .absolute_field() dan gunakan metode .structure() untuk memperoleh pemetaan antara menara dan versi yang telah diratakan. Namai menara tersebut N dan gunakan a serta b sebagai pembangkit. Namai versi yang diratakan L dengan c sebagai pembangkit.
Buat elemen tak trivial (“acak”) dari L dengan menggunakan sebanyak mungkin pangkat c (periksa derajat L untuk mengetahui banyaknya pangkat yang bebas linear). Minta Sage menentukan polinomial minimal dari elemen acak Anda, sehingga memastikan bahwa elemen tersebut merupakan akar. Konstruksikan polinomial minimal itu sebagai polinomial di atas N, yaitu menara lapangan, lalu tentukan faktorisasinya. Faktorisasi Anda seharusnya hanya mempunyai faktor-faktor linear. Setiap akar seharusnya berupa ekspresi dalam a dan b, jadi ubah setiap akar menjadi ekspresi dengan notasi matematika yang melibatkan \(\sqrt{3}\) dan \(\sqrt{7}\text{.}\) Gunakan salah satu pemetaan untuk memverifikasi bahwa salah satu akar memang merupakan elemen acak semula.
Buat beberapa elemen acak lagi dan tentukan suatu faktorisasi (dalam N atau dalam L). Agar suatu lapangan separabel, setiap elemen lapangan harus menjadi akar dari suatu polinomial separabel. Polinomial minimal merupakan polinomial yang baik untuk diuji. (Mengapa?) Berdasarkan bukti tersebut, apakah \({\mathbb Q}(\sqrt{3},\sqrt{7})\) tampaknya merupakan perluasan separabel?

5.

Latihan 22.4.21 mendeskripsikan pemetaan Frobenius, yaitu automorfisme suatu lapangan hingga. Jika F merupakan lapangan hingga dalam Sage, maka End(F) akan membuat grup automorfisme F, yaitu himpunan semua pemetaan bijektif dari lapangan tersebut ke dirinya sendiri.
  1. Kerjakan Latihan 22.4.21 untuk memahami bagaimana dan mengapa pemetaan Frobenius merupakan automorfisme lapangan. (Jangan sertakan bagian ini dalam jawaban Anda untuk pertanyaan ini, tetapi pahamilah bahwa bagian berikut akan jauh lebih mudah jika Anda mengerjakan soal tersebut terlebih dahulu.)
  2. Untuk beberapa lapangan hingga yang kecil, tetapi tidak trivial, temukan pemetaan Frobenius dalam grup automorfisme. Kecil dapat berarti \(p=2,3,5,7\) dan \(3\leq n\leq 10\text{,}\) dengan membandingkan \(n\) prima dan komposit.
  3. Setelah menemukan pemetaan Frobenius, deskripsikan automorfisme lainnya. Dengan kata lain, melalui sedikit penyelidikan, Anda seharusnya menemukan deskripsi automorfisme yang memungkinkan Anda memprediksi secara akurat seluruh grup automorfisme bagi lapangan hingga yang belum Anda eksplorasi. (Petunjuk: grup automorfisme merupakan suatu grup. Bagaimana jika Anda “melakukan operasi” antara pemetaan Frobenius dan dirinya sendiri? Operasi apakah itu? Cobalah menggunakan notasi multiplikatif Sage dengan elemen-elemen grup automorfisme.)
  4. Bagaimanakah “struktur” grup automorfisme tersebut? Status khusus apa yang dimiliki pemetaan Frobenius dalam grup ini?
  5. Bagi sebarang lapangan, sublapangan yang dikenal sebagai lapangan tetap merupakan konstruksi penting, dan akan sangat penting dalam bab berikutnya. Diberikan automorfisme \(\tau\) dari lapangan \(E\text{,}\) himpunan bagian \(K=\{b\in E\mid\tau(b)=b\}\text{,}\) dapat ditunjukkan merupakan sublapangan dari \(E\text{.}\) Sublapangan ini dikenal sebagai lapangan tetap dari \(\tau\) dalam \(E\text{.}\) Untuk setiap automorfisme dari \(E=GF(3^6)\text{,}\) identifikasikan lapangan tetap automorfisme tersebut. Karena kita memahami struktur sublapangan dari lapangan hingga, cukup tentukan orde lapangan tetap agar sublapangan itu dapat diidentifikasi secara tepat.

6.

Latihan 22.4.15 mengisyaratkan bahwa setiap elemen lapangan hingga dapat ditulis (dinyatakan) sebagai jumlah kuadrat. Latihan ini menyarankan eksperimen komputasional yang dapat membantu Anda merumuskan bukti bagi latihan tersebut.
  1. Konstruksikan dua lapangan hingga yang kecil, tetapi tidak terlalu kecil, satu dengan \(p=2\) dan satu lagi dengan prima ganjil. Ulangi langkah berikut untuk setiap lapangan \(F\text{.}\)
  2. Pilih suatu elemen “acak” dari lapangan, misalnya \(a\in F\text{.}\) Konstruksikan himpunan
    \begin{align*} &\{x^2|x\in F\}&&\{a-x^2|x\in F\} \end{align*}
    dengan menggunakan himpunan Sage melalui konstruktor \(Set()\text{.}\) (Berhati-hatilah: set() merupakan perintah Python yang perilakunya berbeda secara mendasar.)
  3. Periksa ukuran kedua himpunan dan ukuran irisannya (.intersection()). Coba elemen-elemen yang berbeda untuk \(a\text{,}\) mungkin dengan menulis perulangan untuk mencoba semua nilai yang mungkin. Perhatikan bahwa \(p=2\) akan berperilaku cukup berbeda.
  4. Andaikan Anda mempunyai suatu elemen irisan tersebut. (Anda dapat memperolehnya dengan .an_element().) Bagaimana hal ini menghasilkan jumlah kuadrat yang diajukan dalam latihan?
  5. Dapatkah Anda menulis fungsi Python yang menerima lapangan hingga berorde perpangkatan prima ganjil, lalu mencantumkan setiap elemennya sebagai jumlah kuadrat?
Sblm.Paling AtasLanjut