Bab 21 Lapangan
Wajar untuk menanyakan apakah suatu lapangan \(F\) termuat dalam lapangan yang lebih besar. Kita dapat memikirkan bilangan rasional, yang berada di dalam bilangan real, sedangkan bilangan real sendiri berada di dalam bilangan kompleks. Kita juga dapat mempelajari lapangan-lapangan di antara \({\mathbb Q}\) dan \({\mathbb R}\) serta menyelidiki sifat lapangan-lapangan tersebut.
Secara lebih khusus, jika diberikan lapangan \(F\) dan polinomial \(p(x) \in F[x]\text{,}\) kita dapat menanyakan apakah dapat ditemukan lapangan \(E\) yang memuat \(F\) sedemikian sehingga \(p(x)\) terfaktor menjadi faktor-faktor linear atas \(E[x]\text{.}\) Sebagai contoh, jika kita meninjau polinomial
\begin{equation*}
p(x) = x^4 -5 x^2 + 6
\end{equation*}
di \({\mathbb Q}[x]\text{,}\) maka \(p(x)\) terfaktor sebagai \((x^2 - 2)(x^2 - 3)\text{.}\) Akan tetapi, kedua faktor ini tak tereduksi di \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Jika kita ingin menemukan suatu nol dari \(p(x)\text{,}\) kita harus beralih ke lapangan yang lebih besar. Lapangan bilangan real tentu memenuhi kebutuhan ini, karena
\begin{equation*}
p(x) = (x - \sqrt{2} ) (x + \sqrt{2} )( x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})\text{.}
\end{equation*}
Kita dapat menemukan lapangan yang lebih kecil tempat \(p(x)\) memiliki nol, yaitu
\begin{equation*}
{\mathbb Q }( \sqrt{2} ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}
\end{equation*}
Kita ingin dapat menghitung dan mempelajari lapangan semacam itu untuk sembarang polinomial atas suatu lapangan \(F\text{.}\)
