Bab 23 Teori Galois
Salah satu masalah klasik dalam aljabar adalah mencari penyelesaian persamaan polinomial. Penyelesaian persamaan kuadrat telah dikenal sejak zaman kuno. Pada abad keenam belas, para matematikawan Italia menemukan penyelesaian umum untuk persamaan kubik dan kuartik umum; namun, upaya menyelesaikan polinomial berderajat lima, atau kuintik, yang umum terus menemui jalan buntu selama tiga ratus tahun berikutnya. Tentu saja, persamaan seperti \(x^5 - 1 = 0\) atau \(x^6 - x^3 - 6 = 0\) dapat diselesaikan, tetapi tidak ditemukan penyelesaian seperti rumus kuadrat untuk persamaan kuintik umum,
\begin{equation*}
a x^5 + b x^4 +c x^3 + d x^2 + e x + f = 0\text{.}
\end{equation*}
Akhirnya, pada awal abad kesembilan belas, Ruffini dan Abel masing-masing menemukan persamaan kuintik yang tidak dapat diselesaikan dengan rumus apa pun. Namun, Galois-lah yang memberikan penjelasan lengkap dengan menunjukkan polinomial mana yang dapat dan tidak dapat diselesaikan menggunakan rumus. Ia menemukan hubungan antara grup dan perluasan lapangan. Teori Galois menunjukkan kesalingbergantungan yang kuat antara teori grup dan teori lapangan, serta memiliki implikasi luas jauh melampaui tujuan awalnya.
Dalam bab ini kita akan membuktikan Teorema Dasar Teori Galois. Hasil ini akan digunakan untuk menetapkan ketakterselesaian persamaan kuintik dan membuktikan Teorema Dasar Aljabar.
