Bagian 19.3 Aljabar Rangkaian Listrik

Kegunaan aljabar Boolean semakin tampak selama beberapa dasawarsa terakhir seiring perkembangan komputer modern. Desain rangkaian cip komputer dapat dinyatakan dalam aljabar Boolean. Dalam bagian ini kita akan mengembangkan aljabar Boolean untuk rangkaian listrik dan sakelar; namun, hasil-hasil ini dapat dengan mudah diperumum ke desain rangkaian terpadu komputer.

Sakelar adalah perangkat yang ditempatkan pada suatu titik dalam rangkaian listrik dan mengendalikan aliran arus melalui rangkaian tersebut. Setiap sakelar memiliki dua keadaan yang mungkin: sakelar dapat terbuka sehingga tidak mengizinkan arus melewati rangkaian, atau dapat tertutup sehingga mengizinkan arus mengalir. Kedua keadaan ini saling eksklusif. Kita mensyaratkan bahwa setiap sakelar berada dalam salah satu keadaan tersebut—sakelar tidak dapat terbuka dan tertutup pada saat yang sama. Selain itu, jika suatu sakelar selalu berada dalam keadaan yang sama dengan sakelar lain, kita menyatakan keduanya dengan huruf yang sama; artinya, dua sakelar yang sama-sama diberi label \(a\) akan selalu terbuka pada saat yang sama dan tertutup pada saat yang sama.

Dari dua sakelar, kita dapat menyusun dua jenis dasar rangkaian. Dua sakelar \(a\) dan \(b\) tersusun seri jika keduanya membentuk rangkaian seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 19.3.1. Dalam rangkaian seri, arus dapat mengalir di antara terminal \(A\) dan \(B\) hanya jika kedua sakelar \(a\) dan \(b\) tertutup. Kombinasi sakelar ini kita nyatakan dengan \(a \wedge b\text{.}\) Dua sakelar \(a\) dan \(b\) tersusun paralel jika keduanya membentuk rangkaian seperti yang tampak dalam Gambar 19.3.2. Dalam rangkaian paralel, arus dapat mengalir di antara \(A\) dan \(B\) jika salah satu sakelar tertutup. Kombinasi paralel rangkaian \(a\) dan \(b\) kita nyatakan dengan \(a \vee b\text{.}\)

Graf dengan lintasan dari kiri ke kanan yang menghubungkan A, a, b, dan B secara berurutan. — Gambar 19.3.1. \(a \wedge b\)

Graf dari kiri ke kanan dengan dua lintasan. Dari kiri, A menuju a pada lintasan atas, lalu a menuju B. Lintasan kedua dimulai dari A di kiri, kemudian menuju b pada lintasan bawah, lalu b menuju B. — Gambar 19.3.2. \(a \vee b\)

Kita dapat membangun rangkaian listrik yang lebih rumit dari rangkaian seri dan paralel dengan mengganti sebarang sakelar dalam rangkaian dengan salah satu dari dua jenis dasar rangkaian tersebut. Rangkaian yang dibangun dengan cara ini disebut rangkaian seri-paralel.

Dua rangkaian kita anggap ekuivalen jika keduanya bekerja dengan cara yang sama. Artinya, jika sakelar-sakelar dalam rangkaian yang ekuivalen kita atur dengan tepat sama, kita akan memperoleh hasil yang sama. Sebagai contoh, dalam rangkaian seri, \(a \wedge b\) sama persis dengan \(b \wedge a\text{.}\) Perhatikan bahwa hal ini tepat merupakan hukum komutatif untuk aljabar Boolean. Bahkan, himpunan semua rangkaian seri-paralel membentuk aljabar Boolean di bawah operasi \(\vee\) dan \(\wedge\text{.}\) Kita dapat menggunakan diagram untuk memverifikasi berbagai aksioma aljabar Boolean. Hukum distributif, \(a \wedge ( b \vee c ) = (a \wedge b ) \vee ( a \wedge c )\text{,}\) diilustrasikan dalam Gambar 19.3.3. Jika \(a\) merupakan sakelar, maka \(a'\) adalah sakelar yang selalu terbuka ketika \(a\) tertutup dan selalu tertutup ketika \(a\) terbuka. Rangkaian yang selalu tertutup merupakan \(I\) dalam aljabar kita; rangkaian yang selalu terbuka merupakan \(O\text{.}\) Hukum \(a \wedge a' = O\) dan \(a \vee a' = I\) masing-masing ditunjukkan dalam Gambar 19.3.4 dan Gambar 19.3.5.

Dua graf. Graf di kiri memiliki dua lintasan. Pada lintasan atas, a menuju b, sedangkan pada lintasan bawah, a menuju c; setelah itu kedua lintasan bergabung kembali. Graf di kanan juga memiliki dua lintasan. Satu lintasan bercabang menjadi dua: pada lintasan atas, a menuju b, sedangkan pada lintasan bawah, a menuju c. Kemudian kedua lintasan bergabung kembali. — Gambar 19.3.3. \(a \wedge ( b \vee c ) = (a \wedge b ) \vee ( a \wedge c )\)

Dalam graf, a dilanjutkan oleh a’. — Gambar 19.3.4. \(a \wedge a' = O\)

Graf bercabang menjadi dua lintasan. Lintasan atas adalah a dan lintasan bawah adalah a’; setelah itu kedua lintasan bergabung kembali. — Gambar 19.3.5. \(a \vee a' = I\)

Contoh 19.3.6.

Setiap ekspresi Boolean merepresentasikan suatu rangkaian pensakelaran. Sebagai contoh, dari ekspresi \((a \vee b) \wedge (a \vee b') \wedge (a \vee b)\text{,}\) kita dapat menyusun rangkaian dalam Gambar 19.3.9.

Teorema 19.3.7.

Himpunan semua rangkaian merupakan aljabar Boolean.

Pembuktian teorema ini untuk aksioma aljabar Boolean yang belum diverifikasi diserahkan sebagai latihan. Sekarang kita dapat menerapkan teknik aljabar Boolean pada teori pensakelaran.

Contoh 19.3.8.

Jika diberikan suatu rangkaian kompleks, kita sekarang dapat menerapkan teknik aljabar Boolean untuk menyederhanakannya. Perhatikan rangkaian dalam Gambar 19.3.9. Karena

\begin{align*} (a \vee b) \wedge (a \vee b') \wedge (a \vee b) & = (a \vee b) \wedge (a \vee b) \wedge (a \vee b')\\ & = (a \vee b) \wedge (a \vee b')\\ & = a \vee ( b \wedge b')\\ & = a \vee O\\ & = a\text{,} \end{align*}

kita dapat mengganti rangkaian yang lebih rumit tersebut dengan rangkaian yang hanya memuat sakelar \(a\) dan memperoleh fungsi yang sama.

Graf dari kiri ke kanan yang bercabang menjadi lintasan atas a dan lintasan bawah b, lalu bergabung kembali. Graf berlanjut dan bercabang menjadi lintasan atas a serta lintasan bawah b’, bergabung kembali, lalu bercabang menjadi dua lintasan a dan b, dan akhirnya bergabung kembali. — Gambar 19.3.9. \((a \vee b) \wedge (a \vee b') \wedge (a \vee b)\)

Subbagian 19.3.1 Catatan Sejarah

George Boole (1815–1864) adalah orang pertama yang mempelajari latis. Pada 1847, ia menerbitkan The Investigation of the Laws of Thought, sebuah buku yang menggunakan latis untuk memformalkan logika dan kalkulus proposisi. Boole berpendapat bahwa matematika adalah kajian tentang bentuk, bukan isi; artinya, ia tidak terlalu mempersoalkan apa yang dihitungnya, melainkan bagaimana ia menghitungnya. Karya Boole diteruskan oleh sahabatnya, Augustus De Morgan (1806–1871). De Morgan mengamati bahwa prinsip dualitas sering berlaku dalam teori himpunan, sebagaimana diilustrasikan oleh hukum De Morgan untuk teori himpunan. Seperti Boole, ia berpendapat bahwa matematika adalah kajian tentang simbol dan operasi abstrak.

Teori himpunan dan logika dikembangkan lebih lanjut oleh matematikawan seperti Alfred North Whitehead (1861–1947), Bertrand Russell (1872–1970), dan David Hilbert (1862–1943). Dalam Principia Mathematica, Whitehead dan Russell berupaya menunjukkan hubungan antara matematika dan logika dengan menurunkan sistem bilangan asli dari kaidah logika formal. Jika bilangan asli dapat ditentukan dari logika itu sendiri, sebagian besar matematika yang ada pun dapat ditentukan dengan cara yang sama. Hilbert berupaya membangun matematika dengan menggunakan logika simbolik sedemikian rupa sehingga konsistensi matematika dapat dibuktikan. Pendekatannya menerima pukulan telak dari Kurt Gödel (1906–1978), yang membuktikan bahwa akan selalu terdapat masalah yang “tak terputuskan” dalam setiap sistem aksiomatik yang cukup kaya; artinya, dalam setiap sistem matematika yang cukup bermakna, akan selalu terdapat pernyataan yang tidak pernah dapat dibuktikan benar maupun salah.

Sebagaimana sering terjadi, penelitian dasar dalam matematika murni ini kemudian menjadi sangat diperlukan dalam beragam penerapan. Aljabar Boolean dan logika telah menjadi unsur penting dalam desain rangkaian terpadu berskala besar yang terdapat pada cip komputer masa kini. Para sosiolog menggunakan latis dan aljabar Boolean untuk memodelkan hierarki sosial; para biolog menggunakannya untuk mendeskripsikan biosistem.

Sblm.Paling Atas Lanjut