\begin{equation*}
{\mathbb C} = \{ a + bi : a, b \in {\mathbb R} \}\text{,}
\end{equation*}
dengan \(i^2 = -1\text{.}\) Jika \(z = a + bi\text{,}\) maka \(a\) merupakan bagian real dari \(z\) dan \(b\) merupakan bagian imajiner dari \(z\text{.}\)
Setiap bilangan kompleks tak nol \(z = a +bi\) mempunyai invers perkalian; artinya, terdapat \(z^{-1} \in {\mathbb C}^\ast\) sedemikian sehingga \(z z^{-1} = z^{-1} z = 1\text{.}\) Jika \(z = a + bi\text{,}\) maka
Konjugat kompleks dari bilangan kompleks \(z = a + bi\) didefinisikan sebagai \(\overline{z} = a- bi\text{.}\) Nilai mutlak atau modulus dari \(z = a + bi\) adalah \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\text{.}\)
Terdapat beberapa cara untuk merepresentasikan bilangan kompleks secara grafis. Kita dapat merepresentasikan bilangan kompleks \(z = a +bi\) sebagai pasangan terurut pada bidang \(xy\text{,}\) dengan \(a\) sebagai koordinat \(x\) (atau real) dan \(b\) sebagai koordinat \(y\) (atau imajiner). Representasi ini disebut representasi rektangular atau Kartesius. Representasi rektangular dari \(z_1 = 2 + 3i\text{,}\)\(z_2 = 1 - 2i\text{,}\) dan \(z_3 = - 3 + 2i\) digambarkan dalam Gambar 4.2.2.
Bilangan kompleks tak nol juga dapat direpresentasikan menggunakan koordinat polar. Untuk menentukan sebarang titik tak nol pada bidang, cukup diberikan sudut \(\theta\) dari sumbu \(x\) positif dalam arah berlawanan jarum jam serta jarak \(r\) dari titik asal, seperti dalam Gambar 4.2.3. Kita dapat melihat bahwa
\begin{equation*}
z = a + bi = r( \cos \theta + i \sin \theta)\text{.}
\end{equation*}
Jadi,
\begin{equation*}
r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\end{equation*}
dan
\begin{align*}
a & = r \cos \theta\\
b & = r \sin \theta\text{.}
\end{align*}
Kadang-kadang kita menyingkat \(r( \cos \theta + i \sin \theta)\) sebagai \(r \cis \theta\text{.}\) Untuk memastikan bahwa representasi \(z\) terdefinisi dengan baik, kita juga mensyaratkan \(0^{\circ} \leq \theta \lt 360^{\circ}\text{.}\) Jika sudut diukur dalam radian, maka \(0 \leq \theta \lt2 \pi\text{.}\)
Sebaliknya, jika diberikan representasi rektangular suatu bilangan kompleks, sering kali berguna untuk mengetahui representasi polar bilangan tersebut. Jika \(z = 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}\, i\text{,}\) maka
Representasi polar suatu bilangan kompleks memudahkan pencarian hasil kali dan pangkat bilangan kompleks. Pembuktian proposisi berikut bersifat langsung dan diserahkan sebagai latihan.
Kita akan menggunakan induksi pada \(n\text{.}\) Untuk \(n = 1\text{,}\) teorema tersebut langsung benar. Andaikan teorema itu benar untuk setiap \(k\) sedemikian sehingga \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Maka
\begin{align*}
z^{n+1} & = z^n z\\
& = r^n( \cos n \theta + i \sin n \theta ) r( \cos \theta + i\sin \theta )\\
& = r^{n+1} [( \cos n \theta \cos \theta - \sin n \theta \sin \theta ) + i ( \sin n \theta \cos \theta + \cos n \theta \sin \theta)]\\
& = r^{n+1} [ \cos( n \theta + \theta) + i \sin( n \theta + \theta) ]\\
& = r^{n+1} [ \cos( n +1) \theta + i \sin( n+1) \theta ]\text{.}
\end{align*}
Misalkan \(z= 1+i\) dan kita ingin menghitung \(z^{10}\text{.}\) Alih-alih menghitung \((1 + i)^{10}\) secara langsung, jauh lebih mudah beralih ke koordinat polar dan menghitung \(z^{10}\) menggunakan Teorema DeMoivre:
Grup perkalian bilangan kompleks, \({\mathbb C}^*\text{,}\) mempunyai beberapa subgrup yang menarik. Sementara \({\mathbb Q}^*\) dan \({\mathbb R}^*\) tidak mempunyai subgrup berorde hingga yang menarik, \({\mathbb C}^*\) mempunyai banyak subgrup seperti itu. Pertama-tama kita mempertimbangkan grup lingkaran,
Meskipun grup lingkaran berorde tak hingga, grup tersebut mempunyai banyak subgrup hingga yang menarik. Misalkan \(H = \{ 1, -1, i, -i \}\text{.}\) Maka \(H\) merupakan subgrup dari grup lingkaran. Selain itu, \(1\text{,}\)\(-1\text{,}\)\(i\text{,}\) dan \(-i\) tepat merupakan bilangan-bilangan kompleks yang memenuhi persamaan \(z^4 = 1\text{.}\) Bilangan kompleks yang memenuhi persamaan \(z^n=1\) disebut akar kesatuan ke-\(n\).
\begin{equation*}
z^n = \cis \left( n \frac{2 k \pi}{n } \right) = \cis( 2 k \pi ) = 1\text{.}
\end{equation*}
Nilai-nilai \(z\) tersebut berbeda karena bilangan \(2 k \pi /n\) semuanya berbeda serta lebih besar daripada atau sama dengan 0, tetapi lebih kecil daripada \(2 \pi\text{.}\) Fakta bahwa nilai-nilai tersebut merupakan semua akar persamaan \(z^n=1\) diperoleh dari Korolari 17.2.4, yang menyatakan bahwa polinomial berderajat \(n\) mempunyai paling banyak \(n\) akar. Pembuktian bahwa akar kesatuan ke-\(n\) membentuk subgrup siklik dari \({\mathbb T}\) diserahkan sebagai latihan.
Akar kesatuan ke-8 dapat direpresentasikan sebagai delapan titik yang berjarak sama pada lingkaran satuan (Gambar 4.2.12). Akar kesatuan ke-8 primitif adalah
