1.
Buatlah polinomial
\(p(x)=x^5+2x^4+1\) atas
\({\mathbb Z}_3\text{.}\) Verifikasikan bahwa polinomial tersebut tidak memiliki faktor linear dengan mengevaluasi
\(p(x)\) pada setiap elemen
\({\mathbb Z}_3\text{,}\) kemudian periksa bahwa
\(p(x)\) tak tereduksi.
Buatlah lapangan hingga berorde
\(3^5\) dengan perintah
FiniteField(), tetapi sertakan kata kunci
modulus yang ditetapkan ke polinomial
\(p(x)\) untuk menggantikan pilihan bawaan.
Buat ulang
\(p(x)\) sebagai polinomial atas lapangan ini. Periksa masing-masing dari
\(3^5 = 243\) elemen lapangan tersebut untuk menentukan apakah elemen itu merupakan akar polinomial, lalu daftarkan semua elemen yang merupakan akar. Terakhir, mintalah Sage memberikan faktorisasi
\(p(x)\) atas lapangan tersebut, lalu jelaskan hubungan antara daftar akar Anda dan faktorisasi yang diperoleh.
2.
Soal ini merupakan lanjutan dari soal sebelumnya. Bangunlah gelanggang polinomial atas
\({\mathbb Z}_3\text{,}\) dan di dalam gelanggang ini gunakan
\(p(x)\) untuk membangun suatu ideal utama. Terakhir, bangunlah hasil bagi gelanggang polinomial tersebut oleh ideal itu. Karena polinomialnya tak tereduksi, gelanggang hasil bagi ini merupakan suatu lapangan, dan menurut
Proposisi 21.1.12, gelanggang hasil bagi ini isomorfik dengan lapangan bilangan pada soal sebelumnya.
Dengan memanfaatkan hasil Anda pada pertanyaan sebelumnya, bangunlah lima akar polinomial
\(p(x)\) di dalam gelanggang hasil bagi ini, tetapi sekarang sebagai ekspresi dalam pembangkit gelanggang hasil bagi tersebut (yang secara teknis merupakan suatu koset). Gunakan Sage untuk memverifikasi bahwa kelimanya memang akar. Hal ini memperagakan penggunaan gelanggang hasil bagi untuk membuat lapangan pemisah bagi suatu polinomial tak tereduksi atas lapangan hingga.
3.
Subbagian
Unsur Aljabar menggunakan teknik-teknik aljabar linear dan memuat
Teorema 21.1.15: setiap perluasan hingga merupakan perluasan aljabar. Latihan ini akan membantu Anda memahami bukti tersebut.
Polinomial
\(r(x)=x^4+2x+2\) tak tereduksi atas bilangan rasional (menurut kriteria Eisenstein dengan bilangan prima
\(p=2\)). Buatlah lapangan bilangan yang memuat suatu akar dari
\(r(x)\text{.}\) Menurut
Teorema 21.1.15, beserta catatan sesudahnya, setiap elemen perluasan lapangan hingga ini merupakan bilangan aljabar, sehingga memenuhi suatu polinomial atas lapangan dasar (polinomial inilah yang akan dihasilkan Sage dengan metode
.minpoly()). Latihan ini akan menunjukkan cara menggunakan aljabar linear saja untuk menentukan polinomial minimal tersebut.
Misalkan
a adalah pembangkit lapangan bilangan yang baru saja Anda buat menggunakan
\(r(x)\text{.}\) Kita akan menentukan polinomial minimal dari
t = 3a + 1 dengan menggunakan aljabar linear saja. Menurut bukti tersebut, lima pangkat pertama dari
t (mulai menghitung dari nol) akan bergantung linear. (Mengapa?) Jadi, suatu relasi ketergantungan linear yang tidak trivial di antara pangkat-pangkat ini akan memberikan koefisien suatu polinomial yang memiliki
t sebagai akar. Hitunglah kelima pangkat ini, kemudian bangun sistem linear yang tepat untuk menentukan koefisien polinomial minimal, selesaikan sistem tersebut, dan tafsirkan solusinya secara tepat.
Petunjuk: Perintah
vector() dan
matrix() akan membuat vektor dan matriks, dan metode
.solve_right() untuk matriks dapat digunakan untuk mencari solusi. Jika diberikan suatu elemen lapangan bilangan, yang tentunya merupakan polinomial dalam pembangkit
a, metode
.vector() pada elemen tersebut akan memberikan koefisien polinomial ini dalam bentuk daftar.
5.
Bentuklah lapangan bilangan
\(K\) yang memuat suatu akar dari polinomial tak tereduksi
\(q(x)=x^3+3x^2+3x-2\text{.}\) Namai akar tersebut
a. Verifikasikan bahwa
\(q(x)\) terfaktorkan, tetapi tidak terpisah, atas
\(K\text{.}\) Dengan
\(K\) sekarang sebagai lapangan dasar, bentuklah suatu perluasan dari
\(K\) tempat faktor kuadrat dari
\(q(x)\) memiliki akar. Namai akar ini
b, dan sebut perluasan kedua dalam menara ini
\(L\text{.}\)
Gunakan
M.<c> = L.absolute_field() untuk membentuk menara yang telah diratakan, yaitu lapangan bilangan absolut
M. Carilah polinomial pendefinisi dari
M menggunakan metode
.polynomial(). Dari polinomial ini, yang tentunya memiliki pembangkit
c sebagai akar, Anda seharusnya dapat menggunakan aljabar elementer untuk menuliskan pembangkit itu sebagai ekspresi yang cukup sederhana.
\(M\) seharusnya merupakan lapangan pemisah dari
\(q(x)\text{.}\) Untuk melihat hal ini, mulailah kembali dari awal, dan bangunlah lapangan bilangan baru
\(P\) menggunakan ekspresi sederhana untuk
c yang baru saja Anda temukan. Gunakan
d sebagai nama akar yang dipakai untuk membangun
P. Karena
d merupakan akar dari polinomial minimal sederhana untuk
c, Anda seharusnya dapat menulis ekspresi bagi
d yang akan dikenali oleh pelajar prakalkulus.
Sekarang faktorkan polinomial semula
\(q(x)\) (dengan koefisien rasional) atas
\(P\) untuk melihat bahwa polinomial tersebut terpisah (sebagaimana diharapkan). Dengan menggunakan faktorisasi ini dan ekspresi sederhana Anda bagi
d, tulislah ekspresi yang disederhanakan bagi ketiga akar
\(q(x)\text{.}\) Periksalah apakah Anda dapat mengubah satu versi akar menjadi versi lainnya “secara manual”, tanpa menggunakan isomorfisma yang disediakan oleh metode
.structure() pada
M.
