Lema 12.2.2.
Suatu isometri \(f\) yang mempertahankan titik asal dalam \({\mathbb R}^2\) merupakan transformasi linear. Secara khusus, \(f\) diberikan oleh suatu elemen dalam \(O(2)\text{.}\)
Bagian 12.2 Simetri
Suatu isometri atau gerak kaku dalam \({\mathbb R}^n\) adalah fungsi \(f\) yang mempertahankan jarak dari \({\mathbb R}^n\) ke \({\mathbb R}^n\text{.}\) Ini berarti bahwa \(f\) harus memenuhi
\begin{equation*}
\| f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}) \| =\|{\mathbf x} - {\mathbf y} \|
\end{equation*}
untuk semua \({\mathbf x}, {\mathbf y} \in {\mathbb R}^n\text{.}\) Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa \(f\) harus merupakan pemetaan satu-satu. Berdasarkan Teorema 12.1.8, setiap elemen dalam \(O(n)\) merupakan isometri pada \({\mathbb R}^n\text{;}\) akan tetapi, \(O(n)\) tidak mencakup semua isometri yang mungkin pada \({\mathbb R}^n\text{.}\) Translasi oleh vektor \({\mathbf x}\text{,}\) \(T_{\mathbf y}({\mathbf x}) = {\mathbf x} + {\mathbf y}\text{,}\) juga merupakan isometri (Gambar 12.1.11); akan tetapi, \(T\) tidak dapat berada dalam \(O(n)\) karena bukan pemetaan linear.
Kita terutama tertarik pada isometri dalam \({\mathbb R}^2\text{.}\) Sesungguhnya, satu-satunya isometri dalam \({\mathbb R}^2\) ialah rotasi dan pencerminan terhadap titik asal, translasi, serta kombinasi keduanya. Sebagai contoh, pencerminan luncur merupakan translasi yang diikuti oleh pencerminan (Gambar 12.2.1). Dalam \({\mathbb R}^n\text{,}\) semua isometri diberikan dengan cara yang sama. Pembuktiannya sangat mudah diperumum.
Bukti.
Misalkan \(f\) suatu isometri dalam \({\mathbb R}^2\) yang mempertahankan titik asal. Pertama-tama kita akan menunjukkan bahwa \(f\) mempertahankan hasil kali dalam. Karena \(f(0) = 0\text{,}\) \(\| f({\mathbf x})\| = \| {\mathbf x} \|\text{;}\) oleh karena itu,
\begin{align*}
\| {\mathbf x} \|^2 - 2 \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf y}) \rangle + \| {\mathbf y} \|^2 & = \| f({\mathbf x}) \|^2 - 2 \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf y}) \rangle + \| f({\mathbf y}) \|^2\\
& = \langle f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}), f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}) \rangle\\
& = \| f({\mathbf x}) - f({\mathbf y}) \|^2\\
& = \| {\mathbf x} - {\mathbf y} \|^2\\
& = \langle {\mathbf x} - {\mathbf y}, {\mathbf x} - {\mathbf y} \rangle\\
& = \| {\mathbf x} \|^2 - 2 \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle + \| {\mathbf y} \|^2\text{.}
\end{align*}
Akibatnya,
\begin{equation*}
\langle f({\mathbf x}), f({\mathbf y}) \rangle = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.}
\end{equation*}
Sekarang misalkan \({\mathbf e}_1\) dan \({\mathbf e_2}\) adalah \((1, 0)^\transpose\) dan \((0, 1)^\transpose\text{,}\) secara berturut-turut. Jika
\begin{equation*}
{\mathbf x} = (x_1, x_2) = x_1 {\mathbf e}_1 + x_2 {\mathbf e}_2\text{,}
\end{equation*}
maka
\begin{equation*}
f({\mathbf x}) = \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf e}_1) \rangle f({\mathbf e}_1) + \langle f({\mathbf x}), f({\mathbf e}_2) \rangle f({\mathbf e}_2) = x_1 f({\mathbf e}_1)+x_2 f({\mathbf e}_2)\text{.}
\end{equation*}
Linearitas \(f\) segera diperoleh.
Untuk setiap isometri sembarang \(f\text{,}\) \(T_{\mathbf x} f\) akan mempertahankan titik asal untuk suatu vektor \({\mathbf x}\) dalam \({\mathbb R}^2\text{;}\) jadi, \(T_{\mathbf x} f({\mathbf y}) = A {\mathbf y}\) untuk suatu matriks \(A \in O(2)\text{.}\) Akibatnya, \(f({\mathbf y}) = A {\mathbf y} + {\mathbf x}\text{.}\) Diberikan isometri-isometri
\begin{align*}
f({\mathbf y}) & = A {\mathbf y} + {\mathbf x}_1\\
g({\mathbf y}) & = B {\mathbf y} + {\mathbf x}_2\text{,}
\end{align*}
komposisinya adalah
\begin{equation*}
f(g({\mathbf y})) = f(B {\mathbf y} + {\mathbf x}_2) = AB {\mathbf y} + A{\mathbf x}_2 + {\mathbf x}_1\text{.}
\end{equation*}
Perhitungan terakhir ini memungkinkan kita mengidentifikasi grup isometri pada \({\mathbb R}^2\) dengan \(E(2)\text{.}\)
Teorema 12.2.3.
Grup isometri pada \({\mathbb R}^2\) merupakan grup Euklides, \(E(2)\text{.}\)
Suatu grup simetri dalam \({\mathbb R}^n\) adalah subgrup dari grup isometri pada \({\mathbb R}^n\) yang mempertahankan suatu himpunan titik \(X \subset {\mathbb R}^n\text{.}\) Penting untuk disadari bahwa grup simetri \(X\) bergantung baik pada \({\mathbb R}^n\) maupun pada \(X\text{.}\) Sebagai contoh, grup simetri titik asal dalam \({\mathbb R}^1\) adalah \({\mathbb Z}_2\text{,}\) sedangkan grup simetri titik asal dalam \({\mathbb R}^2\) adalah \(O(2)\text{.}\)
Teorema 12.2.4.
Satu-satunya grup simetri hingga dalam \({\mathbb R}^2\) adalah \({\mathbb Z}_n\) dan \(D_n\text{.}\)
Bukti.
Kita hanya perlu mencari semua subgrup hingga \(G\) dari \(E(2)\text{.}\) Setiap grup simetri hingga \(G\) dalam \({\mathbb R}^2\) harus mempertahankan titik asal dan merupakan subgrup hingga dari \(O(2)\text{,}\) karena translasi dan pencerminan luncur berorde takhingga. Berdasarkan Contoh 12.1.10, elemen-elemen dalam \(O(2)\) berupa rotasi berbentuk
\begin{equation*}
R_{\theta}
=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
\end{equation*}
atau pencerminan berbentuk
\begin{equation*}
T_{\phi}
=
\begin{pmatrix}
\cos \phi & - \sin \phi \\
\sin \phi & \cos \phi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos \phi & \sin \phi \\
\sin \phi & - \cos \phi
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa \(\det(R_{\theta})=1\text{,}\) \(\det(T_{\phi})=-1\text{,}\) dan \(T_{\phi}^2=I\text{.}\) Kita dapat membagi pembuktian menjadi dua kasus. Dalam kasus pertama, semua elemen dalam \(G\) berdeterminan satu. Dalam kasus kedua, terdapat setidaknya satu elemen dalam \(G\) yang berdeterminan \(-1\text{.}\)
Kasus 1.
Determinan setiap elemen dalam \(G\) adalah satu. Dalam kasus ini, setiap elemen dalam \(G\) harus berupa rotasi. Karena \(G\) hingga, terdapat sudut terkecil, misalkan \(\theta_0\text{,}\) sedemikian sehingga elemen yang bersesuaian \(R_{\theta_0}\) merupakan rotasi terkecil dalam arah positif. Kita menyatakan bahwa \(R_{\theta_0}\) membangkitkan \(G\text{.}\) Jika tidak, maka untuk suatu bilangan bulat positif \(n\) terdapat sudut \(\theta_1\) di antara \(n \theta_0\) dan \((n+1) \theta_0\text{.}\) Jika demikian, \((n+1) \theta_0 - \theta_1\) bersesuaian dengan rotasi yang lebih kecil daripada \(\theta_0\text{,}\) bertentangan dengan keminimalan \(\theta_0\text{.}\)
Kasus 2.
Grup \(G\) memuat suatu pencerminan \(T\text{.}\) Kernel homomorfisma \(\phi : G \rightarrow \{-1, 1\}\) yang diberikan oleh \(A \mapsto \det(A)\) terdiri atas elemen-elemen yang determinannya 1. Oleh karena itu, \(|G/ \ker \phi|=2\text{.}\) Berdasarkan kasus pertama, kita mengetahui bahwa kernel tersebut siklik dan merupakan subgrup dari \(G\) yang, misalnya, berorde \(n\text{.}\) Jadi, \(|G| = 2n\text{.}\) Elemen-elemen \(G\) adalah
\begin{equation*}
R_{\theta}, \ldots, R_{\theta}^{n-1}, TR_{\theta}, \ldots, TR_{\theta}^{n-1}\text{.}
\end{equation*}
Elemen-elemen tersebut memenuhi relasi
\begin{equation*}
TR_{\theta}T = R_{\theta}^{-1}\text{.}
\end{equation*}
Akibatnya, dalam kasus ini \(G\) harus isomorfik dengan \(D_n\text{.}\)
Subbagian 12.2.1 Grup Kertas Dinding
Andaikan kita ingin mempelajari pola kertas dinding pada bidang atau kristal dalam tiga dimensi. Pola kertas dinding tidak lain adalah pola berulang pada bidang (Gambar 12.2.5). Analogi pola kertas dinding dalam \({\mathbb R}^3\) ialah kristal, yang dapat kita pandang sebagai pola molekul berulang dalam tiga dimensi (Gambar 12.2.6). Padanan matematis pola kertas dinding atau pola kristal disebut kisi.
Mari kita periksa pola kertas dinding pada bidang dengan lebih saksama. Andaikan \({\mathbf x}\) dan \({\mathbf y}\) merupakan vektor-vektor bebas linear dalam \({\mathbb R}^2\text{;}\) yaitu, salah satu vektor bukan kelipatan skalar dari vektor lainnya. Kisi dari \({\mathbf x}\) dan \({\mathbf y}\) adalah himpunan semua kombinasi linear \(m {\mathbf x} + n {\mathbf y}\text{,}\) dengan \(m\) dan \(n\) bilangan bulat. Vektor \({\mathbf x}\) dan \({\mathbf y}\) disebut basis bagi kisi tersebut.
Perhatikan bahwa suatu kisi dapat memiliki beberapa basis. Sebagai contoh, vektor \((1,1)^\transpose\) dan \((2,0)^\transpose\) mempunyai kisi yang sama dengan vektor \((-1, 1)^\transpose\) dan \((-1, -1)^\transpose\) (Gambar 12.2.7). Akan tetapi, setiap kisi ditentukan sepenuhnya oleh suatu basis. Diberikan dua basis bagi kisi yang sama, misalnya \(\{ {\mathbf x}_1, {\mathbf x}_2 \}\) dan \(\{ {\mathbf y}_1, {\mathbf y}_2 \}\text{,}\) kita dapat menuliskan
\begin{align*}
{\mathbf y}_1 & = \alpha_1 {\mathbf x}_1 + \alpha_2 {\mathbf x}_2\\
{\mathbf y}_2 & = \beta_1 {\mathbf x}_1 + \beta_2 {\mathbf x}_2\text{,}
\end{align*}
dengan \(\alpha_1\text{,}\) \(\alpha_2\text{,}\) \(\beta_1\text{,}\) dan \(\beta_2\) bilangan bulat. Matriks yang bersesuaian dengan transformasi ini adalah
\begin{equation*}
U
=
\begin{pmatrix}
\alpha_1 & \alpha_2 \\
\beta_1 & \beta_2
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Jika kita ingin menyatakan \({\mathbf x}_1\) dan \({\mathbf x}_2\) dalam \({\mathbf y}_1\) dan \({\mathbf y}_2\text{,}\) kita hanya perlu menghitung \(U^{-1}\text{;}\) yaitu,
\begin{equation*}
U^{-1}
\begin{pmatrix}
{\mathbf y}_1 \\ {\mathbf y}_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\mathbf x}_1 \\ {\mathbf x}_2
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Karena \(U\) mempunyai entri bilangan bulat, \(U^{-1}\) juga harus mempunyai entri bilangan bulat; jadi, determinan \(U\) maupun \(U^{-1}\) harus berupa bilangan bulat. Karena \(U U^{-1} = I\text{,}\)
\begin{equation*}
\det(U U^{-1}) =\det(U) \det( U^{-1}) = 1;
\end{equation*}
akibatnya, \(\det(U) = \pm 1\text{.}\) Matriks dengan determinan \(\pm 1\) dan entri bilangan bulat disebut unimodular. Sebagai contoh, matriks
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
5 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
bersifat unimodular. Jelas bahwa terdapat panjang minimum bagi vektor dalam suatu kisi.
Kita dapat mengklasifikasikan kisi dengan mempelajari grup simetrinya. Grup simetri suatu kisi adalah subgrup dari \(E(2)\) yang memetakan kisi tersebut ke dirinya sendiri. Dua kisi dalam \({\mathbb R}^2\) kita anggap ekuivalen jika mempunyai grup simetri yang sama. Demikian pula, klasifikasi kristal dalam \({\mathbb R}^3\) dilakukan dengan mengaitkan suatu grup simetri, yang disebut grup ruang, dengan setiap jenis kristal. Dua kisi dianggap berbeda jika grup ruangnya tidak sama. Pertanyaan wajar yang kini muncul ialah berapa banyak grup ruang yang ada.
Suatu grup ruang tersusun atas dua bagian: subgrup translasi dan suatu titik. Subgrup translasi merupakan subgrup abelian takhingga dari grup ruang yang tersusun atas simetri translasi kristal; grup titik merupakan grup hingga yang terdiri atas rotasi dan pencerminan kristal terhadap suatu titik. Secara lebih khusus, suatu grup ruang merupakan subgrup dari \(G \subset E(2)\) yang translasinya berupa himpunan berbentuk \(\{ (I, t) : t \in L \}\text{,}\) dengan \(L\) suatu kisi. Grup ruang tentu saja takhingga. Dengan menggunakan argumen geometris, kita dapat membuktikan teorema berikut (lihat [5] atau [6]).
Teorema 12.2.8.
Setiap grup translasi dalam \({\mathbb R}^2\) isomorfik dengan \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\)
Grup titik dari \(G\) adalah \(G_0 = \{A : (A,b) \in G \text{ untuk suatu } b \}\text{.}\) Secara khusus, \(G_0\) harus merupakan subgrup dari \(O(2)\text{.}\) Andaikan \({\mathbf x}\) suatu vektor dalam kisi \(L\) dengan grup ruang \(G\text{,}\) grup translasi \(H\text{,}\) dan grup titik \(G_0\text{.}\) Untuk setiap elemen \((A, {\mathbf y})\) dalam \(G\text{,}\)
\begin{align*}
(A, {\mathbf y}) (I, {\mathbf x}) (A, {\mathbf y})^{-1} & = (A,A {\mathbf x} + {\mathbf y}) (A^{-1},-A^{-1} {\mathbf y})\\
& = (A A^{-1},-A A^{-1} {\mathbf y} + A {\mathbf x} + {\mathbf y})\\
& = (I, A {\mathbf x});
\end{align*}
jadi, \((I, A {\mathbf x})\) berada dalam grup translasi \(G\text{.}\) Secara lebih khusus, \(A {\mathbf x}\) harus berada dalam kisi \(L\text{.}\) Penting untuk dicatat bahwa \(G_0\) biasanya bukan subgrup dari grup ruang \(G\text{;}\) akan tetapi, jika \(T\) merupakan subgrup translasi dari \(G\text{,}\) maka \(G/T \cong G_0\text{.}\) Pembuktian teorema berikut dapat ditemukan dalam [2], [5], atau [6].
Teorema 12.2.9.
Grup titik dalam grup kertas dinding isomorfik dengan \({\mathbb Z}_n\) atau \(D_n\text{,}\) dengan \(n = 1, 2, 3, 4, 6\text{.}\)
Untuk menjawab bagaimana grup titik dan grup translasi dapat digabungkan, kita harus memperhatikan berbagai jenis kisi. Kisi dapat diklasifikasikan berdasarkan struktur satu sel kisi. Bentuk sel yang mungkin ialah jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah ketupat, dan heksagonal (Gambar 12.2.10). Grup kertas dinding kini dapat diklasifikasikan menurut jenis pencerminan yang muncul dalam setiap grup: pencerminan biasa, pencerminan luncur, keduanya, atau tidak satu pun.
| Notasi dan | Pencerminan atau | ||
| Grup Ruang | Grup Titik | Jenis Kisi | Pencerminan Luncur? |
| p1 | \({\mathbb Z}_1\) | jajar genjang | tidak ada |
| p2 | \({\mathbb Z}_2\) | jajar genjang | tidak ada |
| p3 | \({\mathbb Z}_3\) | heksagonal | tidak ada |
| p4 | \({\mathbb Z}_4\) | persegi | tidak ada |
| p6 | \({\mathbb Z}_6\) | heksagonal | tidak ada |
| pm | \(D_1\) | persegi panjang | pencerminan |
| pg | \(D_1\) | persegi panjang | pencerminan luncur |
| cm | \(D_1\) | belah ketupat | keduanya |
| pmm | \(D_2\) | persegi panjang | pencerminan |
| pmg | \(D_2\) | persegi panjang | pencerminan luncur |
| pgg | \(D_2\) | persegi panjang | keduanya |
| c2mm | \(D_2\) | belah ketupat | keduanya |
| p3m1, p31m | \(D_3\) | heksagonal | keduanya |
| p4m, p4g | \(D_4\) | persegi | keduanya |
| p6m | \(D_6\) | heksagonal | keduanya |
Teorema 12.2.12.
Terdapat tepat 17 grup kertas dinding.
Ke-17 grup kertas dinding dicantumkan dalam Tabel 12.2.11. Grup p3m1 dan p31m dapat dibedakan berdasarkan apakah semua pusat berorde tiganya terletak pada sumbu pencerminan: semua pusat p3m1 harus terletak pada sumbu tersebut, sedangkan pusat p31m tidak harus demikian. Demikian pula, pusat berorde empat p4m harus terletak pada sumbu pencerminan, sedangkan pusat p4g tidak harus demikian (Gambar 12.2.13). Pembuktian lengkap teorema ini dapat ditemukan dalam beberapa rujukan pada akhir bab, termasuk [5], [6], [10], dan [11].
Subbagian 12.2.2 Catatan Sejarah
Grup simetri telah lama memikat para matematikawan. Leonardo da Vinci mungkin merupakan orang pertama yang mengetahui semua grup titik. Pada Kongres Matematikawan Internasional tahun 1900, David Hilbert menyampaikan pidato yang kini terkenal, yang menguraikan 23 masalah untuk memandu matematika pada abad kedua puluh. Masalah kedelapan belas Hilbert menanyakan apakah grup kristalografi dalam \(n\) dimensi selalu hingga. Pada tahun 1910, L. Bieberbach membuktikan bahwa grup kristalografi hingga dalam setiap dimensi. Menentukan berapa banyak grup tersebut dalam setiap dimensi merupakan persoalan lain. Dalam \({\mathbb R}^3\) terdapat \(230\) grup ruang yang berbeda; dalam \({\mathbb R}^4\) terdapat \(4894\text{;}\) dalam \({\mathbb R}^5\) terdapat \(222097\text{.}\) Belum ada yang berhasil menghitung banyaknya grup ruang untuk \({\mathbb R}^6\) dan dimensi yang lebih tinggi (
oeis.org/A006227). Menarik untuk dicatat bahwa grup kristalografi untuk \({\mathbb R}^3\) telah ditemukan secara matematis sebelum \(230\) jenis kristal yang berbeda benar-benar ditemukan di alam.
