Lewati ke konten utama

Bagian 17.3 Polinomial Tak Tereduksi

Polinomial takkonstan \(f(x) \in F[x]\) disebut tak tereduksi atas lapangan \(F\) jika \(f(x)\) tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua polinomial \(g(x)\) dan \(h(x)\) di \(F[x]\text{,}\) dengan derajat \(g(x)\) dan \(h(x)\) keduanya lebih kecil daripada derajat \(f(x)\text{.}\) Polinomial tak tereduksi berperan sebagai “bilangan prima” dalam gelanggang polinomial.

Contoh 17.3.1.

Polinomial \(x^2 - 2 \in {\mathbb Q}[x]\) tak tereduksi karena tidak dapat difaktorkan lebih lanjut atas bilangan rasional. Demikian pula, \(x^2 + 1\) tak tereduksi atas bilangan real.

Contoh 17.3.2.

Polinomial \(p(x) = x^3 + x^2 + 2\) tak tereduksi atas \({\mathbb Z}_3[x]\text{.}\) Misalkan polinomial ini tereduksi atas \({\mathbb Z}_3[x]\text{.}\) Berdasarkan algoritma pembagian, harus ada faktor berbentuk \(x - a\text{,}\) dengan \(a\) suatu elemen di \({\mathbb Z}_3[x]\text{.}\) Dengan demikian, harus berlaku \(p(a) = 0\text{.}\) Akan tetapi,
\begin{align*} p(0) & = 2\\ p(1) & = 1\\ p(2) & = 2\text{.} \end{align*}
Oleh karena itu, \(p(x)\) tidak memiliki nol di \({\mathbb Z}_3\) dan harus tak tereduksi.

Bukti.
Misalkan
\begin{equation*} p(x) = \frac{b_0}{c_0} + \frac{b_1}{c_1} x + \cdots + \frac{b_n}{c_n} x^n\text{,} \end{equation*}
dengan setiap \(b_i\) dan \(c_i\) bilangan bulat. Kita dapat menulis ulang \(p(x)\) sebagai
\begin{equation*} p(x) = \frac{1}{c_0 \cdots c_n} (d_0 + d_1 x + \cdots + d_n x^n)\text{,} \end{equation*}
dengan \(d_0, \ldots, d_n\) bilangan bulat. Misalkan \(d\) faktor persekutuan terbesar dari \(d_0, \ldots, d_n\text{.}\) Maka
\begin{equation*} p(x) = \frac{d}{c_0 \cdots c_n} (a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n)\text{,} \end{equation*}
dengan \(d_i = d a_i\) dan setiap \(a_i\) relatif prima secara bersama. Setelah menyederhanakan \(d /(c_0 \cdots c_n)\) ke bentuk paling sederhana, kita dapat menulis
\begin{equation*} p(x) = \frac{r}{s}(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n)\text{,} \end{equation*}
dengan \(\gcd(r,s) = 1\text{.}\)

Bukti.
Berdasarkan Lema 17.3.3, kita dapat mengasumsikan bahwa
\begin{align*} \alpha(x) & = \frac{c_1}{d_1} (a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m ) = \frac{c_1}{d_1} \alpha_1(x)\\ \beta(x) & = \frac{c_2}{d_2} (b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n) = \frac{c_2}{d_2} \beta_1(x)\text{,} \end{align*}
dengan setiap \(a_i\) relatif prima secara bersama dan setiap \(b_i\) relatif prima secara bersama. Akibatnya,
\begin{equation*} p(x) = \alpha(x) \beta(x) = \frac{c_1 c_2}{d_1 d_2} \alpha_1(x) \beta_1(x) = \frac{c}{d} \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{,} \end{equation*}
dengan \(c/d\) hasil kali \(c_1/d_1\) dan \(c_2/d_2\) yang dinyatakan dalam bentuk paling sederhana. Jadi, \(d p(x) = c \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{.}\)
Jika \(d = 1\text{,}\) maka \(c a_m b_n = 1\) karena \(p(x)\) polinomial monik. Jadi, \(c=1\) atau \(c = -1\text{.}\) Jika \(c = 1\text{,}\) maka \(a_m = b_n = 1\) atau \(a_m = b_n = -1\text{.}\) Dalam kasus pertama, \(p(x) = \alpha_1(x) \beta_1(x)\text{,}\) dengan \(\alpha_1(x)\) dan \(\beta_1(x)\) polinomial monik yang memenuhi \(\deg \alpha(x) = \deg \alpha_1(x)\) dan \(\deg \beta(x) = \deg \beta_1(x)\text{.}\) Dalam kasus kedua, \(a(x) = -\alpha_1(x)\) dan \(b(x) = -\beta_1(x)\) merupakan polinomial monik yang tepat karena \(p(x) = (-\alpha_1(x))(- \beta_1(x)) = a(x) b(x)\text{.}\) Kasus \(c = -1\) dapat ditangani dengan cara serupa.
Sekarang misalkan \(d \neq 1\text{.}\) Karena \(\gcd(c, d) = 1\text{,}\) terdapat bilangan prima \(p\) sedemikian sehingga \(p \mid d\) dan \(p \notdivide c\text{.}\) Selain itu, karena koefisien-koefisien \(\alpha_1(x)\) relatif prima secara bersama, terdapat koefisien \(a_i\) sedemikian sehingga \(p \notdivide a_i\text{.}\) Demikian pula, terdapat koefisien \(b_j\) dari \(\beta_1(x)\) sedemikian sehingga \(p \notdivide b_j\text{.}\) Misalkan \(\alpha_1'(x)\) dan \(\beta_1'(x)\) adalah polinomial di \({\mathbb Z}_p[x]\) yang diperoleh dengan mereduksi koefisien \(\alpha_1(x)\) dan \(\beta_1(x)\) modulo \(p\text{.}\) Karena \(p \mid d\text{,}\) \(\alpha_1'(x) \beta_1'(x) = 0\) di \({\mathbb Z}_p[x]\text{.}\) Namun, hal ini mustahil karena \(\alpha_1'(x)\) maupun \(\beta_1'(x)\) bukan polinomial nol dan \({\mathbb Z}_p[x]\) merupakan daerah integral. Oleh karena itu, \(d=1\) dan teorema terbukti.

Bukti.
Misalkan \(p(x)\) memiliki nol \(a \in {\mathbb Q}\text{.}\) Maka \(p(x)\) harus memiliki faktor linear \(x - a\text{.}\) Berdasarkan Lema Gauss, \(p(x)\) memiliki faktorisasi dengan faktor linear di \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Jadi, untuk suatu \(\alpha \in {\mathbb Z}\)
\begin{equation*} p(x) = (x - \alpha)( x^{n - 1} + \cdots - a_0 / \alpha )\text{.} \end{equation*}
Dengan demikian, \(a_0 /\alpha \in {\mathbb Z}\) dan karenanya \(\alpha \mid a_0\text{.}\)

Contoh 17.3.6.

Misalkan \(p(x) = x^4 - 2 x^3 + x + 1\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa \(p(x)\) tak tereduksi atas \({\mathbb Q}[x]\text{.}\) Asumsikan bahwa \(p(x)\) tereduksi. Maka \(p(x)\) memiliki faktor linear, katakanlah \(p(x) = (x - \alpha) q(x)\text{,}\) dengan \(q(x)\) polinomial berderajat tiga, atau \(p(x)\) memiliki dua faktor kuadratik.
Jika \(p(x)\) memiliki faktor linear di \({\mathbb Q}[x]\text{,}\) maka polinomial itu memiliki nol di \({\mathbb Z}\text{.}\) Berdasarkan Korolari 17.3.5, setiap nol harus membagi 1 dan karenanya harus berupa \(\pm 1\text{;}\) akan tetapi, \(p(1) = 1\) dan \(p(-1)= 3\text{.}\) Akibatnya, kita telah menyingkirkan kemungkinan bahwa \(p(x)\) memiliki faktor linear.
Oleh karena itu, jika \(p(x)\) tereduksi, polinomial itu harus terfaktor menjadi dua polinomial kuadratik, katakanlah
\begin{align*} p(x) & = (x^2 + ax + b )( x^2 + cx + d )\\ & = x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd\text{,} \end{align*}
dengan setiap faktor berada di \({\mathbb Z}[x]\) berdasarkan Lema Gauss. Jadi,
\begin{align*} a + c & = - 2\\ ac + b + d & = 0\\ ad + bc & = 1\\ bd & = 1\text{.} \end{align*}
Karena \(bd = 1\text{,}\) maka \(b = d = 1\) atau \(b = d = -1\text{.}\) Dalam kedua kasus, \(b = d\text{,}\) sehingga
\begin{equation*} ad + bc = b( a + c ) = 1\text{.} \end{equation*}
Karena \(a + c = -2\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(-2b = 1\text{.}\) Hal ini mustahil karena \(b\) bilangan bulat. Oleh karena itu, \(p(x)\) harus tak tereduksi atas \({\mathbb Q}\text{.}\)

Bukti.
Berdasarkan Lema Gauss (lihat Teorema 17.3.7 dan Lema 18.2.19), kita hanya perlu menunjukkan bahwa \(f(x)\) tidak terfaktor menjadi polinomial-polinomial berderajat lebih rendah di \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Misalkan
\begin{equation*} f(x) = (b_rx^r + \cdots + b_0)(c_s x^s + \cdots + c_0 ) \end{equation*}
merupakan suatu faktorisasi di \({\mathbb Z}[x]\text{,}\) dengan \(b_r\) dan \(c_s\) taknol serta \(r, s \lt n\text{.}\) Karena \(p^2\) tidak membagi \(a_0 = b_0 c_0\text{,}\) salah satu dari \(b_0\) atau \(c_0\) tidak habis dibagi \(p\text{.}\) Misalkan \(p \notdivide b_0\) dan \(p \mid c_0\text{.}\) Karena \(p \notdivide a_n\) dan \(a_n = b_r c_s\text{,}\) baik \(b_r\) maupun \(c_s\) tidak habis dibagi \(p\text{.}\) Misalkan \(m\) nilai terkecil dari \(k\) yang memenuhi \(p \notdivide c_k\text{.}\) Maka
\begin{equation*} a_m = b_0 c_m + b_1 c_{m - 1} + \cdots + b_m c_0 \end{equation*}
tidak habis dibagi \(p\text{,}\) karena setiap suku di ruas kanan persamaan habis dibagi \(p\text{,}\) kecuali \(b_0 c_m\text{.}\) Oleh karena itu, \(m = n\) karena \(a_i\) habis dibagi \(p\) untuk \(m \lt n\text{.}\) Jadi, \(f(x)\) tidak dapat difaktorkan menjadi polinomial-polinomial berderajat lebih rendah dan karenanya harus tak tereduksi.

Contoh 17.3.8.

Polinomial
\begin{equation*} f(x) = 16 x^5 - 9 x^4 + 3x^2 + 6 x - 21 \end{equation*}
mudah dilihat tak tereduksi atas \({\mathbb Q}\) berdasarkan Kriteria Eisenstein jika kita mengambil \(p = 3\text{.}\)
Kriteria Eisenstein lebih berguna untuk membangun polinomial tak tereduksi berderajat tertentu atas \({\mathbb Q}\) daripada untuk menentukan ketaktereduksian sembarang polinomial di \({\mathbb Q}[x]\text{:}\) untuk sembarang polinomial yang diberikan, kecil kemungkinan kita dapat menerapkan Kriteria Eisenstein. Nilai penting Teorema 17.3.7 adalah bahwa kini kita memiliki metode mudah untuk menghasilkan polinomial tak tereduksi dengan derajat berapa pun.

Subbagian 17.3.1 Ideal dalam \(F\lbrack x \rbrack\)

Misalkan \(F\) suatu lapangan. Ingat bahwa ideal utama di \(F[x]\) adalah ideal \(\langle p(x) \rangle\) yang dibangkitkan oleh suatu polinomial \(p(x)\text{;}\) yaitu,
\begin{equation*} \langle p(x) \rangle = \{ p(x) q(x) : q(x) \in F[x] \}\text{.} \end{equation*}

Contoh 17.3.9.

Polinomial \(x^2\) di \(F[x]\) membangkitkan ideal \(\langle x^2 \rangle\) yang terdiri atas semua polinomial tanpa suku konstan maupun suku berderajat \(1\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(I\) suatu ideal dari \(F[x]\text{.}\) Jika \(I\) adalah ideal nol, teorema ini jelas benar. Misalkan \(I\) ideal taktrivial di \(F[x]\text{,}\) dan ambil elemen taknol \(p(x) \in I\) dengan derajat minimum. Jika \(\deg p(x)= 0\text{,}\) maka \(p(x)\) merupakan konstanta taknol dan 1 harus berada di \(I\text{.}\) Karena 1 membangkitkan seluruh \(F[x]\text{,}\) \(\langle 1 \rangle = I = F[x]\) dan \(I\) sekali lagi merupakan ideal utama.
Sekarang asumsikan bahwa \(\deg p(x) \geq 1\) dan misalkan \(f(x)\) sembarang elemen di \(I\text{.}\) Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat \(q(x)\) dan \(r(x)\) di \(F[x]\) sedemikian sehingga \(f(x) = p(x) q(x) + r(x)\) dan \(\deg r(x) \lt \deg p(x)\text{.}\) Karena \(f(x), p(x) \in I\) dan \(I\) suatu ideal, \(r(x) = f(x) - p(x) q(x)\) juga berada di \(I\text{.}\) Akan tetapi, karena kita memilih \(p(x)\) berderajat minimum, \(r(x)\) harus merupakan polinomial nol. Karena kita dapat menulis setiap elemen \(f(x)\) di \(I\) sebagai \(p(x) q(x)\) untuk suatu \(q(x) \in F[x]\text{,}\) haruslah \(I = \langle p(x) \rangle\text{.}\)

Contoh 17.3.11.

Tidak setiap ideal dalam gelanggang \(F[x,y]\) merupakan ideal utama. Tinjau ideal dari \(F[x, y]\) yang dibangkitkan oleh polinomial \(x\) dan \(y\text{.}\) Ideal ini terdiri atas semua polinomial di \(F[x, y]\) tanpa suku konstan. Karena \(x\) dan \(y\) keduanya berada dalam ideal tersebut, tidak ada satu polinomial pun yang dapat membangkitkan seluruh ideal.

Bukti.
Misalkan \(p(x)\) membangkitkan ideal maksimal dari \(F[x]\text{.}\) Maka \(\langle p(x) \rangle\) juga merupakan ideal prima dari \(F[x]\text{.}\) Karena ideal maksimal harus termuat secara sejati di dalam \(F[x]\text{,}\) \(p(x)\) tidak mungkin merupakan polinomial konstan. Asumsikan bahwa \(p(x)\) terfaktor menjadi dua polinomial berderajat lebih kecil, katakanlah \(p(x) = f(x) g(x)\text{.}\) Karena \(\langle p(x) \rangle\) merupakan ideal prima, salah satu faktor ini, katakanlah \(f(x)\text{,}\) berada di \(\langle p(x) \rangle\) dan karenanya merupakan kelipatan \(p(x)\text{.}\) Namun, hal ini akan mengakibatkan \(\langle p(x) \rangle \subset \langle f(x) \rangle\text{,}\) yang mustahil karena \(\langle p(x) \rangle\) maksimal.
Sebaliknya, misalkan \(p(x)\) tak tereduksi atas \(F[x]\text{.}\) Misalkan \(I\) suatu ideal di \(F[x]\) yang memuat \(\langle p(x) \rangle\text{.}\) Berdasarkan Teorema 17.3.10, \(I\) merupakan ideal utama; jadi, \(I = \langle f(x) \rangle\) untuk suatu \(f(x) \in F[x]\text{.}\) Karena \(p(x) \in I\text{,}\) haruslah \(p(x) = f(x) g(x)\) untuk suatu \(g(x) \in F[x]\text{.}\) Akan tetapi, \(p(x)\) tak tereduksi; jadi, \(f(x)\) atau \(g(x)\) merupakan polinomial konstan. Jika \(f(x)\) konstan, maka \(I = F[x]\) dan pembuktian selesai. Jika \(g(x)\) konstan, maka \(f(x)\) merupakan kelipatan konstan dari \(I\) dan \(I = \langle p(x) \rangle\text{.}\) Dengan demikian, tidak ada ideal sejati dari \(F[x]\) yang secara sejati memuat \(\langle p(x)\rangle\text{.}\)

Subbagian 17.3.2 Catatan Sejarah

Sepanjang sejarah, penyelesaian persamaan polinomial merupakan masalah yang menantang. Bangsa Babilonia mengetahui cara menyelesaikan persamaan \(ax^2 + bx + c = 0\text{.}\) Omar Khayyam (1048–1131) merancang metode untuk menyelesaikan persamaan kubik dengan menggunakan konstruksi geometri dan irisan kerucut. Penyelesaian aljabar untuk persamaan kubik umum \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) baru ditemukan pada abad keenam belas. Seorang matematikawan Italia, Luca Pacioli (ca. 1445–1509), menulis dalam Summa de Arithmetica bahwa persamaan kubik mustahil diselesaikan. Pernyataan ini diterima sebagai tantangan oleh komunitas matematika lainnya.
Scipione del Ferro (1465–1526), dari Universitas Bologna, menyelesaikan “persamaan kubik tereduksi,”
\begin{equation*} ax^3 + cx + d = 0\text{.} \end{equation*}
Ia merahasiakan mutlak penyelesaiannya. Hal ini mungkin tampak mengejutkan pada masa kini, ketika para matematikawan biasanya sangat ingin menerbitkan hasil mereka, tetapi pada zaman Renaisans Italia kerahasiaan merupakan hal yang lazim. Jabatan akademik tidak mudah diperoleh dan bergantung pada kemampuan untuk menang dalam kompetisi publik. Tantangan semacam itu dapat diajukan kapan saja. Akibatnya, setiap penemuan baru yang besar menjadi senjata berharga dalam kompetisi tersebut. Jika seorang lawan menyajikan daftar masalah untuk diselesaikan, del Ferro dapat menyajikan daftar persamaan kubik tereduksi sebagai balasan. Ia menyimpan rahasia penemuannya sepanjang hidup, dan baru mewariskannya di ranjang kematian kepada muridnya, Antonio Fior (ca. 1506–?).
Meskipun kemampuan Fior tidak menyamai gurunya, ia segera mengajukan tantangan kepada Niccolo Fontana (1499–1557). Fontana dikenal sebagai Tartaglia (Si Gagap). Ketika muda, ia terkena sabetan pedang seorang prajurit Prancis dalam serangan terhadap desanya. Ia selamat dari luka parah tersebut, tetapi kemampuan bicaranya terganggu secara permanen. Tartaglia mengirimkan kepada Fior daftar 30 masalah matematika yang beragam; Fior membalas dengan mengirimkan kepada Tartaglia daftar 30 persamaan kubik tereduksi. Tartaglia harus menyelesaikan seluruh 30 masalah itu atau gagal sama sekali. Setelah berusaha keras, Tartaglia akhirnya berhasil menyelesaikan persamaan kubik tereduksi dan mengalahkan Fior, yang kemudian tenggelam dalam ketidaktenaran.
Pada titik ini, seorang matematikawan lain, Gerolamo Cardano (1501–1576), memasuki kisah ini. Cardano menulis kepada Tartaglia, memohon kepadanya agar memberikan penyelesaian persamaan kubik tereduksi. Tartaglia menolak beberapa permintaannya, lalu akhirnya mengungkapkan penyelesaian itu kepada Cardano setelah Cardano bersumpah tidak akan menerbitkan rahasia tersebut atau menyampaikannya kepada orang lain. Dengan menggunakan pengetahuan yang diperolehnya dari Tartaglia, Cardano akhirnya menyelesaikan persamaan kubik umum
\begin{equation*} a x^3 + bx^2 + cx + d = 0\text{.} \end{equation*}
Cardano membagikan rahasia itu kepada muridnya, Ludovico Ferrari (1522–1565), yang menyelesaikan persamaan kuartik umum,
\begin{equation*} a x^4 + b x^3 + cx^2 + d x + e = 0\text{.} \end{equation*}
Pada 1543, Cardano dan Ferrari memeriksa naskah-naskah del Ferro dan menemukan bahwa ia juga telah menyelesaikan persamaan kubik tereduksi. Cardano merasa bahwa penemuan ini membebaskannya dari kewajibannya kepada Tartaglia, sehingga ia kemudian menerbitkan penyelesaian-penyelesaian itu dalam Ars Magna (1545), yang di dalamnya ia mengakui jasa del Ferro atas penyelesaian kasus khusus persamaan kubik. Hal ini menimbulkan perselisihan sengit antara Cardano dan Tartaglia, yang menerbitkan kisah mengenai sumpah tersebut setahun kemudian.
Sblm.Paling AtasLanjut