Lewati ke konten utama

Bagian 14.2 Persamaan Kelas

Misalkan \(X\) adalah himpunan-\(G\) hingga dan \(X_G\) adalah himpunan titik tetap dalam \(X\text{;}\) yaitu,
\begin{equation*} X_G = \{ x \in X : gx = x \text{ untuk semua } g \in G \}\text{.} \end{equation*}
Karena orbit-orbit aksi tersebut mempartisi \(X\text{,}\)
\begin{equation*} |X| = |X_G| + \sum_{i = k}^n |{\mathcal O}_{x_i}|\text{,} \end{equation*}
dengan \(x_k, \ldots, x_n\) sebagai wakil dari orbit-orbit taktrivial yang berbeda dari \(X\text{.}\)
Sekarang, tinjau kasus khusus ketika \(G\) beraksi pada dirinya sendiri melalui konjugasi, \((g,x) \mapsto gxg^{-1}\text{.}\) Pusat dari \(G\text{,}\)
\begin{equation*} Z(G) = \{x : xg = gx \text{ untuk semua } g \in G \}\text{,} \end{equation*}
adalah himpunan titik yang tetap di bawah konjugasi. Orbit-orbit taktrivial dari aksi tersebut disebut kelas konjugasi dari \(G\text{.}\) Jika \(x_1, \ldots, x_k\) merupakan wakil dari setiap kelas konjugasi taktrivial dari \(G\) dan \(|{\mathcal O}_{x_1}| = n_1, \ldots, |{\mathcal O}_{x_k}| = n_k\text{,}\) maka
\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k\text{.} \end{equation*}
Subgrup penstabil dari setiap \(x_i\text{,}\) yaitu \(C(x_i) = \{ g \in G: g x_i = x_i g \}\text{,}\) disebut subgrup pemusat dari \(x_i\text{.}\) Dari Teorema 14.1.11, kita memperoleh persamaan kelas:
\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.} \end{equation*}
Salah satu konsekuensi persamaan kelas adalah bahwa orde setiap kelas konjugasi harus membagi orde \(G\text{.}\)

Contoh 14.2.1.

Mudah diperiksa bahwa kelas-kelas konjugasi dalam \(S_3\) adalah sebagai berikut:
\begin{equation*} \{ (1) \}, \quad \{ (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}, \quad \{(1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\text{.} \end{equation*}
Persamaan kelasnya adalah \(6 = 1+2+3\text{.}\)

Contoh 14.2.2.

Pusat \(D_4\) adalah \(\{ (1), (1 \, 3)(2 \, 4) \}\text{,}\) dan kelas-kelas konjugasinya adalah
\begin{equation*} \{ (1 \, 3), (2 \, 4) \}, \quad \{ (1 \, 4 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 3 \, 4) \}, \quad \{ (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3) \}\text{.} \end{equation*}
Jadi, persamaan kelas untuk \(D_4\) adalah \(8 = 2 + 2 + 2 + 2\text{.}\)

Contoh 14.2.3.

Untuk \(S_n\text{,}\) diperlukan sedikit usaha untuk mencari kelas-kelas konjugasinya. Kita mulai dengan siklus. Misalkan \(\sigma = ( a_1, \ldots, a_k)\) adalah suatu siklus dan misalkan \(\tau \in S_n\text{.}\) Berdasarkan Teorema 6.2.8,
\begin{equation*} \tau \sigma \tau^{-1} = ( \tau( a_1), \ldots, \tau(a_k))\text{.} \end{equation*}
Akibatnya, setiap dua siklus yang panjangnya sama saling berkonjugasi. Sekarang, misalkan \(\sigma = \sigma_1 \sigma_2 \cdots \sigma_r\) adalah suatu dekomposisi siklus, dengan panjang setiap siklus \(\sigma_i\) adalah \(r_i\text{.}\) Maka \(\sigma\) berkonjugasi dengan setiap \(\tau \in S_n\) lain yang dekomposisi siklusnya mempunyai panjang yang sama.
Banyaknya kelas konjugasi dalam \(S_n\) sama dengan banyaknya cara \(n\) dapat dipartisi menjadi jumlah bilangan bulat positif. Dalam kasus \(S_3\text{,}\) sebagai contoh, kita dapat mempartisi bilangan bulat \(3\) menjadi tiga jumlah berikut:
\begin{align*} 3 & = 1 + 1 + 1\\ 3 & = 1 + 2\\ 3 & = 3; \end{align*}
oleh karena itu, terdapat tiga kelas konjugasi. Ada variasi dari masalah pencarian banyaknya partisi semacam itu untuk sebarang bilangan bulat positif \(n\) yang disebut ilmuwan komputer sebagai NP-complete. Hal ini pada praktiknya berarti bahwa masalah tersebut tidak dapat diselesaikan untuk \(n\) yang besar karena perhitungannya akan memakan waktu terlalu lama, bahkan bagi komputer terbesar sekalipun.

Bukti.
Kita menerapkan persamaan kelas
\begin{equation*} |G| = |Z(G)| + n_1 + \cdots + n_k\text{.} \end{equation*}
Karena setiap \(n_i \gt 1\) dan \(n_i \mid |G|\text{,}\) diperoleh bahwa \(p\) harus membagi setiap \(n_i\text{.}\) Selain itu, \(p \mid |G|\text{;}\) jadi, \(p\) harus membagi \(|Z(G)|\text{.}\) Karena identitas selalu berada dalam pusat \(G\text{,}\) \(|Z(G)| \geq 1\text{.}\) Oleh karena itu, \(|Z(G)| \geq p\text{,}\) dan terdapat suatu \(g \in Z(G)\) sedemikian sehingga \(g \neq 1\text{.}\)

Bukti.
Berdasarkan Teorema 14.2.4, \(|Z(G)| = p\) atau \(p^2\text{.}\) Misalkan \(|Z(G)| = p\text{.}\) Maka \(Z(G)\) dan \(G / Z(G)\) keduanya berorde \(p\) dan keduanya pasti merupakan grup siklik. Dengan memilih pembangkit \(aZ(G)\) untuk \(G / Z(G)\text{,}\) kita dapat menulis setiap unsur \(gZ(G)\) dalam grup hasil bagi sebagai \(a^m Z(G)\) untuk suatu bilangan bulat \(m\text{;}\) jadi, \(g = a^m x\) untuk suatu \(x\) dalam pusat \(G\text{.}\) Demikian pula, jika \(hZ(G) \in G / Z(G)\text{,}\) terdapat \(y\) dalam \(Z(G)\) sedemikian sehingga \(h = a^n y\) untuk suatu bilangan bulat \(n\text{.}\) Karena \(x\) dan \(y\) berada dalam pusat \(G\text{,}\) keduanya komutatif dengan semua unsur lain dari \(G\text{;}\) oleh karena itu,
\begin{equation*} gh = a^m x a^n y = a^{m+n} x y = a^n y a^m x = hg\text{,} \end{equation*}
dan \(G\) pasti abelian. Jadi, \(|Z(G)| = p^2\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut