Lewati ke konten utama

Latihan 10.4 Latihan

1.

Untuk setiap grup \(G\) berikut, tentukan apakah \(H\) merupakan subgrup normal dari \(G\text{.}\) Jika \(H\) merupakan subgrup normal, tuliskan tabel Cayley untuk grup hasil bagi \(G/H\text{.}\)
  1. \(G = S_4\) dan \(H = A_4\)
  2. \(G = A_5\) dan \(H = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\)
  3. \(G = S_4\) dan \(H = D_4\)
  4. \(G = Q_8\) dan \(H = \{ 1, -1, I, -I \}\)
  5. \(G = {\mathbb Z}\) dan \(H = 5 {\mathbb Z}\)
Petunjuk.
(a)
\begin{equation*} \begin{array}{c|cc} & A_4 & (1 \, 2)A_4 \\ \hline A_4 & A_4 & (1 \, 2) A_4 \\ (1 \, 2) A_4 & (1 \, 2) A_4 & A_4 \end{array} \end{equation*}
(c) \(D_4\) tidak normal dalam \(S_4\text{.}\)

2.

Carilah semua subgrup dari \(D_4\text{.}\) Subgrup manakah yang normal? Tentukan semua grup hasil bagi dari \(D_4\) hingga isomorfisma.

3.

Carilah semua subgrup dari grup kuaternion \(Q_8\text{.}\) Subgrup manakah yang normal? Tentukan semua grup hasil bagi dari \(Q_8\) hingga isomorfisma.

4.

Misalkan \(T\) grup matriks segitiga atas nonsingular berukuran \(2 \times 2\) dengan entri dalam \({\mathbb R}\text{;}\) yaitu, matriks berbentuk
\begin{equation*} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\text{,} \end{equation*}
dengan \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c \in {\mathbb R}\) dan \(ac \neq 0\text{.}\) Misalkan \(U\) terdiri atas matriks berbentuk
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\text{,} \end{equation*}
dengan \(x \in {\mathbb R}\text{.}\)
  1. Tunjukkan bahwa \(U\) merupakan subgrup dari \(T\text{.}\)
  2. Buktikan bahwa \(U\) abelian.
  3. Buktikan bahwa \(U\) normal dalam \(T\text{.}\)
  4. Tunjukkan bahwa \(T/U\) abelian.
  5. Apakah \(T\) normal dalam \(GL_2( {\mathbb R})\text{?}\)

5.

Tunjukkan bahwa irisan dua subgrup normal merupakan subgrup normal.

6.

Jika \(G\) abelian, buktikan bahwa \(G/H\) juga harus abelian.

7.

Buktikan atau bantah: Jika \(H\) merupakan subgrup normal dari \(G\) sedemikian sehingga \(H\) dan \(G/H\) abelian, maka \(G\) abelian.

8.

Jika \(G\) siklik, buktikan bahwa \(G/H\) juga harus siklik.
Petunjuk.
Jika \(a \in G\) merupakan pembangkit \(G\text{,}\) maka \(aH\) merupakan pembangkit \(G/H\text{.}\)

9.

Buktikan atau bantah: Jika \(H\) dan \(G/H\) siklik, maka \(G\) siklik.

10.

Misalkan \(H\) suatu subgrup berindeks \(2\) dari grup \(G\text{.}\) Buktikan bahwa \(H\) harus merupakan subgrup normal dari \(G\text{.}\) Simpulkan bahwa \(S_n\) tidak sederhana untuk \(n \geq 3\text{.}\)

11.

Jika suatu grup \(G\) memiliki tepat satu subgrup \(H\) berorde \(k\text{,}\) buktikan bahwa \(H\) normal dalam \(G\text{.}\)
Petunjuk.
Untuk setiap \(g \in G\text{,}\) tunjukkan bahwa pemetaan \(i_g : G \to G\) yang didefinisikan oleh \(i_g : x \mapsto gxg^{-1}\) merupakan isomorfisma dari \(G\) ke dirinya sendiri. Kemudian perhatikan \(i_g(H)\text{.}\)

12.

Definisikan sentralisator suatu elemen \(g\) dalam grup \(G\) sebagai himpunan
\begin{equation*} C(g) = \{ x \in G : xg = gx \}\text{.} \end{equation*}
Tunjukkan bahwa \(C(g)\) merupakan subgrup dari \(G\text{.}\) Jika \(g\) membangkitkan subgrup normal dari \(G\text{,}\) buktikan bahwa \(C(g)\) normal dalam \(G\text{.}\)
Petunjuk.
Andaikan \(\langle g \rangle\) normal dalam \(G\) dan misalkan \(y\) suatu elemen sembarang dari \(G\text{.}\) Jika \(x \in C(g)\text{,}\) kita harus menunjukkan bahwa \(y x y^{-1}\) juga berada dalam \(C(g)\text{.}\) Tunjukkan bahwa \((y x y^{-1}) g = g (y x y^{-1})\text{.}\)

13.

Ingat bahwa pusat suatu grup \(G\) adalah himpunan
\begin{equation*} Z(G) = \{ x \in G : xg = gx \text{ untuk semua } g \in G \}\text{.} \end{equation*}
  1. Hitung pusat \(S_3\text{.}\)
  2. Hitung pusat \(GL_2 ( {\mathbb R} )\text{.}\)
  3. Tunjukkan bahwa pusat setiap grup \(G\) merupakan subgrup normal dari \(G\text{.}\)
  4. Jika \(G / Z(G)\) siklik, tunjukkan bahwa \(G\) abelian.

14.

Misalkan \(G\) suatu grup dan misalkan \(G' = \langle aba^{- 1} b^{-1} \rangle\text{;}\) yaitu, \(G'\) merupakan subgrup yang terdiri atas semua hasil kali hingga elemen-elemen dalam \(G\) yang berbentuk \(aba^{-1}b^{-1}\text{.}\) Subgrup \(G'\) disebut subgrup komutator dari \(G\text{.}\)
  1. Tunjukkan bahwa \(G'\) merupakan subgrup normal dari \(G\text{.}\)
  2. Misalkan \(N\) suatu subgrup normal dari \(G\text{.}\) Buktikan bahwa \(G/N\) abelian jika dan hanya jika \(N\) memuat subgrup komutator dari \(G\text{.}\)
Petunjuk.
(a) Misalkan \(g \in G\) dan \(h \in G'\text{.}\) Jika \(h = aba^{-1}b^{-1}\text{,}\) maka
\begin{align*} ghg^{-1} & = gaba^{-1}b^{-1}g^{-1}\\ & = (gag^{-1})(gbg^{-1})(ga^{-1}g^{-1})(gb^{-1}g^{-1})\\ & = (gag^{-1})(gbg^{-1})(gag^{-1})^{-1}(gbg^{-1})^{-1}\text{.} \end{align*}
Kita juga perlu menunjukkan bahwa jika \(h = h_1 \cdots h_n\) dengan \(h_i = a_i b_i a_i^{-1} b_i^{-1}\text{,}\) maka \(ghg^{-1}\) merupakan hasil kali elemen-elemen berjenis sama. Namun, \(ghg^{-1} = g h_1 \cdots h_n g^{-1} = (gh_1g^{-1})(gh_2g^{-1}) \cdots (gh_ng^{-1})\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut