Latihan 12.4 Latihan

1.

Buktikan identitas

\begin{equation*} \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} + {\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\text{.} \end{equation*}

Petunjuk.

\begin{align*} \frac{1}{2} \left[ \|{\mathbf x} + {\mathbf y}\|^2 + \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right] & = \frac{1}{2} \left[ \langle x + y, x + y \rangle - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\\ & = \frac{1}{2} \left[ \| {\mathbf x}\|^2 + 2 \langle x, y \rangle + \| {\mathbf y}\|^2 - \|{\mathbf x}\|^2 - \| {\mathbf y}\|^2 \right]\\ & = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.} \end{align*}

2.

Tunjukkan bahwa $O(n)$ merupakan sebuah grup.

3.

Buktikan bahwa matriks-matriks berikut ortogonal. Adakah di antara matriks tersebut yang berada dalam $SO(n)\text{?}$

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 / \sqrt{5} & 2 / \sqrt{5} \\ - 2 /\sqrt{5} & 1/ \sqrt{5} \end{pmatrix} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 4/5 & 0 & 3 /5 \\ -3 /5 & 0 & 4 /5 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & - 2/3 \\ - 2/3 & 2/3 & 1/3 \\ 2/3 & 1/3 & 2/3 \end{pmatrix} \end{equation*}

Petunjuk.

(a) berada dalam $SO(2)\text{;}$ (c) tidak berada dalam $O(3)\text{.}$

4.

Tentukan grup simetri setiap gambar di bawah ini.

$Terdapat dua gambar pada baris atas dan satu gambar pada baris bawah. Gambar kiri atas, a, berupa persegi panjang. Di dalam persegi panjang tersebut terdapat oval di kiri bawah dan lingkaran terisi di kanan atas. Gambar kanan atas, c, berupa tiga lingkaran berpotongan dengan jari-jari sama. Gambar tengah bawah, b, berupa persegi besar dengan kedua diagonalnya. Titik tengah sisi-sisi persegi besar merupakan titik sudut persegi kecil yang terinskripsi.$

5.

Misalkan ${\mathbf x}\text{,}$ ${\mathbf y}\text{,}$ dan ${\mathbf w}$ vektor-vektor dalam ${\mathbb R}^n\text{,}$ serta $\alpha \in {\mathbb R}\text{.}$ Buktikan setiap sifat hasil kali dalam berikut.

$\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf y}, {\mathbf x} \rangle\text{.}$
$\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} + {\mathbf w} \rangle = \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle + \langle {\mathbf x}, {\mathbf w} \rangle\text{.}$
$\langle \alpha {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf x}, \alpha {\mathbf y} \rangle = \alpha \langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle\text{.}$
$\langle {\mathbf x}, {\mathbf x} \rangle \geq 0\text{,}$ dengan kesamaan tepat ketika ${\mathbf x} = 0\text{.}$
Jika $\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = 0$ untuk semua ${\mathbf x}$ dalam ${\mathbb R}^n\text{,}$ maka ${\mathbf y} = 0\text{.}$

Petunjuk.

(a) $\langle {\mathbf x}, {\mathbf y} \rangle = \langle {\mathbf y}, {\mathbf x} \rangle\text{.}$

6.

Verifikasi bahwa

\begin{equation*} E(n) = \{(A, {\mathbf x}) : A \in O(n) \text{ dan } {\mathbf x} \in {\mathbb R}^n \} \end{equation*}

merupakan sebuah grup.

7.

Buktikan bahwa $\{ (2,1), (1,1) \}$ dan $\{ ( 12, 5), ( 7, 3) \}$ merupakan basis bagi kisi yang sama.

Petunjuk.

Gunakan matriks unimodular

\begin{equation*} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

8.

Misalkan $G$ suatu subgrup dari $E(2)$ dan andaikan $T$ subgrup translasi dari $G\text{.}$ Buktikan bahwa grup titik dari $G$ isomorfik dengan $G/T\text{.}$

9.

Misalkan $A \in SL_2({\mathbb R})$ dan andaikan vektor ${\mathbf x}$ serta ${\mathbf y}$ membentuk dua sisi suatu jajar genjang dalam ${\mathbb R}^2\text{.}$ Buktikan bahwa luas jajar genjang tersebut sama dengan luas jajar genjang yang bersisi $A{\mathbf x}$ dan $A{\mathbf y}\text{.}$

10.

Buktikan bahwa $SO(n)$ merupakan subgrup normal dari $O(n)\text{.}$

Petunjuk.

Tunjukkan bahwa kernel pemetaan $\det : O(n) \rightarrow {\mathbb R}^*$ adalah $SO(n)\text{.}$

11.

Tunjukkan bahwa setiap isometri $f$ dalam ${\mathbb R}^n$ merupakan pemetaan satu-satu.

12.

Buktikan atau bantah: suatu elemen dalam $E(2)$ yang berbentuk $(A, {\mathbf x})\text{,}$ dengan ${\mathbf x} \neq 0\text{,}$ berorde takhingga.

13.

Buktikan atau bantah: Terdapat subgrup abelian takhingga dari $O(n)\text{.}$

Petunjuk.

Benar.

14.

Misalkan ${\mathbf x} = (x_1, x_2)$ suatu titik pada lingkaran satuan dalam ${\mathbb R}^2\text{;}$ yaitu, $x_1^2 + x_2^2 = 1\text{.}$ Jika $A \in O(2)\text{,}$ tunjukkan bahwa $A {\mathbf x}$ juga merupakan titik pada lingkaran satuan.

15.

Misalkan $G$ suatu grup dengan subgrup $H$ (tidak harus normal) dan subgrup normal $N\text{.}$ Maka $G$ merupakan hasil kali semilangsung dari $N$ oleh $H$ jika

$H \cap N = \{ \identity \}\text{;}$
$HN=G\text{.}$

Tunjukkan bahwa setiap pernyataan berikut benar.

$S_3$ merupakan hasil kali semilangsung dari $A_3$ oleh $H = \{(1), (1 \,2) \}\text{.}$
Grup kuaternion $Q_8$ tidak dapat dituliskan sebagai hasil kali semilangsung.
$E(2)$ merupakan hasil kali semilangsung dari $O(2)$ oleh $H\text{,}$ dengan $H$ terdiri atas semua translasi dalam ${\mathbb R}^2\text{.}$

16.

Tentukan grup mana di antara $17$ grup kertas dinding yang mempertahankan simetri pola dalam Gambar 12.2.5.

17.

Tentukan grup mana di antara $17$ grup kertas dinding yang mempertahankan simetri pola dalam Gambar 12.4.1.

Petunjuk.

$p6m$

Kisi segi enam. Setiap segi enam dibagi menjadi tiga belah ketupat. — Gambar 12.4.1. Kisi untuk Latihan 12.4.17

18.

Carilah grup rotasi suatu dodekahedron.

19.

Untuk masing-masing dari $17$ grup kertas dinding, gambarlah pola kertas dinding yang mempunyai grup tersebut sebagai grup simetri.

Sblm.Paling Atas Lanjut