1.
Temukan semua grup abelian berorde kurang dari atau sama dengan \(40\) hingga isomorfisma.
Petunjuk.
Terdapat tiga grup yang mungkin.
Latihan 13.4 Latihan
2.
Temukan semua grup abelian berorde \(200\) hingga isomorfisma.
3.
Temukan semua grup abelian berorde \(720\) hingga isomorfisma.
4.
Temukan semua deret komposisi untuk setiap grup berikut.
-
\(\displaystyle {\mathbb Z}_{12}\)
-
\(\displaystyle {\mathbb Z}_{48}\)
-
Kuaternion, \(Q_8\)
-
\(\displaystyle D_4\)
-
\(\displaystyle S_3 \times {\mathbb Z}_4\)
-
\(\displaystyle S_4\)
-
\(S_n\text{,}\) \(n \geq 5\)
-
\(\displaystyle {\mathbb Q}\)
Petunjuk.
(a) \(\{ 0 \} \subset \langle 6 \rangle \subset \langle 3 \rangle \subset {\mathbb Z}_{12}\text{;}\) (e) \(\{ (1) \} \times \{ 0 \} \subset \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \} \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \{ 0 \} \subset S_3 \times \langle 2 \rangle\subset S_3 \times {\mathbb Z}_4\text{.}\)
5.
Tunjukkan bahwa hasil kali langsung tak hingga \(G = {\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 \times \cdots\) tidak dibangkitkan secara hingga.
6.
Misalkan \(G\) suatu grup abelian berorde \(m\text{.}\) Jika \(n\) membagi \(m\text{,}\) buktikan bahwa \(G\) memiliki subgrup berorde \(n\text{.}\)
7.
Suatu grup \(G\) disebut grup torsi jika setiap elemen \(G\) memiliki orde hingga. Buktikan bahwa grup torsi abelian yang dibangkitkan secara hingga harus merupakan grup hingga.
Petunjuk.
Gunakan Teorema Dasar Grup Abelian yang Dibangkitkan secara Hingga.
8.
Misalkan \(G\text{,}\) \(H\text{,}\) dan \(K\) merupakan grup-grup abelian yang dibangkitkan secara hingga. Tunjukkan bahwa jika \(G \times H \cong G \times K\text{,}\) maka \(H \cong K\text{.}\) Berikan contoh penyangkal untuk menunjukkan bahwa pernyataan ini tidak selalu benar secara umum.
9.
Misalkan \(G\) dan \(H\) merupakan grup solvabel. Tunjukkan bahwa \(G \times H\) juga solvabel.
10.
Jika \(G\) memiliki deret komposisi (prinsipal) dan jika \(N\) merupakan subgrup normal sejati dari \(G\text{,}\) tunjukkan bahwa terdapat deret komposisi (prinsipal) yang memuat \(N\text{.}\)
11.
Buktikan atau bantah: Misalkan \(N\) suatu subgrup normal dari \(G\text{.}\) Jika \(N\) dan \(G/N\) memiliki deret komposisi, maka \(G\) juga harus memiliki deret komposisi.
12.
Misalkan \(N\) suatu subgrup normal dari \(G\text{.}\) Jika \(N\) dan \(G/N\) merupakan grup solvabel, tunjukkan bahwa \(G\) juga merupakan grup solvabel.
Petunjuk.
Jika \(N\) dan \(G/N\) solvabel, maka keduanya memiliki deret solvabel
\begin{gather*}
N = N_n \supset N_{n - 1} \supset \cdots \supset N_1 \supset N_0 = \{ e \}\\
G/N = G_n/N \supset G_{n - 1}/N \supset \cdots G_1/N \supset G_0/N = \{ N \}\text{.}
\end{gather*}
13.
Buktikan bahwa \(G\) merupakan grup solvabel jika dan hanya jika \(G\) memiliki deret subgrup
\begin{equation*}
G = P_n \supset P_{n - 1} \supset \cdots \supset P_1 \supset P_0 = \{ e \}
\end{equation*}
dengan \(P_i\) normal dalam \(P_{i + 1}\) dan orde \(P_{i + 1} / P_i\) prima.
14.
Misalkan \(G\) suatu grup solvabel. Buktikan bahwa setiap subgrup dari \(G\) juga solvabel.
15.
Misalkan \(G\) suatu grup solvabel dan \(N\) suatu subgrup normal dari \(G\text{.}\) Buktikan bahwa \(G/N\) solvabel.
16.
Buktikan bahwa \(D_n\) solvabel untuk semua bilangan bulat \(n\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan fakta bahwa \(D_n\) memiliki subgrup siklik berindeks \(2\text{.}\)
17.
Misalkan \(G\) memiliki deret komposisi. Jika \(N\) merupakan subgrup normal dari \(G\text{,}\) tunjukkan bahwa \(N\) dan \(G/N\) juga memiliki deret komposisi.
18.
Misalkan \(G\) suatu grup-\(p\) siklik dengan subgrup \(H\) dan \(K\text{.}\) Buktikan bahwa \(H\) termuat dalam \(K\) atau \(K\) termuat dalam \(H\text{.}\)
19.
Misalkan \(G\) suatu grup solvabel berorde \(n \geq 2\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(G\) memuat subgrup abelian normal nontrivial.
20.
Ingat bahwa subgrup komutator \(G'\) dari suatu grup \(G\) didefinisikan sebagai subgrup dari \(G\) yang dibangkitkan oleh elemen-elemen berbentuk \(a^{-1} b ^{-1} ab\) untuk \(a, b \in G\text{.}\) Kita dapat mendefinisikan deret subgrup dari \(G\) dengan \(G^{(0)} = G\text{,}\) \(G^{(1)} = G'\text{,}\) dan \(G^{(i + 1)} = (G^{(i)})'\text{.}\)
-
Buktikan bahwa \(G^{(i+1)}\) normal dalam \((G^{(i)})'\text{.}\) Deret subgrup\begin{equation*} G^{(0)} = G \supset G^{(1)} \supset G^{(2)} \supset \cdots \end{equation*}disebut deret turunan dari \(G\text{.}\)
-
Tunjukkan bahwa \(G\) solvabel jika dan hanya jika \(G^{(n)} = \{ e \}\) untuk suatu bilangan bulat \(n\text{.}\)
21.
Misalkan \(G\) suatu grup solvabel berorde \(n \geq 2\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(G\) memuat grup hasil bagi abelian normal nontrivial.
Petunjuk.
\(G/G'\) abelian.
22. Lema Zassenhaus.
Misalkan \(H\) dan \(K\) merupakan subgrup dari suatu grup \(G\text{.}\) Andaikan pula bahwa \(H^*\) dan \(K^*\) berturut-turut merupakan subgrup normal dari \(H\) dan \(K\text{.}\) Maka
-
\(H^* ( H \cap K^*)\) merupakan subgrup normal dari \(H^* ( H \cap K)\text{.}\)
-
\(K^* ( H^* \cap K)\) merupakan subgrup normal dari \(K^* ( H \cap K)\text{.}\)
-
\(H^* ( H \cap K) / H^* ( H \cap K^*) \cong K^* ( H \cap K) / K^* ( H^* \cap K) \cong (H \cap K) / (H^* \cap K)(H \cap K^*)\text{.}\)
23. Teorema Schreier.
Gunakan Lema Zassenhaus untuk membuktikan bahwa dua deret subnormal (normal) dari suatu grup \(G\) memiliki perhalusan yang isomorfik.
24.
Gunakan Teorema Schreier untuk membuktikan Teorema Jordan-Hölder.
