Bab 5 Grup Permutasi
Grup permutasi menempati posisi sentral dalam kajian simetri geometris dan teori Galois, yaitu kajian untuk menemukan penyelesaian persamaan polinomial. Grup ini juga menyediakan banyak contoh grup nonabelian.
Mari kita ingat kembali simetri segitiga sama sisi \(\bigtriangleup ABC\) dari Bab 3. Simetri tersebut sebenarnya terdiri atas permutasi ketiga titik sudutnya, dengan suatu permutasi dari himpunan \(S = \{ A, B, C \}\) merupakan pemetaan injektif dan surjektif \(\pi :S \rightarrow S\text{.}\) Ketiga titik sudut tersebut memiliki enam permutasi berikut.
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
A & B & C
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
C & A & B
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
B & C & A
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
A & C & B
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
C & B & A
\end{pmatrix}
\qquad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
B & A & C
\end{pmatrix}
\end{align*}
Kita telah menggunakan larik
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
B & C & A
\end{pmatrix}
\end{equation*}
untuk menyatakan permutasi yang membawa \(A\) ke \(B\text{,}\) \(B\) ke \(C\text{,}\) dan \(C\) ke \(A\text{.}\) Yaitu,
\begin{align*}
A & \mapsto B\\
B & \mapsto C\\
C & \mapsto A\text{.}
\end{align*}
Simetri suatu segitiga membentuk grup. Dalam bab ini kita akan mempelajari grup jenis ini.
