Lewati ke konten utama

Bagian 10.2 Kesederhanaan Grup Alternasi

Grup yang tidak memiliki subgrup normal taktrivial sangat menarik untuk dikaji. Grup semacam itu disebut grup sederhana. Tentu saja, kita sudah mempunyai satu kelas lengkap contoh grup sederhana, yaitu \({\mathbb Z}_p\text{,}\) dengan \(p\) prima. Grup-grup ini secara langsung bersifat sederhana karena tidak memiliki subgrup sejati selain subgrup yang hanya terdiri atas identitas. Contoh lain grup sederhana tidak mudah ditemukan. Akan tetapi, kita dapat menunjukkan bahwa grup alternasi \(A_n\) bersifat sederhana untuk \(n \geq 5\text{.}\) Pembuktian hasil ini memerlukan beberapa lema.

Bukti.
Untuk menunjukkan bahwa siklus-\(3\) membangkitkan \(A_n\text{,}\) kita hanya perlu menunjukkan bahwa setiap pasangan transposisi dapat dituliskan sebagai hasil kali siklus-\(3\text{.}\) Karena \((a, b) = (b, a)\text{,}\) setiap pasangan transposisi harus memiliki salah satu bentuk berikut:
\begin{align*} (a,b)(a,b) & = \identity\\ (a,b)(c,d) & = (a,c,b)(a,c,d)\\ (a,b)(a,c) & = (a,c,b)\text{.} \end{align*}

Bukti.
Pertama-tama kita akan menunjukkan bahwa \(A_n\) dibangkitkan oleh siklus-\(3\) yang berbentuk khusus \((i,j,k)\text{,}\) dengan \(i\) dan \(j\) tetap di dalam \(\{ 1, 2, \ldots, n \}\text{,}\) sedangkan \(k\) bervariasi. Setiap siklus-\(3\) merupakan hasil kali siklus-\(3\) berbentuk demikian, sebab
\begin{align*} (i, a, j) & = (i, j, a)^2\\ (i, a, b) & = (i, j, b) (i, j, a)^2\\ (j, a, b) & = (i, j, b)^2 (i, j, a)\\ (a, b, c) & = (i, j, a)^2 (i, j, c) (i, j, b)^2 (i, j, a)\text{.} \end{align*}
Sekarang andaikan \(N\) merupakan subgrup normal taktrivial dari \(A_n\) untuk \(n \geq 3\) dan \(N\) memuat siklus-\(3\) berbentuk \((i, j, a)\text{.}\) Dengan menggunakan kenormalan \(N\text{,}\) kita memperoleh bahwa
\begin{equation*} [(i, j)(a, k)](i, j, a)^2 [(i, j)(a, k)]^{-1} = (i, j, k) \end{equation*}
berada dalam \(N\text{.}\) Jadi, \(N\) harus memuat semua siklus-\(3\) \((i, j, k)\) untuk \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Berdasarkan Lema 10.2.1, siklus-\(3\) tersebut membangkitkan \(A_n\text{;}\) oleh karena itu, \(N = A_n\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(\sigma\) suatu elemen sembarang dalam subgrup normal \(N\text{.}\) Terdapat beberapa kemungkinan struktur siklus bagi \(\sigma\text{.}\)
  • \(\sigma\) merupakan siklus-\(3\text{.}\)
  • \(\sigma\) merupakan hasil kali siklus-siklus saling lepas, \(\sigma = \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r) \in N\text{,}\) dengan \(r \gt 3\text{.}\)
  • \(\sigma\) merupakan hasil kali siklus-siklus saling lepas, \(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)(a_4, a_5, a_6)\text{.}\)
  • \(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)\text{,}\) dengan \(\tau\) merupakan hasil kali siklus-2 yang saling lepas.
  • \(\sigma = \tau (a_1, a_2) (a_3, a_4)\text{,}\) dengan \(\tau\) merupakan hasil kali sejumlah genap siklus-2 yang saling lepas.
Jika \(\sigma\) merupakan siklus-\(3\text{,}\) pembuktian selesai. Jika \(N\) memuat suatu hasil kali siklus-siklus saling lepas, \(\sigma\text{,}\) dan setidaknya satu siklus tersebut panjangnya lebih besar daripada 3, misalkan \(\sigma = \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r)\text{,}\) maka
\begin{equation*} (a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} \end{equation*}
berada dalam \(N\) karena \(N\) normal; akibatnya,
\begin{equation*} \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} \end{equation*}
juga berada dalam \(N\text{.}\) Karena
\begin{align*} \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} & = \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\\ &\quad {}\cdot \sigma(a_1, a_3, a_2)\\ & = (a_1, a_2, \ldots, a_r)^{-1}\tau^{-1}(a_1, a_2, a_3)\\ &\quad {}\cdot \tau(a_1, a_2, \ldots, a_r)(a_1, a_3, a_2)\\ & = (a_1, a_r, a_{r-1}, \ldots, a_2 )(a_1, a_2, a_3)\\ &\quad {}\cdot (a_1, a_2, \ldots, a_r)(a_1, a_3, a_2)\\ & = (a_1, a_3, a_r)\text{,} \end{align*}
\(N\) harus memuat suatu siklus-\(3\text{;}\) oleh karena itu, \(N = A_n\text{.}\)
Sekarang andaikan \(N\) memuat suatu hasil kali saling lepas berbentuk
\begin{equation*} \sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)(a_4, a_5, a_6)\text{.} \end{equation*}
Maka
\begin{equation*} \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_4)\sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} \in N \end{equation*}
karena
\begin{equation*} (a_1, a_2, a_4)\sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} \in N\text{.} \end{equation*}
Jadi,
\begin{align*} \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_4) \sigma(a_1, a_2, a_4)^{-1} & = [ \tau (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6) ]^{-1}\\ &\quad {}\cdot (a_1, a_2, a_4) \tau (a_1, a_2, a_3)\\ &\quad {}\cdot (a_4, a_5, a_6) (a_1, a_2, a_4)^{-1}\\ & = (a_4, a_6, a_5) (a_1, a_3, a_2)\\ &\quad {}\cdot \tau^{-1}(a_1, a_2, a_4) \tau (a_1, a_2, a_3)\\ &\quad {}\cdot (a_4, a_5, a_6) (a_1, a_4, a_2)\\ & = (a_4, a_6, a_5)(a_1, a_3, a_2) (a_1, a_2, a_4)\\ &\quad {}\cdot (a_1, a_2, a_3) (a_4, a_5, a_6)\\ &\quad {}\cdot (a_1, a_4, a_2)\\ & = (a_1, a_4, a_2, a_6, a_3)\text{.} \end{align*}
Dengan demikian, \(N\) memuat siklus saling lepas yang panjangnya lebih besar daripada \(3\text{,}\) sehingga kita dapat menerapkan kasus sebelumnya.
Andaikan \(N\) memuat suatu hasil kali saling lepas berbentuk \(\sigma = \tau(a_1, a_2, a_3)\text{,}\) dengan \(\tau\) merupakan hasil kali siklus-\(2\) yang saling lepas. Karena \(\sigma \in N\text{,}\) maka \(\sigma^2 \in N\text{,}\) dan
\begin{align*} \sigma^2 & = \tau(a_1, a_2, a_3)\tau(a_1, a_2, a_3)\\ & =(a_1, a_3, a_2)\text{.} \end{align*}
Jadi, \(N\) memuat suatu siklus-\(3\text{.}\)
Satu-satunya kemungkinan kasus yang tersisa adalah hasil kali saling lepas berbentuk
\begin{equation*} \sigma = \tau (a_1, a_2) (a_3, a_4)\text{,} \end{equation*}
dengan \(\tau\) merupakan hasil kali sejumlah genap siklus-\(2\) yang saling lepas. Akan tetapi,
\begin{equation*} \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} \end{equation*}
berada dalam \(N\) karena \((a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1}\) berada dalam \(N\text{;}\) sehingga
\begin{align*} \sigma^{-1}(a_1, a_2, a_3)\sigma(a_1, a_2, a_3)^{-1} & = \tau^{-1} (a_1, a_2) (a_3, a_4)\\ &\quad {}\cdot (a_1, a_2, a_3) \tau (a_1, a_2)\\ &\quad {}\cdot (a_3, a_4)(a_1, a_2, a_3)^{-1}\\ & = (a_1, a_3)(a_2, a_4)\text{.} \end{align*}
Karena \(n \geq 5\text{,}\) kita dapat menemukan \(b \in \{1, 2, \ldots, n \}\) sedemikian sehingga \(b \neq a_1, a_2, a_3, a_4\text{.}\) Misalkan \(\mu = (a_1, a_3, b)\text{.}\) Maka
\begin{equation*} \mu^{-1} (a_1, a_3)(a_2, a_4) \mu (a_1, a_3)(a_2, a_4) \in N \end{equation*}
dan
\begin{align*} \mu^{-1} (a_1, a_3)(a_2, a_4) \mu (a_1, a_3)(a_2, a_4) & = (a_1, b, a_3)\\ &\quad {}\cdot (a_1, a_3)(a_2, a_4)\\ &\quad {}\cdot (a_1, a_3, b)(a_1, a_3)(a_2, a_4)\\ & = (a_1, a_3, b)\text{.} \end{align*}
Oleh karena itu, \(N\) memuat suatu siklus-\(3\text{.}\) Dengan demikian, pembuktian lema ini selesai.

Bukti.
Misalkan \(N\) suatu subgrup normal dari \(A_n\text{.}\) Berdasarkan Lema 10.2.3, \(N\) memuat suatu siklus-\(3\text{.}\) Berdasarkan Lema 10.2.2, \(N = A_n\text{;}\) oleh karena itu, \(A_n\) tidak memuat subgrup normal sejati yang taktrivial untuk \(n \geq 5\text{.}\)

Subbagian 10.2.1 Catatan Sejarah

Salah satu masalah terpenting dalam teori grup ialah mengklasifikasikan semua grup sederhana hingga. Masalah ini telah berusia lebih dari satu abad dan baru diselesaikan dalam beberapa dasawarsa terakhir abad kedua puluh. Dalam suatu pengertian, grup sederhana hingga merupakan blok pembangun semua grup hingga. Grup sederhana nonabelian pertama yang ditemukan adalah grup-grup alternasi. Galois adalah orang pertama yang membuktikan bahwa \(A_5\) sederhana. Kemudian, matematikawan seperti C. Jordan dan L. E. Dickson menemukan beberapa keluarga takhingga grup matriks yang sederhana. Keluarga lain grup sederhana ditemukan pada dasawarsa 1950-an. Pada pergantian abad, William Burnside menduga bahwa semua grup sederhana nonabelian harus berorde genap. Pada tahun 1963, W. Feit dan J. Thompson membuktikan dugaan Burnside dan menerbitkan hasil mereka dalam makalah “Solvability of Groups of Odd Order,” yang dimuat dalam Pacific Journal of Mathematics. Pembuktian mereka, yang panjangnya lebih dari 250 halaman, mendorong suatu program pada dasawarsa 1960-an dan 1970-an untuk mengklasifikasikan semua grup sederhana hingga. Daniel Gorenstein merupakan pengorganisasi upaya luar biasa ini. Salah satu grup sederhana terakhir adalah “Monster,” yang ditemukan oleh R. Greiss. Monster, suatu grup matriks \(196{,}833 \times 196{,}833\text{,}\) merupakan salah satu dari 26 grup sederhana sporadik, atau khusus. Grup sederhana sporadik ini tidak termasuk dalam keluarga takhingga grup sederhana mana pun. Beberapa grup sporadik memainkan peran penting dalam fisika.
Sblm.Paling AtasLanjut