Latihan 18.4 Latihan

1.

Misalkan \(z = a + b \sqrt{3}\, i\) berada dalam \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i]\text{.}\) Jika \(a^2 + 3 b^2 = 1\text{,}\) tunjukkan bahwa \(z\) harus merupakan unit. Tunjukkan bahwa satu-satunya unit dalam \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ]\) adalah \(1\) dan \(-1\text{.}\)

Petunjuk.

Perhatikan bahwa \(z^{-1} = 1/(a + b\sqrt{3}\, i) = (a -b \sqrt{3}\, i)/(a^2 + 3b^2)\) berada dalam \({\mathbb Z}[\sqrt{3}\, i]\) jika dan hanya jika \(a^2 + 3 b^2 = 1\text{.}\) Satu-satunya solusi bilangan bulat untuk persamaan tersebut adalah \(a = \pm 1, b = 0\text{.}\)

2.

Bilangan bulat Gaussian, \({\mathbb Z}[i]\text{,}\) membentuk UFD. Faktorkan setiap elemen berikut dalam \({\mathbb Z}[i]\) menjadi hasil kali elemen-elemen tak tereduksi.

\(\displaystyle 5\)
\(\displaystyle 1 + 3i\)
\(\displaystyle 6 + 8i\)
\(\displaystyle 2\)

Petunjuk.

(a) \(5 = -i(1 + 2i)(2 + i)\text{;}\) (c) \(6 + 8i = -i(1 + i)^2(2 + i)^2\text{.}\)

3.

Misalkan \(D\) suatu daerah integral.

Buktikan bahwa \(F_D\) merupakan grup abelian di bawah operasi penjumlahan.
Tunjukkan bahwa operasi perkalian terdefinisi dengan baik dalam lapangan pecahan, \(F_D\text{.}\)
Verifikasikan sifat asosiatif dan komutatif perkalian dalam \(F_D\text{.}\)

4.

Buktikan atau bantah: Setiap subgelanggang dari lapangan \(F\) yang memuat \(1\) merupakan daerah integral.

Petunjuk.

Benar.

5.

Buktikan atau bantah: Jika \(D\) merupakan daerah integral, maka setiap elemen prima dalam \(D\) juga tak tereduksi dalam \(D\text{.}\)

6.

Misalkan \(F\) suatu lapangan berkarakteristik nol. Buktikan bahwa \(F\) memuat sublapangan yang isomorfik dengan \({\mathbb Q}\text{.}\)

7.

Misalkan \(F\) suatu lapangan.

Buktikan bahwa lapangan pecahan dari \(F[x]\text{,}\) yang dinyatakan dengan \(F(x)\text{,}\) isomorfik dengan himpunan semua ekspresi rasional \(p(x) / q(x)\text{,}\) dengan \(q(x)\) bukan polinomial nol.
Misalkan \(p(x_1, \ldots, x_n)\) dan \(q(x_1, \ldots, x_n)\) merupakan polinomial dalam \(F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}\) Tunjukkan bahwa himpunan semua ekspresi rasional \(p(x_1, \ldots, x_n) / q(x_1, \ldots, x_n)\) isomorfik dengan lapangan pecahan dari \(F[x_1, \ldots, x_n]\text{.}\) Kita menyatakan lapangan pecahan dari \(F[x_1, \ldots, x_n]\) dengan \(F(x_1, \ldots, x_n)\text{.}\)

8.

Misalkan \(p\) prima dan nyatakan lapangan pecahan dari \({\mathbb Z}_p[x]\) dengan \({\mathbb Z}_p(x)\text{.}\) Buktikan bahwa \({\mathbb Z}_p(x)\) merupakan lapangan tak hingga berkarakteristik \(p\text{.}\)

9.

Buktikan bahwa lapangan pecahan dari bilangan bulat Gaussian, \({\mathbb Z}[i]\text{,}\) adalah

\begin{equation*} {\mathbb Q}(i) = \{ p + q i : p, q \in {\mathbb Q} \}\text{.} \end{equation*}

Petunjuk.

Misalkan \(z = a + bi\) dan \(w = c + di \neq 0\) berada dalam \({\mathbb Z}[i]\text{.}\) Buktikan bahwa \(z/w \in {\mathbb Q}(i)\text{.}\)

10.

Lapangan \(F\) disebut lapangan prima jika tidak mempunyai sublapangan sejati. Jika \(E\) merupakan sublapangan dari \(F\) dan \(E\) merupakan lapangan prima, maka \(E\) merupakan sublapangan prima dari \(F\text{.}\)

Buktikan bahwa setiap lapangan memuat sublapangan prima yang tunggal.
Jika \(F\) merupakan lapangan berkarakteristik nol, buktikan bahwa sublapangan prima dari \(F\) isomorfik dengan lapangan bilangan rasional, \({\mathbb Q}\text{.}\)
Jika \(F\) merupakan lapangan berkarakteristik \(p\text{,}\) buktikan bahwa sublapangan prima dari \(F\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

11.

Misalkan \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ] = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Z} \}\text{.}\)

Buktikan bahwa \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\) merupakan daerah integral.
Tentukan semua unit dalam \({\mathbb Z}[\sqrt{2}\, ]\text{.}\)
Tentukan lapangan pecahan dari \({\mathbb Z}[ \sqrt{2}\, ]\text{.}\)
Buktikan bahwa \({\mathbb Z}[ \sqrt{2} i ]\) merupakan domain Euklides di bawah valuasi Euklides \(\nu( a + b \sqrt{2}\, i) = a^2 + 2b^2\text{.}\)

12.

Misalkan \(D\) suatu UFD. Elemen \(d \in D\) merupakan faktor persekutuan terbesar dari \(a\) dan \(b\) dalam \(D\) jika \(d \mid a\) dan \(d \mid b\text{,}\) serta \(d\) dapat dibagi oleh setiap elemen lain yang membagi \(a\) dan \(b\text{.}\)

Jika \(D\) merupakan PID dan \(a\) serta \(b\) keduanya merupakan elemen tak nol dari \(D\text{,}\) buktikan bahwa terdapat faktor persekutuan terbesar dari \(a\) dan \(b\) yang tunggal hingga kesekawanan. Artinya, jika \(d\) dan \(d'\) keduanya merupakan faktor persekutuan terbesar dari \(a\) dan \(b\text{,}\) maka \(d\) dan \(d'\) sekawan. Kita menulis \(\gcd( a, b)\) untuk faktor persekutuan terbesar dari \(a\) dan \(b\text{.}\)
Misalkan \(D\) suatu PID serta \(a\) dan \(b\) elemen tak nol dari \(D\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat elemen \(s\) dan \(t\) dalam \(D\) sedemikian sehingga \(\gcd(a, b) = as + bt\text{.}\)

13.

Misalkan \(D\) suatu daerah integral. Definisikan suatu relasi pada \(D\) dengan \(a \sim b\) jika \(a\) dan \(b\) sekawan dalam \(D\text{.}\) Buktikan bahwa \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi pada \(D\text{.}\)

14.

Misalkan \(D\) suatu domain Euklides dengan valuasi Euklides \(\nu\text{.}\) Jika \(u\) merupakan unit dalam \(D\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\nu(u) = \nu(1)\text{.}\)

15.

Misalkan \(D\) suatu domain Euklides dengan valuasi Euklides \(\nu\text{.}\) Jika \(a\) dan \(b\) sekawan dalam \(D\text{,}\) buktikan bahwa \(\nu(a) = \nu(b)\text{.}\)

Petunjuk.

Misalkan \(a = ub\) dengan \(u\) suatu unit. Maka \(\nu(b) \leq \nu(ub) \leq \nu(a)\text{.}\) Demikian pula, \(\nu(a) \leq \nu(b)\text{.}\)

16.

Tunjukkan bahwa \({\mathbb Z}[\sqrt{5}\, i]\) bukan domain faktorisasi tunggal.

Petunjuk.

Tunjukkan bahwa \(21\) dapat difaktorkan dengan dua cara berbeda.

17.

Buktikan atau bantah: Setiap subdomain dari UFD juga merupakan UFD.

18.

Suatu ideal dari gelanggang komutatif \(R\) dikatakan dibangkitkan secara hingga jika terdapat elemen-elemen \(a_1, \ldots, a_n\) dalam \(R\) sedemikian sehingga setiap elemen \(r\) dalam ideal tersebut dapat ditulis sebagai \(a_1 r_1 + \cdots + a_n r_n\) untuk suatu \(r_1, \ldots, r_n\) dalam \(R\text{.}\) Buktikan bahwa \(R\) memenuhi syarat rantai naik jika dan hanya jika setiap ideal dari \(R\) dibangkitkan secara hingga.

19.

Misalkan \(D\) suatu daerah integral dengan rantai turun ideal \(I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots\text{.}\) Andaikan terdapat \(N\) sedemikian sehingga \(I_k = I_N\) untuk semua \(k \geq N\text{.}\) Gelanggang yang memenuhi syarat ini dikatakan memenuhi syarat rantai turun, atau DCC. Gelanggang yang memenuhi DCC disebut gelanggang Artinian, menurut nama Emil Artin. Tunjukkan bahwa jika \(D\) memenuhi syarat rantai turun, maka domain tersebut harus memenuhi syarat rantai naik.

20.

Misalkan \(R\) suatu gelanggang komutatif dengan identitas. Kita mendefinisikan himpunan bagian multiplikatif dari \(R\) sebagai himpunan bagian \(S\) sedemikian sehingga \(1 \in S\) dan \(ab \in S\) jika \(a, b \in S\text{.}\)

Definisikan relasi \(\sim\) pada \(R \times S\) dengan \((a, s) \sim (a', s')\) jika terdapat \(s^\ast \in S\) sedemikian sehingga \(s^\ast(s' a -s a') = 0\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi pada \(R \times S\text{.}\)
Misalkan \(a/s\) menyatakan kelas ekuivalensi dari \((a,s) \in R \times S\) dan misalkan \(S^{-1}R\) himpunan semua kelas ekuivalensi terhadap \(\sim\text{.}\) Definisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada \(S^{-1} R\) dengan

\begin{align*} \frac{a}{s} + \frac{b}{t} & = \frac{at + b s}{s t}\\ \frac{a}{s} \frac{b}{t} & = \frac{a b}{s t}\text{,} \end{align*}

secara berturut-turut. Buktikan bahwa operasi-operasi ini terdefinisi dengan baik pada \(S^{-1}R\) dan bahwa \(S^{-1}R\) merupakan gelanggang dengan identitas di bawah operasi-operasi tersebut. Gelanggang \(S^{-1}R\) disebut gelanggang hasil bagi dari \(R\) terhadap \(S\text{.}\)
Tunjukkan bahwa pemetaan \(\psi : R \rightarrow S^{-1}R\) yang didefinisikan oleh \(\psi(a) = a/1\) merupakan homomorfisma gelanggang.
Jika \(R\) tidak mempunyai pembagi nol dan \(0 \notin S\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\psi\) satu-ke-satu.
Buktikan bahwa \(P\) merupakan ideal prima dari \(R\) jika dan hanya jika \(S = R \setminus P\) merupakan himpunan bagian multiplikatif dari \(R\text{.}\)
Jika \(P\) merupakan ideal prima dari \(R\) dan \(S = R \setminus P\text{,}\) tunjukkan bahwa gelanggang hasil bagi \(S^{-1}R\) mempunyai ideal maksimal yang tunggal. Setiap gelanggang yang mempunyai ideal maksimal tunggal disebut gelanggang lokal.

Sblm.Paling Atas Lanjut