Suatu himpunan adalah koleksi objek yang terdefinisi dengan baik; artinya, himpunan itu didefinisikan sedemikian rupa sehingga untuk setiap objek \(x\) yang diberikan kita dapat menentukan apakah \(x\) termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak. Objek-objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota himpunan itu. Kita akan menyatakan himpunan dengan huruf kapital, seperti \(A\) atau \(X\text{;}\) jika \(a\) merupakan elemen himpunan \(A\text{,}\) kita tulis \(a \in A\text{.}\)
Suatu himpunan biasanya ditentukan dengan mencantumkan semua elemennya di antara sepasang kurung kurawal atau dengan menyatakan sifat yang menentukan apakah suatu objek \(x\) termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak. Kita dapat menulis
\begin{equation*}
X = \{ x_1, x_2, \ldots, x_n \}
\end{equation*}
untuk himpunan yang memuat elemen \(x_1, x_2, \ldots, x_n\text{,}\) atau
\begin{equation*}
X = \{ x :x \text{ memenuhi }{\mathcal P}\}
\end{equation*}
jika setiap \(x\) dalam \(X\) memenuhi suatu sifat tertentu \({\mathcal P}\text{.}\) Sebagai contoh, jika \(E\) adalah himpunan bilangan bulat positif genap, kita dapat mendeskripsikan \(E\) dengan menuliskan salah satu dari
\begin{equation*}
E = \{2, 4, 6, \ldots \} \quad \text{atau} \quad E = \{ x : x \text{ adalah bilangan bulat genap dan } x \gt 0 \}\text{.}
\end{equation*}
Kita tulis \(2 \in E\) ketika hendak menyatakan bahwa 2 berada dalam himpunan \(E\text{,}\) dan \(-3 \notin E\) untuk menyatakan bahwa \(-3\) tidak berada dalam himpunan \(E\text{.}\)
Beberapa himpunan penting yang akan kita bahas adalah sebagai berikut:
\begin{gather*}
{\mathbb N} = \{n: n \text{ adalah bilangan asli}\} = \{1, 2, 3, \ldots \};\\
{\mathbb Z} = \{n : n \text{ adalah bilangan bulat} \} = \{\ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots \};\\
{\mathbb Q} = \{r : r \text{ adalah bilangan rasional}\} = \{p/q : p, q \in {\mathbb Z} \text{ dengan } q \neq 0\};\\
{\mathbb R} = \{ x : x \text{ adalah bilangan real} \};\\
{\mathbb C} = \{z : z \text{ adalah bilangan kompleks}\}\text{.}
\end{gather*}
Kita dapat menemukan berbagai relasi di antara himpunan dan juga melakukan operasi pada himpunan. Suatu himpunan \(A\) merupakan himpunan bagian dari \(B\text{,}\) ditulis \(A \subset B\) atau \(B \supset A\text{,}\) jika setiap elemen \(A\) juga merupakan elemen \(B\text{.}\) Sebagai contoh,
Secara langsung, setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri. Suatu himpunan \(B\) merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan \(A\) jika \(B \subset A\) tetapi \(B \neq A\text{.}\) Jika \(A\) bukan himpunan bagian dari \(B\text{,}\) kita tulis \(A \notsubset B\text{;}\) sebagai contoh, \(\{4, 7, 9\} \notsubset \{2, 4, 5, 8, 9 \}\text{.}\) Dua himpunan dikatakan sama, ditulis \(A = B\text{,}\) jika kita dapat menunjukkan bahwa \(A \subset B\) dan \(B \subset A\text{.}\)
Adanya suatu himpunan yang tidak memiliki elemen sangatlah berguna. Himpunan ini disebut himpunan kosong dan dilambangkan dengan \(\emptyset\text{.}\) Perhatikan bahwa himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
Untuk membentuk himpunan baru dari himpunan yang sudah ada, kita dapat melakukan operasi tertentu: gabungan \(A \cup B\) dari dua himpunan \(A\) dan \(B\) didefinisikan sebagai
\begin{equation*}
A \cup B = \{x : x \in A \text{ atau } x \in B \};
\end{equation*}
irisan \(A\) dan \(B\) didefinisikan oleh
\begin{equation*}
A \cap B = \{x : x \in A \text{ dan } x \in B \}\text{.}
\end{equation*}
Jika \(A = \{1, 3, 5\}\) dan \(B = \{ 1, 2, 3, 9 \}\text{,}\) maka
\begin{equation*}
A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 9 \} \quad \text{dan} \quad A \cap B = \{ 1, 3 \}\text{.}
\end{equation*}
Kita dapat meninjau gabungan dan irisan lebih dari dua himpunan. Dalam hal ini kita tulis
Jika dua himpunan tidak memiliki satu pun elemen yang sama, keduanya dikatakan saling lepas; sebagai contoh, jika \(E\) adalah himpunan bilangan bulat genap dan \(O\) adalah himpunan bilangan bulat ganjil, maka \(E\) dan \(O\) saling lepas. Dua himpunan \(A\) dan \(B\) saling lepas tepat ketika \(A \cap B = \emptyset\text{.}\)
Kadang-kadang kita akan bekerja di dalam satu himpunan tetap \(U\text{,}\) yang disebut himpunan semesta. Untuk setiap himpunan \(A \subset U\text{,}\) kita mendefinisikan komplemen dari \(A\text{,}\) yang dilambangkan dengan \(A'\text{,}\) sebagai himpunan
\begin{equation*}
A' = \{ x : x \in U \text{ dan } x \notin A \}\text{.}
\end{equation*}
Misalkan \({\mathbb R}\) adalah himpunan semesta dan andaikan
\begin{equation*}
A = \{ x \in {\mathbb R} : 0 \lt x \leq 3 \} \quad \text{dan} \quad B = \{ x \in {\mathbb R} : 2 \leq x \lt 4 \}\text{.}
\end{equation*}
Maka
\begin{align*}
A \cap B & = \{ x \in {\mathbb R} : 2 \leq x \leq 3 \}\\
A \cup B & = \{ x \in {\mathbb R} : 0 \lt x \lt 4 \}\\
A \setminus B & = \{ x \in {\mathbb R} : 0 \lt x \lt 2 \}\\
A' & = \{ x \in {\mathbb R} : x \leq 0 \text{ atau } x \gt 3 \}\text{.}
\end{align*}
(3) Untuk himpunan \(A\text{,}\)\(B\text{,}\) dan \(C\text{,}\)
\begin{align*}
A \cup (B \cup C) & = A \cup \{ x : x \in B \text{ atau } x \in C \}\\
& = \{ x : x \in A \text{ atau } x \in B, \text{ atau } x \in C \}\\
& = \{ x : x \in A \text{ atau } x \in B \} \cup C\\
& = (A \cup B) \cup C\text{.}
\end{align*}
Argumen serupa membuktikan bahwa \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\text{.}\)
(1) Jika \(A \cup B = \emptyset\text{,}\) teorema tersebut langsung berlaku karena \(A\) dan \(B\) keduanya merupakan himpunan kosong. Jika tidak, kita harus menunjukkan bahwa \((A \cup B)' \subset A' \cap B'\) dan \((A \cup B)' \supset A' \cap B'\text{.}\) Misalkan \(x \in (A \cup B)'\text{.}\) Maka \(x \notin A \cup B\text{.}\) Jadi \(x\) tidak berada dalam \(A\) maupun \(B\text{,}\) berdasarkan definisi gabungan himpunan. Berdasarkan definisi komplemen, \(x \in A'\) dan \(x \in B'\text{.}\) Oleh karena itu, \(x \in A' \cap B'\) dan kita peroleh \((A \cup B)' \subset A' \cap B'\text{.}\)
Untuk menunjukkan inklusi sebaliknya, andaikan \(x \in A' \cap B'\text{.}\) Maka \(x \in A'\) dan \(x \in B'\text{,}\) sehingga \(x \notin A\) dan \(x \notin B\text{.}\) Jadi \(x \notin A \cup B\) dan dengan demikian \(x \in (A \cup B)'\text{.}\) Oleh sebab itu, \((A \cup B)' \supset A' \cap B'\) sehingga \((A \cup B)' = A' \cap B'\text{.}\)
Relasi-relasi lain di antara himpunan juga sering berlaku. Sebagai contoh,
\begin{equation*}
( A \setminus B) \cap (B \setminus A) = \emptyset\text{.}
\end{equation*}
Untuk melihat bahwa hal ini benar, perhatikan bahwa
\begin{align*}
( A \setminus B) \cap (B \setminus A) & = ( A \cap B') \cap (B \cap A')\\
& = A \cap A' \cap B \cap B'\\
& = \emptyset\text{.}
\end{align*}
Diberikan himpunan \(A\) dan \(B\text{,}\) kita dapat mendefinisikan suatu himpunan baru \(A \times B\text{,}\) yang disebut hasil kali Kartesius dari \(A\) dan \(B\text{,}\) sebagai himpunan pasangan terurut. Artinya,
\begin{equation*}
A \times B = \{ (a,b) : a \in A \text{ dan } b \in B \}\text{.}
\end{equation*}
Kita mendefinisikan hasil kali Kartesius dari \(n\) himpunan sebagai
\begin{equation*}
A_1 \times \cdots \times A_n = \{ (a_1, \ldots, a_n): a_i \in A_i \text{ untuk } i = 1, \ldots, n \}\text{.}
\end{equation*}
Jika \(A = A_1 = A_2 = \cdots = A_n\text{,}\) kita sering menulis \(A^n\) untuk \(A \times \cdots \times A\) (dengan \(A\) ditulis sebanyak \(n\) kali). Sebagai contoh, himpunan \({\mathbb R}^3\) terdiri atas semua tripel bilangan real.
Himpunan bagian dari \(A \times B\) disebut relasi. Kita mendefinisikan suatu pemetaan atau fungsi \(f \subset A \times B\) dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) sebagai jenis relasi khusus, yaitu setiap elemen \(a \in A\) memiliki satu elemen tunggal \(b \in B\) sedemikian sehingga \((a, b) \in f\text{.}\) Dengan kata lain, untuk setiap elemen dalam \(A\text{,}\)\(f\) memasangkan satu elemen tunggal dalam \(B\text{.}\) Kita biasanya menulis \(f:A \rightarrow B\) atau \(A \stackrel{f}{\rightarrow} B\text{.}\) Alih-alih menuliskan pasangan terurut \((a,b) \in A \times B\text{,}\) kita menulis \(f(a) = b\) atau \(f : a \mapsto b\text{.}\) Himpunan \(A\) disebut domain dari \(f\text{,}\) dan
\begin{equation*}
f(A) = \{ f(a) : a \in A \} \subset B
\end{equation*}
disebut daerah hasil atau citra dari \(f\text{.}\) Elemen-elemen dalam domain fungsi dapat dipandang sebagai nilai masukan dan elemen-elemen dalam daerah hasil fungsi sebagai nilai keluaran.
Misalkan \(A = \{1, 2, 3 \}\) dan \(B = \{a, b, c \}\text{.}\) Dalam Gambar 1.2.7 kita mendefinisikan relasi \(f\) dan \(g\) dari \(A\) ke \(B\text{.}\) Relasi \(f\) merupakan pemetaan, tetapi \(g\) bukan pemetaan karena \(1 \in A\) tidak dipasangkan dengan satu elemen tunggal dalam \(B\text{;}\) yaitu, \(g(1) = a\) dan \(g(1) = b\text{.}\)
Diberikan suatu fungsi \(f : A \rightarrow B\text{,}\) sering kali kita dapat menulis daftar yang mendeskripsikan tindakan fungsi tersebut terhadap setiap elemen tertentu dalam domainnya. Namun, tidak semua fungsi dapat dideskripsikan dengan cara ini. Sebagai contoh, fungsi \(f: {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb R}\) yang membawa setiap bilangan real ke pangkat tiganya merupakan pemetaan yang harus dideskripsikan dengan menulis \(f(x) = x^3\) atau \(f:x \mapsto x^3\text{.}\)
Perhatikan relasi \(f : {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Z}\) yang diberikan oleh \(f(p/q) = p\text{.}\) Kita mengetahui bahwa \(1/2 = 2/4\text{,}\) tetapi apakah \(f(1/2) = 1\) atau \(2\text{?}\) Relasi ini tidak mungkin merupakan pemetaan karena tidak terdefinisi dengan baik. Suatu relasi terdefinisi dengan baik jika setiap elemen dalam domain dipasangkan dengan satu elemen tunggal dalam daerah hasil.
Jika \(f:A \rightarrow B\) merupakan pemetaan dan citra \(f\) adalah \(B\text{,}\) yaitu \(f(A) = B\text{,}\) maka \(f\) disebut pada (onto) atau surjektif. Dengan kata lain, jika kita dapat memilih suatu \(a \in A\) bagi setiap \(b \in B\) sedemikian sehingga \(f(a) = b\text{,}\) maka \(f\) surjektif. Suatu pemetaan disebut satu-ke-satu atau injektif jika \(a_1 \neq a_2\) mengakibatkan \(f(a_1) \neq f(a_2)\text{.}\) Secara ekuivalen, suatu fungsi injektif jika \(f(a_1) = f(a_2)\) mengakibatkan \(a_1 = a_2\text{.}\) Pemetaan yang sekaligus injektif dan surjektif disebut bijektif.
Misalkan \(f:{\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Q}\) didefinisikan oleh \(f(n) = n/1\text{.}\) Maka \(f\) injektif tetapi tidak surjektif. Definisikan \(g : {\mathbb Q} \rightarrow {\mathbb Z}\) dengan \(g(p/q) = p\text{,}\) dengan \(p/q\) merupakan bilangan rasional yang dinyatakan dalam bentuk paling sederhana dengan penyebut positif. Fungsi \(g\) surjektif tetapi tidak injektif.
Diberikan dua fungsi, kita dapat membentuk fungsi baru dengan menggunakan daerah hasil fungsi pertama sebagai domain fungsi kedua. Misalkan \(f : A \rightarrow B\) dan \(g : B \rightarrow C\) adalah pemetaan. Definisikan suatu pemetaan baru, yaitu komposisi \(f\) dan \(g\) dari \(A\) ke \(C\text{,}\) dengan \((g \circ f)(x) = g(f(x))\text{.}\)
Perhatikan fungsi \(f: A \rightarrow B\) dan \(g: B \rightarrow C\) yang didefinisikan dalam Gambar 1.2.9 (bagian atas). Komposisi fungsi-fungsi ini, \(g \circ f: A \rightarrow C\text{,}\) didefinisikan dalam Gambar 1.2.9 (bagian bawah).
untuk \((x,y)\) dalam \({\mathbb R}^2\text{.}\) Ini sesungguhnya merupakan perkalian matriks; yaitu,
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ax + by \\
cx +dy
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Pemetaan dari \({\mathbb R}^n\) ke \({\mathbb R}^m\) yang diberikan oleh matriks disebut pemetaan linear atau transformasi linear.
(3) Asumsikan bahwa \(f\) dan \(g\) keduanya merupakan fungsi surjektif. Diberikan \(c \in C\text{,}\) kita harus menunjukkan bahwa terdapat \(a \in A\) sedemikian sehingga \((g \circ f)(a) = g(f(a)) = c\text{.}\) Karena \(g\) surjektif, terdapat elemen \(b \in B\) sedemikian sehingga \(g(b) = c\text{.}\) Demikian pula, terdapat \(a \in A\) sedemikian sehingga \(f(a) = b\text{.}\) Dengan demikian,
Jika \(S\) adalah sembarang himpunan, kita akan menggunakan \(\identity_S\) atau \(\identity\) untuk menyatakan pemetaan identitas dari \(S\) ke dirinya sendiri. Definisikan pemetaan ini dengan \(\identity(s) = s\) untuk semua \(s \in S\text{.}\) Suatu pemetaan \(g: B \rightarrow A\) merupakan pemetaan invers dari \(f: A \rightarrow B\) jika \(g \circ f = \identity_A\) dan \(f \circ g = \identity_B\text{;}\) dengan kata lain, fungsi invers dari suatu fungsi sekadar “membatalkan” kerja fungsi tersebut. Suatu pemetaan disebut dapat dibalik jika memiliki invers. Kita biasanya menulis \(f^{-1}\) untuk invers dari \(f\text{.}\)
Fungsi logaritma natural dan fungsi eksponensial, \(f(x) = \ln x\) dan \(f^{-1}(x) = e^x\text{,}\) saling invers asalkan kita cermat dalam memilih domain. Perhatikan bahwa
\begin{equation*}
f(f^{-1}(x)) = f(e^x) = \ln e^x = x
\end{equation*}
Kita dapat menemukan pemetaan invers dari \(T_A\) hanya dengan membalik matriks \(A\text{;}\) yaitu, \(T_A^{-1} = T_{A^{-1}}\text{.}\) Dalam contoh ini,
Pertama-tama, andaikan \(f:A \rightarrow B\) dapat dibalik dengan invers \(g: B \rightarrow A\text{.}\) Maka \(g \circ f = \identity_A\) merupakan pemetaan identitas; yaitu, \(g(f(a)) = a\text{.}\) Jika \(a_1, a_2 \in A\) dengan \(f(a_1) = f(a_2)\text{,}\) maka \(a_1 = g(f(a_1)) = g(f(a_2)) = a_2\text{.}\) Akibatnya, \(f\) injektif. Sekarang andaikan \(b \in B\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(f\) surjektif, kita perlu menemukan \(a \in A\) sedemikian sehingga \(f(a) = b\text{,}\) tetapi \(f(g(b)) = b\) dengan \(g(b) \in A\text{.}\) Ambil \(a = g(b)\text{.}\)
Sebaliknya, misalkan \(f\) bijektif dan \(b \in B\text{.}\) Karena \(f\) surjektif, terdapat \(a \in A\) sedemikian sehingga \(f(a) = b\text{.}\) Karena \(f\) injektif, \(a\) harus tunggal. Definisikan \(g\) dengan menetapkan \(g(b) = a\text{.}\) Dengan demikian kita telah membentuk invers dari \(f\text{.}\)
Salah satu gagasan mendasar dalam matematika adalah kesamaan. Kita dapat memperumum kesamaan dengan relasi ekuivalensi dan kelas ekuivalensi. Suatu relasi ekuivalensi pada himpunan \(X\) adalah relasi \(R \subset X \times X\) sedemikian sehingga
\((x, x) \in R\) untuk semua \(x \in X\) (sifat refleksif);
Diberikan suatu relasi ekuivalensi \(R\) pada himpunan \(X\text{,}\) kita biasanya menulis \(x \sim y\) sebagai pengganti \((x, y) \in R\text{.}\) Jika relasi ekuivalensi tersebut telah memiliki notasi terkait seperti \(=\text{,}\)\(\equiv\text{,}\) atau \(\cong\text{,}\) kita akan menggunakan notasi tersebut.
Misalkan \(p\text{,}\)\(q\text{,}\)\(r\text{,}\) dan \(s\) adalah bilangan bulat, dengan \(q\) dan \(s\) taknol. Definisikan \(p/q \sim r/s\) jika \(ps = qr\text{.}\) Jelas bahwa \(\sim\) bersifat refleksif dan simetris. Untuk menunjukkan bahwa relasi ini juga transitif, andaikan \(p/q \sim r/s\) dan \(r/s \sim t/u\text{,}\) dengan \(q\text{,}\)\(s\text{,}\) dan \(u\) semuanya taknol. Maka \(ps = qr\) dan \(ru = st\text{.}\) Oleh karena itu,
Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi yang terdiferensialkan pada \({\mathbb R}\text{.}\) Kita dapat mendefinisikan relasi ekuivalensi pada fungsi-fungsi semacam itu dengan menetapkan \(f(x) \sim g(x)\) jika \(f'(x) = g'(x)\text{.}\) Jelas bahwa \(\sim\) bersifat refleksif sekaligus simetris. Untuk menunjukkan transitivitas, andaikan \(f(x) \sim g(x)\) dan \(g(x) \sim h(x)\text{.}\) Dari kalkulus kita mengetahui bahwa \(f(x) - g(x) = c_1\) dan \(g(x)- h(x) = c_2\text{,}\) dengan \(c_1\) dan \(c_2\) keduanya merupakan konstanta. Jadi,
Untuk \((x_1, y_1 )\) dan \((x_2, y_2)\) dalam \({\mathbb R}^2\text{,}\) definisikan \((x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)\) jika \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\text{.}\) Maka \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi pada \({\mathbb R}^2\text{.}\)
Misalkan \(A\) dan \(B\) adalah matriks \(2 \times 2\) dengan entri bilangan real. Kita dapat mendefinisikan relasi ekuivalensi pada himpunan matriks \(2 \times 2\text{,}\) dengan menyatakan \(A \sim B\) jika terdapat matriks \(P\) yang dapat dibalik sedemikian sehingga \(PAP^{-1} = B\text{.}\) Sebagai contoh, jika
Maka \(IAI^{-1} = IAI = A\text{;}\) oleh karena itu, relasi tersebut refleksif. Untuk menunjukkan simetri, andaikan \(A \sim B\text{.}\) Maka terdapat matriks \(P\) yang dapat dibalik sedemikian sehingga \(PAP^{-1} = B\text{.}\) Jadi
\begin{equation*}
A = P^{-1} B P = P^{-1} B (P^{-1})^{-1}\text{.}
\end{equation*}
Terakhir, andaikan \(A \sim B\) dan \(B \sim C\text{.}\) Maka terdapat matriks \(P\) dan \(Q\) yang dapat dibalik sedemikian sehingga \(PAP^{-1} = B\) dan \(QBQ^{-1} = C\text{.}\) Karena
\begin{equation*}
C = QBQ^{-1} = QPAP^{-1} Q^{-1} = (QP)A(QP)^{-1}\text{,}
\end{equation*}
relasi tersebut transitif. Dua matriks yang ekuivalen dengan cara ini disebut serupa.
Suatu partisi \({\mathcal P}\) dari himpunan \(X\) adalah koleksi himpunan takkosong \(X_1, X_2, \ldots\) sedemikian sehingga \(X_i \cap X_j = \emptyset\) untuk \(i \neq j\) dan \(\bigcup_k X_k = X\text{.}\) Misalkan \(\sim\) adalah relasi ekuivalensi pada himpunan \(X\) dan \(x \in X\text{.}\) Maka \([x] = \{ y \in X : y \sim x \}\) disebut kelas ekuivalensi dari \(x\text{.}\) Kita akan melihat bahwa suatu relasi ekuivalensi menghasilkan partisi melalui kelas-kelas ekuivalensi. Selain itu, bilamana terdapat partisi suatu himpunan, ada suatu relasi ekuivalensi alami yang mendasarinya, seperti ditunjukkan oleh teorema berikut.
Diberikan suatu relasi ekuivalensi \(\sim\) pada himpunan \(X\text{,}\) kelas-kelas ekuivalensi dari \(X\) membentuk partisi dari \(X\text{.}\) Sebaliknya, jika \({\mathcal P} = \{ X_i\}\) merupakan partisi dari himpunan \(X\text{,}\) maka terdapat relasi ekuivalensi pada \(X\) dengan kelas-kelas ekuivalensi \(X_i\text{.}\)
Andaikan terdapat relasi ekuivalensi \(\sim\) pada himpunan \(X\text{.}\) Untuk setiap \(x \in X\text{,}\) sifat refleksif menunjukkan bahwa \(x \in [x]\text{,}\) sehingga \([x]\) takkosong. Jelas bahwa \(X = \bigcup_{x \in X} [x]\text{.}\) Sekarang, misalkan \(x, y \in X\text{.}\) Kita perlu menunjukkan bahwa \([x] = [y]\) atau \([x] \cap [y] = \emptyset\text{.}\) Andaikan irisan \([x]\) dan \([y]\) tidak kosong serta \(z \in [x] \cap [y]\text{.}\) Maka \(z \sim x\) dan \(z \sim y\text{.}\) Berdasarkan simetri dan transitivitas, \(x \sim y\text{;}\) sehingga \([x] \subset [y]\text{.}\) Demikian pula, \([y] \subset [x]\) sehingga \([x] = [y]\text{.}\) Oleh karena itu, setiap dua kelas ekuivalensi saling lepas atau tepat sama.
Sebaliknya, andaikan \({\mathcal P} = \{X_i\}\) merupakan partisi dari himpunan \(X\text{.}\) Nyatakan dua elemen ekuivalen jika keduanya berada dalam partisi yang sama. Jelas bahwa relasi tersebut refleksif. Jika \(x\) berada dalam partisi yang sama dengan \(y\text{,}\) maka \(y\) berada dalam partisi yang sama dengan \(x\text{,}\) sehingga \(x \sim y\) mengakibatkan \(y \sim x\text{.}\) Terakhir, jika \(x\) berada dalam partisi yang sama dengan \(y\) dan \(y\) berada dalam partisi yang sama dengan \(z\text{,}\) maka \(x\) harus berada dalam partisi yang sama dengan \(z\text{,}\) sehingga transitivitas berlaku.
Dalam relasi ekuivalensi pada Contoh 1.2.21, dua pasangan bilangan bulat, \((p,q)\) dan \((r,s)\text{,}\) berada dalam kelas ekuivalensi yang sama apabila keduanya disederhanakan menjadi pecahan yang sama dalam bentuk paling sederhana.
Dalam relasi ekuivalensi pada Contoh 1.2.22, dua fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\) berada dalam partisi yang sama apabila selisih keduanya merupakan konstanta.
Kita mendefinisikan kelas ekuivalensi pada \({\mathbb R}^2\) dengan \((x_1, y_1 ) \sim (x_2, y_2)\) jika \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2\text{.}\) Dua pasangan bilangan real berada dalam partisi yang sama apabila keduanya terletak pada lingkaran yang sama berpusat di titik asal.
Misalkan \(r\) dan \(s\) adalah dua bilangan bulat dan andaikan \(n \in {\mathbb N}\text{.}\) Kita katakan bahwa \(r\) kongruen dengan \(s\) modulo \(n\text{,}\) atau \(r\) kongruen dengan \(s\) mod \(n\text{,}\) jika \(r - s\) habis dibagi \(n\text{;}\) yaitu, \(r - s = nk\) untuk suatu \(k \in {\mathbb Z}\text{.}\) Dalam hal ini kita tulis \(r \equiv s \pmod{n}\text{.}\) Sebagai contoh, \(41 \equiv 17 \pmod{ 8}\) karena \(41 - 17=24\) habis dibagi \(8\text{.}\) Kita menyatakan bahwa kongruensi modulo \(n\) membentuk relasi ekuivalensi pada \({\mathbb Z}\text{.}\) Tentu saja setiap bilangan bulat \(r\) ekuivalen dengan dirinya sendiri karena \(r - r = 0\) habis dibagi \(n\text{.}\) Sekarang kita akan menunjukkan bahwa relasi tersebut simetris. Jika \(r \equiv s \pmod{ n}\text{,}\) maka \(r - s = -(s -r)\) habis dibagi \(n\text{.}\) Jadi \(s - r\) habis dibagi \(n\) dan \(s \equiv r \pmod{ n}\text{.}\) Sekarang andaikan \(r \equiv s \pmod{ n}\) dan \(s \equiv t \pmod{ n}\text{.}\) Maka terdapat bilangan bulat \(k\) dan \(l\) sedemikian sehingga \(r -s = kn\) dan \(s - t = ln\text{.}\) Untuk menunjukkan transitivitas, kita perlu membuktikan bahwa \(r - t\) habis dibagi \(n\text{.}\) Namun,
\begin{equation*}
r - t = r - s + s - t = kn + ln = (k + l)n\text{,}
\end{equation*}
Perhatikan bahwa \([0] \cup [1] \cup [2] = {\mathbb Z}\) dan bahwa himpunan-himpunan tersebut saling lepas. Himpunan \([0]\text{,}\)\([1]\text{,}\) dan \([2]\) membentuk partisi bilangan bulat.
Bilangan bulat modulo \(n\) merupakan contoh yang sangat penting dalam kajian aljabar abstrak dan akan sangat berguna dalam penyelidikan kita terhadap berbagai struktur aljabar seperti grup dan gelanggang. Dalam pembahasan bilangan bulat modulo \(n\text{,}\) sebenarnya kita telah mengasumsikan suatu hasil yang dikenal sebagai algoritma pembagian, yang akan dinyatakan dan dibuktikan dalam Bab 2.
