Latihan 20.5 Latihan

1.

Jika \(F\) adalah lapangan, tunjukkan bahwa \(F[x]\) merupakan ruang vektor atas \(F\text{,}\) dengan vektor-vektor dalam \(F[x]\) berupa polinomial. Penjumlahan vektor adalah penjumlahan polinomial, dan perkalian skalar didefinisikan oleh \(\alpha p(x)\) untuk \(\alpha \in F\text{.}\)

2.

Buktikan bahwa \({\mathbb Q }( \sqrt{2}\, )\) merupakan ruang vektor.

3.

Misalkan \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) adalah lapangan yang dibangkitkan oleh elemen-elemen berbentuk \(a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6}\text{,}\) dengan \(a, b, c, d\) berada dalam \({\mathbb Q}\text{.}\) Buktikan bahwa \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) merupakan ruang vektor berdimensi \(4\) atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Temukan basis bagi \({\mathbb Q }( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\text{.}\)

Petunjuk.

\({\mathbb Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}\, )\) memiliki basis \(\{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\, \}\) atas \({\mathbb Q}\text{.}\)

4.

Buktikan bahwa bilangan kompleks merupakan ruang vektor berdimensi \(2\) atas \({\mathbb R}\text{.}\)

5.

Buktikan bahwa himpunan \(P_n\) yang terdiri atas semua polinomial berderajat kurang dari \(n\) membentuk subruang dari ruang vektor \(F[x]\text{.}\) Temukan basis bagi \(P_n\) dan hitung dimensi \(P_n\text{.}\)

Petunjuk.

Himpunan \(\{ 1, x, x^2, \ldots, x^{n-1} \}\) merupakan basis bagi \(P_n\text{.}\)

6.

Misalkan \(F\) adalah lapangan dan nyatakan himpunan tupel-\(n\) atas \(F\) dengan \(F^n\text{.}\) Diberikan vektor \(u = (u_1, \ldots, u_n)\) dan \(v = (v_1, \ldots, v_n)\) dalam \(F^n\) dan \(\alpha\) dalam \(F\text{,}\) definisikan penjumlahan vektor dengan

\begin{equation*} u + v = (u_1, \ldots, u_n) + (v_1, \ldots, v_n) = (u_1 + v_1, \ldots, u_n + v_n) \end{equation*}

dan perkalian skalar dengan

\begin{equation*} \alpha u = \alpha(u_1, \ldots, u_n)= (\alpha u_1, \ldots, \alpha u_n)\text{.} \end{equation*}

Buktikan bahwa \(F^n\) merupakan ruang vektor berdimensi \(n\) terhadap operasi-operasi tersebut.

7.

Manakah di antara himpunan berikut yang merupakan subruang dari \({\mathbb R}^3\text{?}\) Jika himpunan tersebut memang merupakan subruang, temukan basis bagi subruang itu dan hitung dimensinya.

\(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2 + x_3 = 0 \}\)
\(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 + 4 x_3 = 0, 2 x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}\)
\(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : x_1 - 2 x_2 + 2 x_3 = 2 \}\)
\(\displaystyle \{ (x_1, x_2, x_3) : 3 x_1 - 2 x_2^2 = 0 \}\)

Petunjuk.

(a) Subruang berdimensi \(2\) dengan basis \(\{(1, 0, -3), (0, 1, 2) \}\text{;}\) (d) bukan subruang

8.

Tunjukkan bahwa himpunan semua solusi yang mungkin \((x, y, z) \in {\mathbb R}^3\) dari persamaan

\begin{align*} Ax + B y + C z & = 0\\ D x + E y + C z & = 0 \end{align*}

membentuk subruang dari \({\mathbb R}^3\text{.}\)

9.

Misalkan \(W\) adalah himpunan bagian fungsi kontinu pada \([0, 1]\) sedemikian sehingga \(f(0) = 0\text{.}\) Buktikan bahwa \(W\) merupakan subruang dari \(C[0, 1]\text{.}\)

10.

Misalkan \(V\) adalah ruang vektor atas \(F\text{.}\) Buktikan bahwa \(-(\alpha v) = (-\alpha)v = \alpha(-v)\) untuk setiap \(\alpha \in F\) dan setiap \(v \in V\text{.}\)

Petunjuk.

Karena \(0 = \alpha 0 = \alpha(-v + v) = \alpha(-v) + \alpha v\text{,}\) diperoleh \(- \alpha v = \alpha(-v)\text{.}\)

11.

Misalkan \(V\) adalah ruang vektor berdimensi \(n\text{.}\) Buktikan setiap pernyataan berikut.

Jika \(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) adalah himpunan vektor bebas linear dalam \(V\text{,}\) maka \(S\) merupakan basis bagi \(V\text{.}\)
Jika \(S = \{v_1, \ldots, v_n \}\) merentang \(V\text{,}\) maka \(S\) merupakan basis bagi \(V\text{.}\)
Jika \(S = \{v_1, \ldots, v_k \}\) adalah himpunan vektor bebas linear dalam \(V\) dengan \(k \lt n\text{,}\) maka terdapat vektor \(v_{k + 1}, \ldots, v_n\) sedemikian sehingga

\begin{equation*} \{v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_n \} \end{equation*}

merupakan basis bagi \(V\text{.}\)

12.

Buktikan bahwa setiap himpunan vektor yang memuat \({\mathbf 0}\) bergantung linear.

Petunjuk.

Misalkan \(v_0 = 0, v_1, \ldots, v_n \in V\) dan \(\alpha_0 \neq 0, \alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\text{.}\) Maka \(\alpha_0 v_0 + \cdots + \alpha_n v_n = 0\text{.}\)

13.

Misalkan \(V\) adalah ruang vektor. Tunjukkan bahwa \(\{ {\mathbf 0} \}\) merupakan subruang berdimensi nol dari \(V\text{.}\)

14.

Jika suatu ruang vektor \(V\) direntang oleh \(n\) vektor, tunjukkan bahwa setiap himpunan yang terdiri atas \(m\) vektor dalam \(V\) pasti bergantung linear untuk \(m \gt n\text{.}\)

15. Transformasi Linear.

Misalkan \(V\) dan \(W\) adalah ruang vektor atas suatu lapangan \(F\text{,}\) yang masing-masing berdimensi \(m\) dan \(n\text{.}\) Jika \(T: V \rightarrow W\) adalah pemetaan yang memenuhi

\begin{align*} T( u+ v ) & = T(u ) + T(v)\\ T( \alpha v ) & = \alpha T(v) \end{align*}

untuk setiap \(\alpha \in F\) dan setiap \(u, v \in V\text{,}\) maka \(T\) disebut transformasi linear dari \(V\) ke \(W\text{.}\)

Buktikan bahwa kernel \(T\text{,}\) \(\ker(T) = \{ v \in V : T(v) = {\mathbf 0} \}\text{,}\) merupakan subruang dari \(V\text{.}\) Kernel \(T\) kadang-kadang disebut ruang nol \(T\text{.}\)
Buktikan bahwa citra atau ruang citra \(T\text{,}\) \(R(V) = \{ w \in W : T(v) = w \text{ untuk suatu } v \in V \}\text{,}\) merupakan subruang dari \(W\text{.}\)
Tunjukkan bahwa \(T : V \rightarrow W\) injektif jika dan hanya jika \(\ker(T) = \{ \mathbf 0 \}\text{.}\)
Misalkan \(\{ v_1, \ldots, v_k \}\) adalah basis bagi ruang nol \(T\text{.}\) Kita dapat memperluas basis ini menjadi basis \(\{ v_1, \ldots, v_k, v_{k + 1}, \ldots, v_m\}\) bagi \(V\text{.}\) Mengapa? Buktikan bahwa \(\{ T(v_{k + 1}), \ldots, T(v_m) \}\) merupakan basis bagi citra \(T\text{.}\) Simpulkan bahwa citra \(T\) berdimensi \(m - k\text{.}\)
Misalkan \(\dim V = \dim W\text{.}\) Tunjukkan bahwa transformasi linear \(T : V \rightarrow W\) injektif jika dan hanya jika surjektif.

Petunjuk.

(a) Misalkan \(u, v \in \ker(T)\) dan \(\alpha \in F\text{.}\) Maka

\begin{gather*} T(u +v) = T(u) + T(v) = 0\\ T(\alpha v) = \alpha T(v) = \alpha 0 = 0\text{.} \end{gather*}

Oleh karena itu, \(u + v, \alpha v \in \ker(T)\text{,}\) dan \(\ker(T)\) merupakan subruang dari \(V\text{.}\)

(c) Pernyataan \(T(u) = T(v)\) ekuivalen dengan \(T(u-v) = T(u) - T(v) = 0\text{,}\) yang benar jika dan hanya jika \(u-v = 0\) atau \(u = v\text{.}\)

16.

Misalkan \(V\) dan \(W\) adalah ruang vektor berdimensi hingga \(n\) atas suatu lapangan \(F\text{.}\) Andaikan \(T: V \rightarrow W\) adalah isomorfisma ruang vektor. Jika \(\{ v_1, \ldots, v_n \}\) merupakan basis bagi \(V\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\{ T(v_1), \ldots, T(v_n) \}\) merupakan basis bagi \(W\text{.}\) Simpulkan bahwa setiap ruang vektor atas suatu lapangan \(F\) yang berdimensi \(n\) isomorfik dengan \(F^n\text{.}\)

17. Jumlah Langsung.

Misalkan \(U\) dan \(V\) adalah subruang dari suatu ruang vektor \(W\text{.}\) Jumlah \(U\) dan \(V\text{,}\) yang dinotasikan dengan \(U + V\text{,}\) didefinisikan sebagai himpunan semua vektor berbentuk \(u + v\text{,}\) dengan \(u \in U\) dan \(v \in V\text{.}\)

Buktikan bahwa \(U + V\) dan \(U \cap V\) merupakan subruang dari \(W\text{.}\)
Jika \(U + V = W\) dan \(U \cap V = {\mathbf 0}\text{,}\) maka \(W\) disebut jumlah langsung. Dalam hal ini, kita menuliskan \(W = U \oplus V\text{.}\) Tunjukkan bahwa setiap elemen \(w \in W\) dapat dituliskan secara tunggal sebagai \(w = u + v\text{,}\) dengan \(u \in U\) dan \(v \in V\text{.}\)
Misalkan \(U\) adalah subruang berdimensi \(k\) dari suatu ruang vektor \(W\) berdimensi \(n\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat subruang \(V\) berdimensi \(n-k\) sedemikian sehingga \(W = U \oplus V\text{.}\) Apakah subruang \(V\) tunggal?
Jika \(U\) dan \(V\) adalah subruang sebarang dari suatu ruang vektor \(W\text{,}\) tunjukkan bahwa

\begin{equation*} \dim( U + V) = \dim U + \dim V - \dim( U \cap V)\text{.} \end{equation*}

Petunjuk.

(a) Misalkan \(u, u' \in U\) dan \(v, v' \in V\text{.}\) Maka

\begin{align*} (u + v) + (u' + v') & = (u + u') + (v + v') \in U + V\\ \alpha(u + v) & = \alpha u + \alpha v \in U + V\text{.} \end{align*}

18. Ruang Dual.

Misalkan \(V\) dan \(W\) adalah ruang vektor berdimensi hingga atas suatu lapangan \(F\text{.}\)

Tunjukkan bahwa himpunan semua transformasi linear dari \(V\) ke \(W\text{,}\) yang dinotasikan dengan \(\Hom(V, W)\text{,}\) merupakan ruang vektor atas \(F\text{,}\) dengan penjumlahan vektor yang didefinisikan sebagai berikut:

\begin{align*} (S + T)(v) & = S(v) +T(v)\\ (\alpha S)(v) & = \alpha S(v)\text{,} \end{align*}

dengan \(S, T \in \Hom(V, W)\text{,}\) \(\alpha \in F\text{,}\) dan \(v \in V\text{.}\)
Misalkan \(V\) adalah ruang vektor atas \(F\text{.}\) Definisikan ruang dual dari \(V\) sebagai \(V^* = \Hom(V, F)\text{.}\) Elemen-elemen dalam ruang dual \(V\) disebut fungsional linear. Misalkan \(v_1, \ldots, v_n\) adalah basis terurut bagi \(V\text{.}\) Jika \(v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_n v_n\) adalah sebarang vektor dalam \(V\text{,}\) definisikan fungsional linear \(\phi_i : V \rightarrow F\) dengan \(\phi_i (v) = \alpha_i\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(\phi_i\) membentuk basis bagi \(V^*\text{.}\) Basis ini disebut basis dual dari \(v_1, \ldots, v_n\) (atau cukup basis dual jika konteksnya sudah jelas).
Tinjau basis \(\{ (3, 1), (2, -2) \}\) bagi \({\mathbb R}^2\text{.}\) Apakah basis dual bagi \(({\mathbb R}^2)^*\text{?}\)
Misalkan \(V\) adalah ruang vektor berdimensi \(n\) atas suatu lapangan \(F\) dan misalkan \(V^{* *}\) adalah ruang dual dari \(V^*\text{.}\) Tunjukkan bahwa setiap elemen \(v \in V\) menghasilkan suatu elemen \(\lambda_v\) dalam \(V^{**}\) dan bahwa pemetaan \(v \mapsto \lambda_v\) merupakan isomorfisma antara \(V\) dan \(V^{**}\text{.}\)

Sblm.Paling Atas Lanjut