Lewati ke konten utama

Bagian 23.1 Automorfisme Lapangan

Tugas pertama kita adalah membangun hubungan antara teori grup dan teori lapangan dengan menelaah automorfisme lapangan.

Bukti.
Jika \(\sigma\) dan \(\tau\) merupakan automorfisme dari \(F\text{,}\) maka \(\sigma \tau\) dan \(\sigma^{-1}\) juga merupakan automorfisme. Identitas tentu merupakan automorfisme; dengan demikian, himpunan semua automorfisme suatu lapangan \(F\) memang merupakan grup.

Bukti.
Kita hanya perlu menunjukkan bahwa himpunan automorfisme dari \(E\) yang menetapkan \(F\) unsur demi unsur merupakan subgrup dari grup semua automorfisme \(E\text{.}\) Misalkan \(\sigma\) dan \(\tau\) dua automorfisme dari \(E\) sedemikian sehingga \(\sigma( \alpha ) = \alpha\) dan \(\tau( \alpha ) = \alpha\) untuk semua \(\alpha \in F\text{.}\) Maka \(\sigma \tau( \alpha ) = \sigma( \alpha) = \alpha\) dan \(\sigma^{-1}( \alpha ) = \alpha\text{.}\) Karena identitas menetapkan setiap unsur dari \(E\text{,}\) himpunan automorfisme dari \(E\) yang membiarkan unsur-unsur \(F\) tetap merupakan subgrup dari seluruh grup automorfisme \(E\text{.}\)
Misalkan \(E\) suatu perluasan lapangan dari \(F\text{.}\) Grup lengkap automorfisme dari \(E\) kita nyatakan dengan \(\aut(E)\text{.}\) Kita mendefinisikan grup Galois dari \(E\) atas \(F\) sebagai grup automorfisme dari \(E\) yang menetapkan \(F\) unsur demi unsur; yaitu,
\begin{equation*} G(E/F) = \{ \sigma \in \aut(E) : \sigma(\alpha) = \alpha \text{ untuk semua } \alpha \in F \}\text{.} \end{equation*}
Jika \(f(x)\) suatu polinomial dalam \(F[x]\) dan \(E\) lapangan pemisah dari \(f(x)\) atas \(F\text{,}\) kita mendefinisikan grup Galois dari \(f(x)\) sebagai \(G(E/F)\text{.}\)

Contoh 23.1.3.

Konjugasi kompleks, yang didefinisikan oleh \(\sigma : a + bi \mapsto a - bi\text{,}\) merupakan automorfisme bilangan kompleks. Karena
\begin{equation*} \sigma(a) = \sigma(a + 0i) = a - 0i = a\text{,} \end{equation*}
automorfisme yang didefinisikan oleh konjugasi kompleks harus berada dalam \(G( {\mathbb C} / {\mathbb R} )\text{.}\)

Contoh 23.1.4.

Perhatikan lapangan-lapangan \({\mathbb Q} \subset {\mathbb Q}(\sqrt{5}\, ) \subset {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\text{.}\) Untuk \(a, b \in {\mathbb Q}( \sqrt{5}\, )\text{,}\)
\begin{equation*} \sigma( a + b \sqrt{3}\, ) = a - b \sqrt{3} \end{equation*}
merupakan automorfisme dari \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) yang membiarkan \({\mathbb Q}( \sqrt{5}\, )\) tetap. Serupa dengan itu,
\begin{equation*} \tau( a + b \sqrt{5}\, ) = a - b \sqrt{5} \end{equation*}
merupakan automorfisme dari \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) yang membiarkan \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, )\) tetap. Automorfisme \(\mu = \sigma \tau\) memindahkan \(\sqrt{3}\) maupun \(\sqrt{5}\text{.}\) Sebentar lagi akan jelas bahwa \(\{ \identity, \sigma, \tau, \mu \}\) merupakan grup Galois dari \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Tabel berikut menunjukkan bahwa grup ini isomorfik dengan \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)
\begin{equation*} \begin{array}{c|cccc} & \identity & \sigma & \tau & \mu \\ \hline \identity & \identity & \sigma & \tau & \mu \\ \sigma & \sigma & \identity & \mu & \tau \\ \tau & \tau & \mu & \identity & \sigma \\ \mu & \mu & \tau & \sigma & \identity \end{array} \end{equation*}
Kita juga dapat memandang lapangan \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) sebagai ruang vektor atas \({\mathbb Q}\) yang memiliki basis \(\{ 1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}\, \}\text{.}\) Bukan suatu kebetulan bahwa \(|G( {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) /{\mathbb Q})| = [{\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, ):{\mathbb Q})] = 4\text{.}\)

Bukti.
Misalkan
\begin{equation*} f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \end{equation*}
dan andaikan \(\alpha \in E\) merupakan akar dari \(f(x)\text{.}\) Maka untuk \(\sigma \in G(E/F)\text{,}\)
\begin{align*} 0 & = \sigma( 0 )\\ & = \sigma( f( \alpha ))\\ & = \sigma(a_0 + a_1\alpha + a_2 \alpha^2 + \cdots + a_n \alpha^n)\\ & = a_0 + a_1 \sigma(\alpha) + a_2 [\sigma(\alpha)]^2 + \cdots + a_n [\sigma(\alpha)]^n; \end{align*}
oleh karena itu, \(\sigma( \alpha )\) juga merupakan akar dari \(f(x)\text{.}\)
Misalkan \(E\) suatu perluasan aljabar dari lapangan \(F\text{.}\) Dua unsur \(\alpha, \beta \in E\) disebut konjugat atas \(F\) jika keduanya memiliki polinomial minimal yang sama. Sebagai contoh, dalam lapangan \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )\text{,}\) unsur \(\sqrt{2}\) dan \(-\sqrt{2}\) saling konjugat atas \({\mathbb Q}\) karena keduanya merupakan akar polinomial tak tereduksi \(x^2 - 2\text{.}\)
Kebalikan dari proposisi terakhir juga berlaku. Pembuktiannya langsung mengikuti Lema 21.2.4.

Bukti.
Kita akan menggunakan induksi matematika pada \([E:F]\text{.}\) Jika \([E:F] = 1\text{,}\) maka \(E = F\) dan tidak ada yang perlu dibuktikan. Jika \([E:F] \gt 1\text{,}\) misalkan \(f(x) = p(x)q(x)\text{,}\) dengan \(p(x)\) tak tereduksi dan berderajat \(d\text{.}\) Kita dapat mengasumsikan bahwa \(d \gt 1\text{;}\) jika tidak, \(f(x)\) terurai atas \(F\) dan \([E:F] = 1\text{.}\) Misalkan \(\alpha\) suatu akar dari \(p(x)\text{.}\) Jika \(\phi: F(\alpha) \to E\) sebarang homomorfisma injektif, maka \(\phi( \alpha) = \beta\) merupakan akar dari \(p(x)\text{,}\) dan \(\phi: F(\alpha) \to F(\beta)\) merupakan automorfisme lapangan. Karena \(f(x)\) tidak memiliki akar berulang, \(p(x)\) memiliki tepat \(d\) akar \(\beta \in E\text{.}\) Berdasarkan Proposisi 23.1.5, terdapat tepat \(d\) isomorfisma \(\phi: F(\alpha) \to F(\beta_i)\) yang menetapkan \(F\text{,}\) satu untuk setiap akar \(\beta_1, \ldots, \beta_d\) dari \(p(x)\) (lihat Gambar 23.1.8).
\begin{equation*} \begin{CD} E @>\psi>> E \\ @VVV @VVV\\ F(\alpha) @>\phi>> F(\beta) \\ @VVV @VVV\\ F @>\text{identitas}>> F \end{CD} \end{equation*}
Gambar 23.1.8. Diagram komutatif untuk Teorema 23.1.7
Karena \(E\) merupakan lapangan pemisah dari \(f(x)\) atas \(F\text{,}\) lapangan tersebut juga merupakan lapangan pemisah atas \(F(\alpha)\text{.}\) Serupa dengan itu, \(E\) merupakan lapangan pemisah dari \(f(x)\) atas \(F(\beta)\text{.}\) Karena \([E: F(\alpha)] = [E:F]/d\text{,}\) induksi menunjukkan bahwa setiap dari \(d\) isomorfisma \(\phi\) memiliki tepat \([E:F]/d\) perluasan, \(\psi : E \to E\text{,}\) dan kita telah menyusun \([E:F]\) isomorfisma yang menetapkan \(F\text{.}\) Akhirnya, andaikan \(\sigma\) sebarang automorfisme yang menetapkan \(F\text{.}\) Maka pembatasan \(\sigma\) pada \(F(\alpha)\) adalah \(\phi\) untuk suatu \(\phi: F(\alpha) \to F(\beta)\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(p\) karakteristik dari \(E\) dan \(F\text{,}\) serta andaikan orde \(E\) dan \(F\) masing-masing adalah \(p^m\) dan \(p^n\text{.}\) Maka \(nk = m\text{.}\) Kita juga dapat mengasumsikan bahwa \(E\) merupakan lapangan pemisah dari \(x^{p^m} - x\) atas suatu sublapangan berorde \(p\text{.}\) Oleh karena itu, \(E\) juga harus merupakan lapangan pemisah dari \(x^{p^m} - x\) atas \(F\text{.}\) Dengan menerapkan Teorema 23.1.7, kita memperoleh \(|G(E/F)| = k\text{.}\)
Untuk membuktikan bahwa \(G(E/F)\) bersifat siklik, kita harus mencari pembangkit untuk \(G(E/F)\text{.}\) Definisikan \(\sigma : E \rightarrow E\) dengan \(\sigma(\alpha) = \alpha^{p^n}\text{.}\) Kita mengklaim bahwa \(\sigma\) merupakan unsur dalam \(G(E/F)\) yang kita cari. Pertama-tama kita perlu menunjukkan bahwa \(\sigma\) berada dalam \(\aut(E)\text{.}\) Jika \(\alpha\) dan \(\beta\) berada dalam \(E\text{,}\)
\begin{equation*} \sigma(\alpha + \beta) = (\alpha + \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta) \end{equation*}
berdasarkan Lema 22.1.3. Selain itu, mudah untuk menunjukkan bahwa \(\sigma(\alpha \beta) = \sigma( \alpha ) \sigma( \beta )\text{.}\) Karena \(\sigma\) merupakan homomorfisma lapangan yang tak nol, Pemetaan tersebut harus injektif. Pemetaan ini juga harus surjektif karena \(E\) merupakan lapangan hingga. Kita mengetahui bahwa \(\sigma\) harus berada dalam \(G(E/F)\text{,}\) karena \(F\) merupakan lapangan pemisah dari \(x^{p^n} - x\) atas lapangan dasar berorde \(p\text{.}\) Ini berarti bahwa \(\sigma\) membiarkan setiap unsur dalam \(F\) tetap. Akhirnya, kita harus menunjukkan bahwa orde \(\sigma\) adalah \(k\text{.}\) Berdasarkan Teorema 23.1.7, kita mengetahui bahwa
\begin{equation*} \sigma^k( \alpha ) = \alpha^{p^{nk}} = \alpha^{p^m} = \alpha \end{equation*}
merupakan identitas dari \(G( E/F)\text{.}\) Akan tetapi, \(\sigma^r\) tidak dapat menjadi identitas untuk \(1 \leq r \lt k\text{;}\) jika demikian, \(x^{p^{nr}} - x\) akan memiliki \(p^m\) akar, yang mustahil.

Contoh 23.1.10.

Sekarang kita dapat memastikan bahwa grup Galois dari \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) atas \({\mathbb Q}\) dalam Contoh 23.1.4 memang isomorfik dengan \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\) Jelas bahwa grup \(H = \{ \identity, \sigma, \tau, \mu \}\) merupakan subgrup dari \(G({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/{\mathbb Q})\text{;}\) namun, \(H\) harus merupakan seluruh \(G({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/{\mathbb Q})\text{,}\) karena
\begin{equation*} |H| = [{\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ):{\mathbb Q}] = |G({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )/{\mathbb Q})| = 4\text{.} \end{equation*}

Contoh 23.1.11.

Mari kita hitung grup Galois dari
\begin{equation*} f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \end{equation*}
atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Kita mengetahui bahwa \(f(x)\) tak tereduksi berdasarkan Latihan 17.5.20. Selanjutnya, karena \((x -1)f(x) = x^5 - 1\text{,}\) kita dapat menggunakan Teorema De Moivre untuk menentukan bahwa akar-akar \(f(x)\) adalah \(\omega^i\text{,}\) dengan \(i = 1, \ldots, 4\) dan
\begin{equation*} \omega = \cos(2 \pi / 5 ) + i \sin(2 \pi / 5 )\text{.} \end{equation*}
Oleh karena itu, lapangan pemisah dari \(f(x)\) haruslah \({\mathbb Q}(\omega)\text{.}\) Kita dapat mendefinisikan automorfisme \(\sigma_i\) dari \({\mathbb Q}(\omega )\) melalui \(\sigma_i( \omega ) = \omega^i\) untuk \(i = 1, \ldots, 4\text{.}\) Mudah untuk memeriksa bahwa pemetaan-pemetaan ini memang merupakan automorfisme berbeda dalam \(G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q} )\text{.}\) Karena
\begin{equation*} [{\mathbb Q}( \omega) : {\mathbb Q}] = | G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q})| = 4\text{,} \end{equation*}
automorfisme-automorfisme \(\sigma_i\) tersebut harus mencakup semua unsur \(G( {\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q} )\text{.}\) Oleh karena itu, \(G({\mathbb Q}( \omega) / {\mathbb Q})\cong {\mathbb Z}_4\) karena \(\omega\) merupakan pembangkit grup Galois.

Subbagian 23.1.1 Perluasan Separabel

Banyak hasil yang baru saja kita buktikan bergantung pada fakta bahwa polinomial \(f(x)\) dalam \(F[x]\) tidak memiliki akar berulang dalam lapangan pemisahnya. Jelas bahwa kita perlu mengetahui dengan tepat kapan suatu polinomial terfaktorkan menjadi faktor-faktor linear yang berbeda dalam lapangan pemisahnya. Misalkan \(E\) adalah lapangan pemisah dari suatu polinomial \(f(x)\) dalam \(F[x]\text{.}\) Andaikan \(f(x)\) terfaktorkan atas \(E\) sebagai
\begin{equation*} f(x) = (x - \alpha_1)^{n_1} (x - \alpha_2)^{n_2} \cdots (x - \alpha_r)^{n_r} = \prod_{i = 1}^{r} (x - \alpha_i)^{n_i}\text{.} \end{equation*}
Kita mendefinisikan multiplisitas suatu akar \(\alpha_i\) dari \(f(x)\) sebagai \(n_i\text{.}\) Akar bermultiplisitas 1 disebut akar sederhana. Ingat bahwa polinomial \(f(x) \in F[x]\) berderajat \(n\) disebut separabel jika memiliki \(n\) akar yang berbeda dalam lapangan pemisahnya \(E\text{.}\) Secara ekuivalen, \(f(x)\) separabel jika terfaktorkan menjadi faktor-faktor linear yang berbeda atas \(E[x]\text{.}\) Suatu perluasan \(E\) dari \(F\) disebut perluasan separabel dari \(F\) jika setiap elemen dalam \(E\) merupakan akar suatu polinomial separabel dalam \(F[x]\text{.}\) Ingat pula bahwa \(f(x)\) separabel jika dan hanya jika \(\gcd( f(x), f'(x)) = 1\) (Lema 22.1.5).

Bukti.
Pertama, andaikan \(\chr F = 0\text{.}\) Karena \(\deg f'(x) \lt \deg f(x)\) dan \(f(x)\) taktereduksi, satu-satunya cara agar \(\gcd( f(x), f'(x)) \neq 1\) adalah jika \(f'(x)\) merupakan polinomial nol; tetapi hal ini mustahil dalam lapangan berkarakteristik nol. Jika \(\chr F = p\text{,}\) maka \(f'(x)\) dapat menjadi polinomial nol jika setiap koefisien \(f'(x)\) merupakan kelipatan \(p\text{.}\) Hal ini hanya dapat terjadi jika kita memiliki polinomial berbentuk \(f(x) = a_0 + a_1 x^p + a_2 x^{2p} + \cdots + a_n x^{np}\text{.}\)
Perluasan suatu lapangan \(F\) yang berbentuk \(F(\alpha)\) tentu termasuk perluasan yang paling mudah dipelajari dan dipahami. Diberikan suatu perluasan lapangan \(E\) dari \(F\text{,}\) pertanyaan yang wajar adalah kapan kita dapat menemukan elemen \(\alpha \in E\) sedemikian sehingga \(E = F( \alpha )\text{.}\) Dalam hal ini, \(\alpha\) disebut elemen primitif. Kita telah mengetahui bahwa elemen primitif ada untuk perluasan tertentu. Sebagai contoh,
\begin{equation*} {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) = {\mathbb Q}( \sqrt{3} + \sqrt{5}\, ) \end{equation*}
dan
\begin{equation*} {\mathbb Q}( \sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\, i ) = {\mathbb Q}( \sqrt[6]{5}\, i )\text{.} \end{equation*}
Korolari 22.1.12 menyatakan bahwa terdapat elemen primitif bagi setiap perluasan hingga dari suatu lapangan hingga. Teorema berikut menyatakan bahwa kita sering kali dapat menemukan elemen primitif.

Bukti.
Kita telah mengetahui bahwa tidak ada masalah jika \(F\) merupakan lapangan hingga. Andaikan \(E\) adalah perluasan hingga dari suatu lapangan tak hingga. Kita akan membuktikan hasil tersebut untuk \(F(\alpha, \beta)\text{.}\) Kasus umum mudah diperoleh dengan menggunakan induksi matematika. Misalkan \(f(x)\) dan \(g(x)\) masing-masing adalah polinomial minimal dari \(\alpha\) dan \(\beta\text{.}\) Misalkan \(K\) adalah lapangan tempat \(f(x)\) maupun \(g(x)\) terpisah. Andaikan \(f(x)\) memiliki akar \(\alpha = \alpha_1, \ldots, \alpha_n\) dalam \(K\) dan \(g(x)\) memiliki akar \(\beta = \beta_1, \ldots, \beta_m\) dalam \(K\text{.}\) Semua akar ini bermultiplisitas \(1\text{,}\) karena \(E\) separabel atas \(F\text{.}\) Karena \(F\) tak hingga, kita dapat menemukan \(a\) dalam \(F\) sedemikian sehingga
\begin{equation*} a \neq \frac{\alpha_i - \alpha}{\beta - \beta_j} \end{equation*}
untuk setiap \(i\) dan \(j\) dengan \(j \neq 1\text{.}\) Oleh karena itu, \(a( \beta - \beta_j ) \neq \alpha_i - \alpha\text{.}\) Misalkan \(\gamma = \alpha + a \beta\text{.}\) Maka
\begin{equation*} \gamma = \alpha + a \beta \neq \alpha_i + a \beta_j; \end{equation*}
sehingga \(\gamma - a \beta_j \neq \alpha_i\) untuk semua \(i, j\) dengan \(j \neq 1\text{.}\) Definisikan \(h(x) \in F( \gamma )[x]\) dengan \(h(x) = f( \gamma - ax)\text{.}\) Maka \(h( \beta ) = f( \alpha ) = 0\text{.}\) Namun, \(h( \beta_j ) \neq 0\) untuk \(j \neq 1\text{.}\) Jadi, \(h(x)\) dan \(g(x)\) memiliki tepat satu faktor bersama dalam \(F( \gamma )[x]\text{;}\) yaitu, polinomial minimal \(\beta\) atas \(F( \gamma )\) harus linear, karena \(\beta\) adalah satu-satunya akar yang sama-sama dimiliki \(g(x)\) dan \(h(x)\text{.}\) Jadi, \(\beta \in F( \gamma )\) dan \(\alpha = \gamma - a \beta\) berada dalam \(F( \gamma )\text{.}\) Oleh karena itu, \(F( \alpha, \beta ) = F( \gamma )\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut