Lewati ke konten utama

Latihan 15.4 Latihan

1.

Tentukan orde semua subgrup Sylow-\(p\) ketika \(G\) berorde \(18\text{,}\) \(24\text{,}\) \(54\text{,}\) \(72\text{,}\) dan \(80\text{?}\)
Petunjuk.
Jika \(|G| = 18 = 2 \cdot 3^2\text{,}\) maka orde subgrup Sylow-\(2\) adalah \(2\text{,}\) dan orde subgrup Sylow-\(3\) adalah \(9\text{.}\)

2.

Tentukan semua subgrup Sylow-\(3\) dari \(S_4\) dan tunjukkan bahwa semuanya saling konjugat.
Petunjuk.
Keempat subgrup Sylow-\(3\) dari \(S_4\) adalah \(P_1 = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\text{,}\) \(P_2 = \{ (1), (1 \, 2 \, 4), (1 \, 4 \, 2) \}\text{,}\) \(P_3 = \{ (1), (1 \, 3 \, 4), (1 \, 4 \, 3) \}\text{,}\) \(P_4 = \{ (1), (2 \, 3 \, 4), (2 \, 4 \, 3) \}\text{.}\)

3.

Tunjukkan bahwa setiap grup berorde \(45\) memiliki subgrup normal berorde \(9\text{.}\)

4.

Misalkan \(H\) subgrup Sylow-\(p\) dari \(G\text{.}\) Buktikan bahwa \(H\) adalah satu-satunya subgrup Sylow-\(p\) dari \(G\) yang termuat dalam \(N(H)\text{.}\)

5.

Buktikan bahwa tidak ada grup berorde \(96\) yang sederhana.
Petunjuk.
Karena \(|G| = 96 = 2^5 \cdot 3\text{,}\) menurut Teorema Sylow Ketiga, \(G\) memiliki satu atau tiga subgrup Sylow-\(2\text{.}\) Jika hanya ada satu subgrup, pembuktian selesai. Jika terdapat tiga subgrup Sylow-\(2\text{,}\) misalkan \(H\) dan \(K\) dua di antaranya. Maka \(|H \cap K| \geq 16\text{;}\) jika tidak, \(HK\) akan memiliki \((32 \cdot 32)/8 = 128\) elemen, yang mustahil. Jadi, \(H \cap K\) normal di \(H\) maupun \(K\) karena berindeks \(2\) dalam kedua grup.

6.

Buktikan bahwa tidak ada grup berorde \(160\) yang sederhana.

7.

Jika \(H\) subgrup normal dari grup hingga \(G\) dan \(|H| = p^k\) untuk suatu bilangan prima \(p\text{,}\) tunjukkan bahwa \(H\) termuat dalam setiap subgrup Sylow-\(p\) dari \(G\text{.}\)

8.

Misalkan \(G\) grup berorde \(p^2 q^2\text{,}\) dengan \(p\) dan \(q\) bilangan prima berbeda sedemikian sehingga \(q \nmid p^2 - 1\) dan \(p \nmid q^2 - 1\text{.}\) Buktikan bahwa \(G\) harus abelian. Tentukan sepasang bilangan prima yang memenuhi kondisi ini.
Petunjuk.
Tunjukkan bahwa \(G\) memiliki subgrup Sylow-\(p\) normal berorde \(p^2\) dan subgrup Sylow-\(q\) normal berorde \(q^2\text{.}\)

9.

Tunjukkan bahwa grup berorde \(33\) hanya memiliki satu subgrup Sylow-\(3\text{.}\)

10.

Misalkan \(H\) subgrup dari grup \(G\text{.}\) Buktikan atau sangkal bahwa penormal \(H\) normal di \(G\text{.}\)
Petunjuk.
Salah.

11.

Misalkan \(G\) grup hingga yang ordenya habis dibagi bilangan prima \(p\text{.}\) Buktikan bahwa jika hanya ada satu subgrup Sylow-\(p\) di \(G\text{,}\) subgrup tersebut harus normal di \(G\text{.}\)

12.

Misalkan \(G\) grup berorde \(p^r\text{,}\) dengan \(p\) prima. Buktikan bahwa \(G\) memuat subgrup normal berorde \(p^{r-1}\text{.}\)

13.

Andaikan \(G\) grup hingga berorde \(p^n k\text{,}\) dengan \(k \lt p\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(G\) harus memuat subgrup normal nontrivial sejati.

14.

Misalkan \(H\) subgrup dari grup hingga \(G\text{.}\) Buktikan bahwa \(g N(H) g^{-1} = N(gHg^{-1})\) untuk setiap \(g \in G\text{.}\)

15.

Buktikan bahwa grup berorde \(108\) harus memiliki subgrup normal nontrivial sejati.

16.

Klasifikasikan semua grup berorde \(175\) hingga isomorfisma.

17.

Tunjukkan bahwa setiap grup berorde \(255\) bersifat siklik.
Petunjuk.
Jika \(G\) abelian, maka \(G\) siklik, karena \(|G| = 3 \cdot 5 \cdot 17\text{.}\) Sekarang perhatikan Contoh 15.2.6.

18.

Misalkan \(G\) berorde \(p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}\) dan andaikan \(G\) memiliki \(n\) subgrup Sylow-\(p\) \(P_1, \ldots, P_n\) dengan \(|P_i| = p_i^{e_i}\text{.}\) Buktikan bahwa \(G\) isomorfik dengan \(P_1 \times \cdots \times P_n\text{.}\)

19.

Misalkan \(P\) subgrup Sylow-\(p\) normal dari \(G\text{.}\) Buktikan bahwa setiap automorfisme dalam dari \(G\) menetapkan \(P\text{.}\)

20.

Berapakah orde terkecil yang mungkin bagi grup \(G\) sedemikian sehingga \(G\) nonabelian dan \(|G|\) ganjil? Dapatkah Anda menemukan grup semacam itu?

21. Lema Frattini.

Jika \(H\) subgrup normal dari grup hingga \(G\) dan \(P\) subgrup Sylow-\(p\) dari \(H\text{,}\) untuk setiap \(g \in G\text{,}\) tunjukkan bahwa terdapat \(h\) dalam \(H\) sedemikian sehingga \(gPg^{-1} = hPh^{-1}\text{.}\) Tunjukkan pula bahwa jika \(N\) adalah penormal \(P\text{,}\) maka \(G= HN\text{.}\)

22.

Tunjukkan bahwa jika orde \(G\) adalah \(p^nq\text{,}\) dengan \(p\) dan \(q\) bilangan prima serta \(p>q\text{,}\) maka \(G\) memuat subgrup normal nontrivial sejati.

23.

Buktikan bahwa banyaknya konjugat berbeda dari subgrup \(H\) pada grup hingga \(G\) adalah \([G : N(H) ]\text{.}\)
Petunjuk.
Definisikan pemetaan antara koset-koset kanan dari \(N(H)\) di \(G\) dan konjugat-konjugat dari \(H\) di \(G\) melalui \(N(H) g \mapsto g^{-1} H g\text{.}\) Buktikan bahwa pemetaan ini bijektif.

24.

Buktikan bahwa subgrup Sylow-\(2\) dari \(S_5\) isomorfik dengan \(D_4\text{.}\)

25. Pembuktian Lain Teorema Sylow.

  1. Andaikan \(p\) prima dan \(p\) tidak membagi \(m\text{.}\) Tunjukkan bahwa
    \begin{equation*} p \nmid \binom{p^k m}{p^k}\text{.} \end{equation*}
  2. Misalkan \({\mathcal S}\) menyatakan himpunan semua himpunan bagian beranggotakan \(p^k\) elemen dari \(G\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(p\) tidak membagi \(|{\mathcal S}|\text{.}\)
  3. Definisikan aksi \(G\) pada \({\mathcal S}\) melalui perkalian kiri, \(aT = \{ at : t \in T \}\) untuk \(a \in G\) dan \(T \in {\mathcal S}\text{.}\) Buktikan bahwa ini merupakan aksi grup.
  4. Buktikan bahwa \(p \nmid | {\mathcal O}_T|\) untuk suatu \(T \in {\mathcal S}\text{.}\)
  5. Misalkan \(\{ T_1, \ldots, T_u \}\) suatu orbit sedemikian sehingga \(p \nmid u\) dan \(H = \{ g \in G : gT_1 = T_1 \}\text{.}\) Buktikan bahwa \(H\) merupakan subgrup dari \(G\) dan tunjukkan bahwa \(|G| = u |H|\text{.}\)
  6. Tunjukkan bahwa \(p^k\) membagi \(|H|\) dan \(p^k \leq |H|\text{.}\)
  7. Tunjukkan bahwa \(|H| = |{\mathcal O}_T| \leq p^k\text{;}\) simpulkan bahwa \(p^k = |H|\text{.}\)

26.

Misalkan \(G\) suatu grup. Buktikan bahwa \(G' = \langle a b a^{-1} b^{-1} : a, b \in G \rangle\) merupakan subgrup normal dari \(G\) dan \(G/G'\) abelian. Temukan contoh yang menunjukkan bahwa \(\{ a b a^{-1} b^{-1} : a, b \in G \}\) belum tentu merupakan grup.
Petunjuk.
Misalkan \(a G', b G' \in G/G'\text{.}\) Maka \((a G')( b G') = ab G' = ab(b^{-1}a^{-1}ba) G' = (abb^{-1}a^{-1})ba G' = ba G'\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut