Lewati ke konten utama

Bagian 20.3 Kebebasan Linear

Misalkan \(S = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\) adalah himpunan vektor dalam suatu ruang vektor \(V\text{.}\) Jika terdapat skalar \(\alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \in F\) sedemikian sehingga \(\alpha_i\) tidak semuanya nol dan
\begin{equation*} \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 }\text{,} \end{equation*}
maka \(S\) dikatakan bergantung linear. Jika himpunan \(S\) tidak bergantung linear, himpunan tersebut dikatakan bebas linear. Secara lebih khusus, \(S\) merupakan himpunan bebas linear jika
\begin{equation*} \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 } \end{equation*}
mengakibatkan
\begin{equation*} \alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0 \end{equation*}
untuk setiap himpunan skalar \(\{ \alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n \}\text{.}\)

Bukti.
Jika
\begin{equation*} v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \cdots + \beta_n v_n\text{,} \end{equation*}
maka
\begin{equation*} (\alpha_1 - \beta_1) v_1 + (\alpha_2 - \beta_2) v_2 + \cdots + (\alpha_n - \beta_n) v_n = {\mathbf 0}\text{.} \end{equation*}
Karena \(v_1, \ldots, v_n\) bebas linear, \(\alpha_i - \beta_i = 0\) untuk \(i = 1, \ldots, n\text{.}\)
Definisi kebergantungan linear menjadi lebih mudah dipahami jika kita meninjau proposisi berikut.

Bukti.
Andaikan \(\{ v_1, v_2, \dots, v_n \}\) adalah himpunan vektor yang bergantung linear. Maka terdapat skalar \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) sedemikian sehingga
\begin{equation*} \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = {\mathbf 0 }\text{,} \end{equation*}
dengan sekurang-kurangnya satu \(\alpha_i\) tidak sama dengan nol. Andaikan \(\alpha_k \neq 0\text{.}\) Maka
\begin{equation*} v_k = - \frac{\alpha_1}{\alpha_k} v_1 - \cdots - \frac{\alpha_{k - 1}}{\alpha_k} v_{k-1} - \frac{\alpha_{k + 1}}{\alpha_k} v_{k + 1} - \cdots - \frac{\alpha_n}{\alpha_k} v_n\text{.} \end{equation*}
Sebaliknya, andaikan
\begin{equation*} v_k = \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_{k - 1} v_{k - 1} + \beta_{k + 1} v_{k + 1} + \cdots + \beta_n v_n\text{.} \end{equation*}
Maka
\begin{equation*} \beta_1 v_1 + \cdots + \beta_{k - 1} v_{k - 1} - v_k + \beta_{k + 1} v_{k + 1} + \cdots + \beta_n v_n = {\mathbf 0}\text{.} \end{equation*}
Proposisi berikut merupakan akibat dari fakta bahwa setiap sistem persamaan linear homogen yang memiliki lebih banyak peubah daripada persamaan akan mempunyai solusi taktrivial. Rincian pembuktiannya diserahkan sebagai latihan akhir bab.
Himpunan vektor \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) dalam suatu ruang vektor \(V\) disebut basis bagi \(V\) jika \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) merupakan himpunan bebas linear yang merentang \(V\text{.}\)

Contoh 20.3.4.

Vektor \(e_1 = (1, 0, 0)\text{,}\) \(e_2 = (0, 1, 0)\text{,}\) dan \(e_3 =(0, 0, 1)\) membentuk basis bagi \({\mathbb R}^3\text{.}\) Himpunan tersebut jelas merentang \({\mathbb R}^3\text{,}\) karena setiap vektor sebarang \((x_1, x_2, x_3)\) dalam \({\mathbb R}^3\) dapat dituliskan sebagai \(x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3\text{.}\) Selain itu, tidak satu pun dari vektor \(e_1, e_2, e_3\) dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari dua vektor lainnya; oleh karena itu, vektor-vektor tersebut bebas linear. Vektor \(e_1, e_2, e_3\) bukan satu-satunya basis bagi \({\mathbb R}^3\text{:}\) himpunan \(\{ (3, 2, 1), (3, 2, 0), (1, 1, 1) \}\) juga merupakan basis bagi \({\mathbb R}^3\text{.}\)

Contoh 20.3.5.

Misalkan \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}\) Himpunan \(\{1, \sqrt{2}\, \}\) dan \(\{1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}\, \}\) keduanya merupakan basis bagi \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, )\text{.}\)
Dari dua contoh terakhir, seharusnya jelas bahwa suatu ruang vektor memiliki beberapa basis. Bahkan, kedua contoh tersebut masing-masing memiliki tak hingga banyak basis. Secara umum, suatu ruang vektor tidak memiliki basis tunggal. Namun, setiap basis \({\mathbb R}^3\) terdiri atas tepat tiga vektor, dan setiap basis \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) terdiri atas tepat dua vektor. Hal ini merupakan akibat dari proposisi berikut.

Bukti.
Karena \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_m \}\) merupakan basis, himpunan tersebut bebas linear. Berdasarkan Proposisi 20.3.3, \(n \leq m\text{.}\) Demikian pula, \(\{ f_1, f_2, \ldots, f_n \}\) merupakan himpunan bebas linear, dan proposisi terakhir mengakibatkan \(m \leq n\text{.}\) Akibatnya, \(m = n\text{.}\)
Jika \(\{ e_1, e_2, \ldots, e_n \}\) merupakan basis bagi suatu ruang vektor \(V\text{,}\) kita mengatakan bahwa dimensi \(V\) adalah \(n\) dan menuliskan \(\dim V =n\text{.}\) Pembuktian teorema berikut diserahkan sebagai latihan.
Sblm.Paling AtasLanjut