Teorema 15.1.1. Cauchy.
Misalkan \(G\) grup hingga dan \(p\) bilangan prima sedemikian sehingga \(p\) membagi orde \(G\text{.}\) Maka \(G\) memuat subgrup berorde \(p\text{.}\)
Bagian 15.1 Teorema Sylow
Kita akan menggunakan apa yang telah dipelajari tentang aksi grup untuk membuktikan Teorema Sylow. Ingat kembali makna \(G\) beraksi pada dirinya sendiri melalui konjugasi serta cara kelas-kelas konjugasi tersebar di dalam grup menurut persamaan kelas, yang dibahas dalam Bab 14. Grup \(G\) beraksi pada dirinya sendiri melalui konjugasi dengan pemetaan \((g,x) \mapsto gxg^{-1}\text{.}\) Misalkan \(x_1, \ldots,
x_k\) merupakan wakil dari setiap kelas konjugasi berbeda di \(G\) yang terdiri atas lebih dari satu elemen. Persamaan kelas kemudian dapat ditulis sebagai
\begin{equation*}
|G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{,}
\end{equation*}
dengan \(Z(G) = \{g \in G : gx = xg \text{ untuk semua } x \in G\}\) merupakan pusat \(G\) dan \(C(x_i) = \{ g \in G : g x_i = x_i g \}\) merupakan subgrup pemusat dari \(x_i\text{.}\)
Kita memulai kajian Teorema Sylow dengan memeriksa subgrup berorde \(p\text{,}\) dengan \(p\) prima. Grup \(G\) disebut grup-\(p\) jika orde setiap elemen di \(G\) merupakan suatu pangkat dari \(p\text{,}\) dengan \(p\) bilangan prima. Subgrup dari grup \(G\) disebut subgrup-\(p\) jika subgrup itu merupakan grup-\(p\text{.}\)
Bukti.
Kita menggunakan induksi pada orde \(G\text{.}\) Jika \(|G|=p\text{,}\) jelas bahwa \(G\) sendiri merupakan subgrup yang diperlukan. Sekarang andaikan setiap grup berorde \(k\text{,}\) dengan \(p \leq k \lt n\) dan \(p\) membagi \(k\text{,}\) memiliki elemen berorde \(p\text{.}\) Andaikan \(|G|= n\) dan \(p \mid n\text{,}\) lalu tinjau persamaan kelas \(G\text{:}\)
\begin{equation*}
|G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.}
\end{equation*}
Ada dua kasus.
Kasus 1.
Andaikan orde salah satu subgrup pemusat, \(C(x_i)\text{,}\) habis dibagi \(p\) untuk suatu \(i\text{,}\) \(i = 1, \ldots, k\text{.}\) Dalam kasus ini, hipotesis induksi menyelesaikan pembuktian. Karena \(C(x_i)\) merupakan subgrup sejati dari \(G\) dan \(p\) membagi \(|C(x_i)|\text{,}\) \(C(x_i)\) harus memuat elemen berorde \(p\text{.}\) Jadi, \(G\) harus memuat elemen berorde \(p\text{.}\)
Kasus 2.
Andaikan orde tidak satu pun subgrup pemusat habis dibagi \(p\text{.}\) Maka \(p\) membagi \([G:C(x_i)]\text{,}\) yaitu orde setiap kelas konjugasi dalam persamaan kelas; karena itu, \(p\) harus membagi orde pusat \(G\text{,}\) yaitu \(Z(G)\text{.}\) Karena \(Z(G)\) abelian, Teorema Dasar Grup Abelian Hingga menyatakan bahwa pusat tersebut harus memiliki subgrup berorde \(p\text{.}\) Oleh karena itu, pusat \(G\) memuat elemen berorde \(p\text{.}\)
Korolari 15.1.2.
Misalkan \(G\) grup hingga. Maka \(G\) merupakan grup-\(p\) jika dan hanya jika \(|G| = p^n\text{.}\)
Contoh 15.1.3.
Tinjau grup \(A_5\text{.}\) Kita mengetahui bahwa \(|A_5| = 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\text{.}\) Berdasarkan Teorema Cauchy, \(A_5\) dijamin memiliki subgrup berorde \(2\text{,}\) \(3\text{,}\) dan \(5\text{.}\) Teorema Sylow akan memberi kita lebih banyak informasi tentang subgrup-subgrup yang mungkin dari \(A_5\text{.}\)
Sekarang kita siap menyatakan dan membuktikan Teorema Sylow yang pertama. Pembuktiannya sangat mirip dengan pembuktian Teorema Cauchy.
Teorema 15.1.4. Teorema Sylow Pertama.
Misalkan \(G\) grup hingga dan \(p\) bilangan prima sedemikian sehingga \(p^r\) membagi \(|G|\text{.}\) Maka \(G\) memuat subgrup berorde \(p^r\text{.}\)
Bukti.
Sekali lagi kita melakukan induksi pada orde \(G\text{.}\) Jika \(|G| = p\text{,}\) pembuktian selesai. Sekarang andaikan orde \(G\) adalah \(n\) dengan \(n \gt p\) dan teorema ini berlaku bagi semua grup yang ordenya kurang dari \(n\text{,}\) dengan \(p\) membagi \(n\text{.}\) Kita kembali menerapkan persamaan kelas:
\begin{equation*}
|G| = |Z(G)| + [G: C(x_1) ] + \cdots + [ G: C(x_k)]\text{.}
\end{equation*}
Pertama, andaikan \(p\) tidak membagi \([G:C(x_i)]\) untuk suatu \(i\text{.}\) Maka \(p^r \mid |C(x_i)|\text{,}\) sebab \(p^r\) membagi \(|G| = |C(x_i)| \cdot [G:C(x_i)]\text{.}\) Sekarang kita dapat menerapkan hipotesis induksi pada \(C(x_i)\text{.}\)
Jadi, kita boleh mengandaikan bahwa \(p\) membagi \([G:C(x_i)]\) untuk setiap \(i\text{.}\) Karena \(p\) membagi \(|G|\text{,}\) persamaan kelas menyatakan bahwa \(p\) harus membagi \(|Z(G)|\text{;}\) karena itu, berdasarkan Teorema Cauchy, \(Z(G)\) memiliki elemen berorde \(p\text{,}\) misalkan \(g\text{.}\) Misalkan \(N\) adalah grup yang dibangkitkan oleh \(g\text{.}\) Jelas bahwa \(N\) merupakan subgrup normal dari \(Z(G)\) karena \(Z(G)\) abelian; oleh karena itu, \(N\) normal di \(G\) karena setiap elemen dalam \(Z(G)\) komutatif dengan setiap elemen dalam \(G\text{.}\) Sekarang tinjau grup hasil bagi \(G/N\) yang berorde \(|G|/p\text{.}\) Berdasarkan hipotesis induksi, \(G/N\) memuat subgrup \(H\) berorde \(p^{r- 1}\text{.}\) Pracitra \(H\) di bawah homomorfisma kanonik \(\phi : G \rightarrow G/N\) merupakan subgrup berorde \(p^r\) di \(G\text{.}\)
Subgrup Sylow-\(p\) \(P\) dari grup \(G\) adalah subgrup-\(p\) maksimal dari \(G\text{.}\) Untuk membuktikan dua Teorema Sylow lainnya, kita perlu meninjau subgrup-subgrup konjugat, bukan elemen-elemen konjugat dalam grup. Untuk grup \(G\text{,}\) misalkan \({\mathcal S}\) adalah koleksi semua subgrup dari \(G\text{.}\) Untuk sebarang subgrup \(H\text{,}\) \({\mathcal S}\) merupakan himpunan-\(H\text{,}\) dengan \(H\) beraksi pada \({\mathcal S}\) melalui konjugasi. Dengan kata lain, terdapat aksi
\begin{equation*}
H \times {\mathcal S} \rightarrow {\mathcal S}
\end{equation*}
yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
h \cdot K \mapsto hKh^{-1}
\end{equation*}
untuk \(K\) dalam \({\mathcal S}\text{.}\)
Himpunan
\begin{equation*}
N(H) = \{ g \in G : g H g^{-1} = H\}
\end{equation*}
merupakan subgrup dari \(G\) yang disebut penormal \(H\) di \(G\text{.}\) Perhatikan bahwa \(H\) merupakan subgrup normal dari \(N(H)\text{.}\) Bahkan, \(N(H)\) adalah subgrup terbesar dari \(G\) tempat \(H\) normal.
Lema 15.1.5.
Misalkan \(P\) subgrup Sylow-\(p\) dari grup hingga \(G\) dan orde \(x\) merupakan suatu pangkat dari \(p\text{.}\) Jika \(x^{-1} P x = P\text{,}\) maka \(x \in P\text{.}\)
Bukti.
Jelas bahwa \(x \in N(P)\text{,}\) dan subgrup siklik \(\langle xP \rangle \subset N(P)/P\) berorde suatu pangkat dari \(p\text{.}\) Berdasarkan Teorema Korespondensi, terdapat subgrup \(H\) dari \(N(P)\) yang memuat \(P\) sedemikian sehingga \(H/P = \langle xP \rangle\text{.}\) Karena \(|H| = |P| \cdot |\langle xP \rangle|\text{,}\) orde \(H\) harus merupakan suatu pangkat dari \(p\text{.}\) Namun, \(P\) merupakan subgrup Sylow-\(p\) yang termuat dalam \(H\text{.}\) Karena orde \(P\) adalah pangkat terbesar dari \(p\) yang membagi \(|G|\text{,}\) \(H=P\text{.}\) Jadi, \(H/P\) merupakan subgrup trivial dan \(xP = P\text{,}\) atau \(x \in P\text{.}\)
Lema 15.1.6.
Misalkan \(H\) dan \(K\) subgrup dari \(G\text{.}\) Banyaknya konjugat-\(H\) yang berbeda dari \(K\) adalah \([H:N(K) \cap H]\text{.}\)
Bukti.
Kita mendefinisikan bijeksi antara kelas-kelas konjugasi \(K\) dan koset-koset kanan dari \(N(K) \cap H\) melalui \(h^{-1}Kh \mapsto (N(K) \cap H)h\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ini bijektif, misalkan \(h_1, h_2 \in H\) dan andaikan \((N(K) \cap H)h_1 = (N(K) \cap H)h_2\text{.}\) Maka \(h_2 h_1^{-1} \in N(K)\text{.}\) Jadi, \(K = h_2 h_1^{-1} K h_1 h_2^{-1}\) atau \(h_1^{-1} K h_1 = h_2^{-1} K h_2\text{,}\) sehingga pemetaan tersebut injektif. Mudah dilihat bahwa pemetaan ini surjektif; karena itu, terdapat pemetaan satu-satu dan pada antara konjugat-konjugat-\(H\) dari \(K\) dan koset-koset kanan dari \(N(K) \cap H\) di \(H\text{.}\)
Teorema 15.1.7. Teorema Sylow Kedua.
Misalkan \(G\) grup hingga dan \(p\) bilangan prima yang membagi \(|G|\text{.}\) Maka semua subgrup Sylow-\(p\) dari \(G\) saling konjugat. Artinya, jika \(P_1\) dan \(P_2\) adalah dua subgrup Sylow-\(p\text{,}\) terdapat \(g \in G\) sedemikian sehingga \(g P_1 g^{-1} = P_2\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(P\) subgrup Sylow-\(p\) dari \(G\) dan andaikan \(|G|=p^r m\) dengan \(|P|=p^r\text{.}\) Misalkan
\begin{equation*}
{\mathcal S} = \{ P = P_1, P_2, \ldots, P_k \}
\end{equation*}
terdiri atas konjugat-konjugat berbeda dari \(P\) di \(G\text{.}\) Berdasarkan Lema 15.1.6, \(k = [G: N(P)]\text{.}\) Perhatikan bahwa
\begin{equation*}
|G|= p^r m = |N(P)| \cdot [G: N(P)]= |N(P)| \cdot k\text{.}
\end{equation*}
Karena \(p^r\) membagi \(|N(P)|\text{,}\) \(p\) tidak mungkin membagi \(k\text{.}\)
Diberikan sebarang subgrup Sylow-\(p\) lain \(Q\text{,}\) kita harus menunjukkan bahwa \(Q \in {\mathcal S}\text{.}\) Tinjau kelas konjugasi-\(Q\) dari setiap \(P_i\text{.}\) Jelas bahwa kelas-kelas konjugasi ini mempartisi \({\mathcal S}\text{.}\) Ukuran bagian yang memuat \(P_i\) adalah \([Q :N(P_i) \cap Q]\) berdasarkan Lema 15.1.6, dan Teorema Lagrange menyatakan bahwa \(|Q| = [Q :N(P_i) \cap Q] |N(P_i) \cap Q|\text{.}\) Jadi, \([Q :N(P_i) \cap Q]\) harus membagi \(|Q|= p^r\text{.}\) Dengan demikian, banyaknya konjugat dalam setiap kelas ekuivalensi pada partisi tersebut merupakan suatu pangkat dari \(p\text{.}\) Namun, karena \(p\) tidak membagi \(k\text{,}\) salah satu kelas ekuivalensi ini harus hanya memuat satu subgrup Sylow-\(p\text{,}\) misalkan \(P_j\text{.}\) Dalam hal ini, \(x^{-1} P_j x = P_j\) untuk setiap \(x \in Q\text{.}\) Berdasarkan Lema 15.1.5, \(P_j = Q\text{.}\)
Teorema 15.1.8. Teorema Sylow Ketiga.
Misalkan \(G\) grup hingga dan \(p\) bilangan prima yang membagi orde \(G\text{.}\) Maka banyaknya subgrup Sylow-\(p\) kongruen dengan \(1 \pmod{p}\) dan membagi \(|G|\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(P\) subgrup Sylow-\(p\) yang beraksi pada himpunan subgrup Sylow-\(p\text{,}\)
\begin{equation*}
{\mathcal S} = \{ P = P_1, P_2, \ldots, P_k \}\text{,}
\end{equation*}
melalui konjugasi. Dari pembuktian Teorema Sylow Kedua, satu-satunya konjugat-\(P\) dari \(P\) adalah dirinya sendiri dan orde kelas-kelas konjugasi-\(P\) lainnya merupakan suatu pangkat dari \(p\text{.}\) Setiap kelas konjugasi-\(P\) menyumbangkan suatu pangkat positif dari \(p\) terhadap \(|{\mathcal S}|\text{,}\) kecuali kelas ekuivalensi \(\{ P \}\text{.}\) Karena \(|{\mathcal S}|\) merupakan jumlah beberapa pangkat positif dari \(p\) dan \(1\text{,}\) \(|{\mathcal S}| \equiv 1 \pmod{p}\text{.}\)
Sekarang andaikan \(G\) beraksi pada \({\mathcal S}\) melalui konjugasi. Karena semua subgrup Sylow-\(p\) saling konjugat, hanya ada satu orbit di bawah aksi ini. Untuk \(P \in {\mathcal S}\text{,}\)
\begin{equation*}
|{\mathcal S}| = |\text{orbit dari }P| = [G : N(P)]
\end{equation*}
berdasarkan Lema 15.1.6. Namun, \([G : N(P)]\) membagi \(|G|\text{;}\) akibatnya, banyaknya subgrup Sylow-\(p\) dari suatu grup hingga harus membagi orde grup tersebut.
Subbagian 15.1.1 Catatan Sejarah
Peter Ludvig Mejdell Sylow lahir pada tahun 1832 di Christiania, Norwegia (sekarang Oslo). Setelah menempuh pendidikan di Universitas Christiania, Sylow mengajar di sekolah menengah. Pada tahun 1862 ia memperoleh jabatan sementara di Universitas Christiania. Meskipun masa jabatannya relatif singkat, ia memengaruhi mahasiswa seperti Sophus Lie (1842–1899). Pada tahun 1869 Sylow berkesempatan memperoleh jabatan profesor tetap, tetapi tidak berhasil mendapatkannya. Pada tahun 1872, ia menerbitkan makalah sepuluh halaman yang memaparkan teorema-teorema yang kini menyandang namanya. Kemudian Lie dan Sylow bekerja sama menyusun edisi baru karya-karya Abel. Pada tahun 1898, berkat upaya Lie sebagai mantan mahasiswa sekaligus koleganya, sebuah jabatan profesor di Universitas Christiania akhirnya dibentuk untuk Sylow. Sylow meninggal pada tahun 1918.
