Lewati ke konten utama

Bagian 11.1 Homomorfisma Grup

Sebuah homomorfisma antara grup \((G, \cdot)\) dan \((H, \circ)\) adalah pemetaan \(\phi :G \rightarrow H\) sedemikian sehingga
\begin{equation*} \phi( g_1 \cdot g_2 ) = \phi( g_1 ) \circ \phi( g_2 ) \end{equation*}
untuk \(g_1, g_2 \in G\text{.}\) Daerah hasil \(\phi\) dalam \(H\) disebut citra homomorfik dari \(\phi\text{.}\)
Dua grup memiliki hubungan sekuat mungkin apabila keduanya isomorfik; namun, dua grup juga dapat memiliki hubungan yang lebih lemah. Sebagai contoh, grup simetrik \(S_n\) dan grup \({\mathbb Z}_2\) berhubungan karena \(S_n\) dapat dibagi menjadi permutasi genap dan ganjil yang memperlihatkan struktur grup seperti \({\mathbb Z}_2\text{,}\) sebagaimana ditunjukkan oleh tabel perkalian berikut.
\begin{equation*} \begin{array}{c|cc} & \text{genap} & \text{ganjil} \\ \hline \text{genap} & \text{genap} & \text{ganjil} \\ \text{ganjil} & \text{ganjil} & \text{genap} \end{array} \end{equation*}
Kita menggunakan homomorfisma untuk mempelajari hubungan seperti yang baru saja dijelaskan.

Contoh 11.1.1.

Misalkan \(G\) adalah grup dan \(g \in G\text{.}\) Definisikan pemetaan \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) dengan \(\phi( n ) = g^n\text{.}\) Maka \(\phi\) merupakan homomorfisma grup, karena
\begin{equation*} \phi( m + n ) = g^{ m + n} = g^m g^n = \phi( m ) \phi( n )\text{.} \end{equation*}
Homomorfisma ini memetakan \({\mathbb Z}\) secara surjektif ke subgrup siklik dari \(G\) yang dibangkitkan oleh \(g\text{.}\)

Contoh 11.1.2.

Misalkan \(G = GL_2( {\mathbb R })\text{.}\) Jika
\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{equation*}
berada dalam \(G\text{,}\) maka determinannya tak nol; yaitu, \(\det(A) = ad - bc \neq 0\text{.}\) Selain itu, untuk sembarang dua elemen \(A\) dan \(B\) dalam \(G\text{,}\) \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\text{.}\) Dengan menggunakan determinan, kita dapat mendefinisikan homomorfisma \(\phi : GL_2( {\mathbb R }) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) melalui \(A \mapsto \det(A)\text{.}\)

Contoh 11.1.3.

Ingat bahwa grup lingkaran \({ \mathbb T}\) terdiri atas semua bilangan kompleks \(z\) sedemikian sehingga \(|z|=1\text{.}\) Kita dapat mendefinisikan homomorfisma \(\phi\) dari grup aditif bilangan real \({\mathbb R}\) ke \({\mathbb T}\) melalui \(\phi : \theta \mapsto \cos \theta + i \sin \theta\text{.}\) Memang,
\begin{align*} \phi( \alpha + \beta ) & = \cos( \alpha + \beta ) + i \sin( \alpha + \beta )\\ & = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + i( \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta )\\ & = (\cos \alpha + i \sin \alpha )(\cos \beta + i \sin \beta)\\ & = \phi( \alpha ) \phi( \beta )\text{.} \end{align*}
Secara geometris, kita sekadar melilitkan garis real mengelilingi lingkaran dengan cara yang sesuai dengan teori grup.
Proposisi berikut mencantumkan beberapa sifat dasar homomorfisma grup.

Bukti.
(1) Misalkan \(e\) dan \(e'\) masing-masing merupakan identitas dalam \(G_1\) dan \(G_2\text{;}\) maka
\begin{equation*} e' \phi(e) = \phi(e) = \phi(e e) = \phi(e) \phi(e)\text{.} \end{equation*}
Berdasarkan hukum pencoretan, \(\phi(e) = e'\text{.}\)
(2) Pernyataan ini mengikuti fakta bahwa
\begin{equation*} \phi( g^{-1}) \phi(g) = \phi(g^{-1} g) = \phi(e) = e'\text{.} \end{equation*}
(3) Himpunan \(\phi(H_1)\) tidak kosong karena identitas dalam \(G_2\) berada dalam \(\phi(H_1)\text{.}\) Misalkan \(H_1\) adalah subgrup dari \(G_1\text{,}\) dan ambil \(x\) serta \(y\) dalam \(\phi(H_1)\text{.}\) Terdapat elemen \(a, b \in H_1\) sedemikian sehingga \(\phi(a) = x\) dan \(\phi(b)=y\text{.}\) Karena
\begin{equation*} xy^{-1} = \phi(a)[ \phi(b)]^{-1} = \phi(a b^{-1} ) \in \phi(H_1)\text{,} \end{equation*}
\(\phi(H_1)\) merupakan subgrup dari \(G_2\) berdasarkan Proposisi 3.3.8.
(4) Misalkan \(H_2\) adalah subgrup dari \(G_2\) dan definisikan \(H_1\) sebagai \(\phi^{-1}(H_2)\text{;}\) yaitu, \(H_1\) merupakan himpunan semua \(g \in G_1\) sedemikian sehingga \(\phi(g) \in H_2\text{.}\) Identitas berada dalam \(H_1\) karena \(\phi(e) = e'\text{.}\) Jika \(a\) dan \(b\) berada dalam \(H_1\text{,}\) maka \(\phi(ab^{-1}) = \phi(a)[ \phi(b) ]^{-1}\) berada dalam \(H_2\) karena \(H_2\) merupakan subgrup dari \(G_2\text{.}\) Oleh karena itu, \(ab^{-1} \in H_1\) dan \(H_1\) merupakan subgrup dari \(G_1\text{.}\) Jika \(H_2\) normal dalam \(G_2\text{,}\) kita harus menunjukkan bahwa \(g^{-1} h g \in H_1\) untuk \(h \in H_1\) dan \(g \in G_1\text{.}\) Namun,
\begin{equation*} \phi( g^{-1} h g) = [ \phi(g) ]^{-1} \phi( h ) \phi( g ) \in H_2\text{,} \end{equation*}
karena \(H_2\) merupakan subgrup normal dari \(G_2\text{.}\) Oleh karena itu, \(g^{-1}hg \in H_1\text{.}\)
Misalkan \(\phi : G \rightarrow H\) adalah homomorfisma grup dan \(e\) merupakan identitas dalam \(H\text{.}\) Berdasarkan Proposisi 11.1.4, \(\phi^{-1} ( \{ e \} )\) adalah subgrup dari \(G\text{.}\) Subgrup ini disebut kernel dari \(\phi\) dan dinotasikan dengan \(\ker \phi\text{.}\) Bahkan, subgrup ini merupakan subgrup normal dari \(G\) karena subgrup trivial normal dalam \(H\text{.}\) Hasil ini kita nyatakan dalam teorema berikut, yang mengatakan bahwa setiap homomorfisma grup secara alami dapat dikaitkan dengan sebuah subgrup normal.

Contoh 11.1.6.

Perhatikan homomorfisma \(\phi : GL_2( {\mathbb R }) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) yang didefinisikan oleh \(A \mapsto \det( A )\text{.}\) Karena \(1\) adalah identitas dalam \({\mathbb R}^\ast\text{,}\) kernel homomorfisma ini terdiri atas semua matriks \(2 \times 2\) yang determinannya satu. Dengan kata lain, \(\ker \phi = SL_2( {\mathbb R })\text{.}\)

Contoh 11.1.7.

Kernel homomorfisma grup \(\phi : {\mathbb R} \rightarrow {\mathbb C}^\ast\) yang didefinisikan oleh \(\phi( \theta ) = \cos \theta + i \sin \theta\) adalah \(\{ 2 \pi n : n \in {\mathbb Z} \}\text{.}\) Perhatikan bahwa \(\ker \phi \cong {\mathbb Z}\text{.}\)

Contoh 11.1.8.

Misalkan kita ingin menentukan semua kemungkinan homomorfisma \(\phi\) dari \({\mathbb Z}_7\) ke \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Karena kernel \(\phi\) harus merupakan subgrup dari \({\mathbb Z}_7\text{,}\) hanya ada dua kemungkinan kernel, yaitu \(\{ 0 \}\) dan seluruh \({\mathbb Z}_7\text{.}\) Citra suatu subgrup dari \({\mathbb Z}_7\) harus merupakan subgrup dari \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Oleh karena itu, tidak ada homomorfisma injektif; jika ada, \({\mathbb Z}_{12}\) akan memiliki subgrup berorde \(7\text{,}\) padahal hal ini mustahil. Akibatnya, satu-satunya homomorfisma yang mungkin dari \({\mathbb Z}_7\) ke \({\mathbb Z}_{12}\) adalah homomorfisma yang memetakan semua elemen ke nol.

Contoh 11.1.9.

Misalkan \(G\) adalah grup. Misalkan \(g \in G\) dan \(\phi\) adalah homomorfisma dari \({\mathbb Z}\) ke \(G\) yang diberikan oleh \(\phi( n ) = g^n\text{.}\) Jika orde \(g\) tak berhingga, maka kernel homomorfisma ini adalah \(\{ 0 \}\) karena \(\phi\) memetakan \({\mathbb Z}\) secara surjektif ke subgrup siklik dari \(G\) yang dibangkitkan oleh \(g\text{.}\) Namun, jika orde \(g\) berhingga, misalkan \(n\text{,}\) maka kernel \(\phi\) adalah \(n {\mathbb Z}\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut