Lewati ke konten utama

Bagian 16.4 Ideal Maksimal dan Ideal Prima

Dalam bagian ini, kita secara khusus tertarik pada ideal-ideal tertentu dari gelanggang komutatif. Ideal-ideal ini menghasilkan jenis gelanggang hasil bagi yang khusus. Secara lebih khusus, kita ingin mencirikan ideal-ideal \(I\) dari gelanggang komutatif \(R\) sedemikian sehingga \(R/I\) merupakan daerah integral atau lapangan.
Ideal sejati \(M\) dari gelanggang \(R\) adalah ideal maksimal dari \(R\) jika ideal \(M\) bukan himpunan bagian sejati dari ideal mana pun dari \(R\text{,}\) kecuali \(R\) sendiri. Dengan kata lain, \(M\) adalah ideal maksimal jika untuk setiap ideal \(I\) yang memuat \(M\) secara sejati, \(I = R\text{.}\) Teorema berikut mencirikan sepenuhnya ideal maksimal pada gelanggang komutatif dengan identitas melalui gelanggang hasil bagi yang bersesuaian.

Bukti.
Misalkan \(M\) adalah ideal maksimal dalam \(R\text{.}\) Jika \(R\) adalah gelanggang komutatif, maka \(R/M\) juga harus merupakan gelanggang komutatif. Jelas bahwa \(1 + M\) bertindak sebagai identitas untuk \(R/M\text{.}\) Kita juga harus menunjukkan bahwa setiap unsur taknol dalam \(R/M\) memiliki invers. Jika \(a + M\) adalah unsur taknol dalam \(R/M\text{,}\) maka \(a \notin M\text{.}\) Definisikan \(I\) sebagai himpunan \(\{ ra + m : r \in R \text{ dan } m \in M \}\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa \(I\) adalah ideal dalam \(R\text{.}\) Himpunan \(I\) tidak kosong karena \(0a+0=0\) berada dalam \(I\text{.}\) Jika \(r_1 a + m_1\) dan \(r_2 a + m_2\) adalah dua unsur dalam \(I\text{,}\) maka
\begin{equation*} (r_1 a + m_1) - ( r_2 a + m_2) = (r_1 - r_2)a + (m_1 - m_2) \end{equation*}
berada dalam \(I\text{.}\) Selain itu, untuk sebarang \(r \in R\) berlaku \(rI \subset I\text{;}\) dengan demikian, \(I\) tertutup terhadap perkalian dan memenuhi syarat-syarat yang diperlukan untuk menjadi ideal. Oleh karena itu, berdasarkan Proposisi 16.1.10 dan definisi ideal, \(I\) adalah ideal yang memuat \(M\) secara sejati. Karena \(M\) adalah ideal maksimal, \(I=R\text{;}\) akibatnya, berdasarkan definisi \(I\text{,}\) harus terdapat \(m\) dalam \(M\) dan unsur \(b\) dalam \(R\) sedemikian sehingga \(1=ab+m\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{equation*} 1 + M = ab + M = ba + M = (a+M)(b+M)\text{.} \end{equation*}
Sebaliknya, andaikan \(M\) adalah ideal dan \(R/M\) merupakan lapangan. Karena \(R/M\) merupakan lapangan, gelanggang tersebut harus memuat sekurang-kurangnya dua unsur: \(0 + M = M\) dan \(1 + M\text{.}\) Jadi, \(M\) adalah ideal sejati dari \(R\text{.}\) Misalkan \(I\) adalah sebarang ideal yang memuat \(M\) secara sejati. Kita perlu menunjukkan bahwa \(I = R\text{.}\) Pilih \(a\) dalam \(I\text{,}\) tetapi tidak dalam \(M\text{.}\) Karena \(a+ M\) adalah unsur taknol dalam suatu lapangan, terdapat unsur \(b +M\) dalam \(R/M\) sedemikian sehingga \((a+M)(b+M) = ab + M = 1+M\text{.}\) Akibatnya, terdapat unsur \(m \in M\) sedemikian sehingga \(ab + m = 1\) dan \(1\) berada dalam \(I\text{.}\) Oleh karena itu, \(r1 =r \in I\) untuk semua \(r \in R\text{.}\) Akibatnya, \(I = R\text{.}\)

Contoh 16.4.2.

Misalkan \(p{\mathbb Z}\) adalah ideal dalam \({\mathbb Z}\text{,}\) dengan \(p\) prima. Maka \(p{\mathbb Z}\) adalah ideal maksimal karena \({\mathbb Z}/ p {\mathbb Z} \cong {\mathbb Z}_p\) merupakan lapangan.
Ideal sejati \(P\) dalam gelanggang komutatif \(R\) disebut ideal prima jika setiap kali \(ab \in P\text{,}\) berlaku \(a \in P\) atau \(b \in P\text{.}\)
 1 
Ideal prima dapat pula didefinisikan dalam gelanggang takkomutatif. Lihat [1] atau [3].

Contoh 16.4.3.

Mudah diperiksa bahwa himpunan \(P = \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10 \}\) adalah ideal dalam \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Ideal ini adalah ideal prima. Bahkan, ideal ini merupakan ideal maksimal.

Bukti.
Pertama, andaikan \(P\) adalah ideal dalam \(R\) dan \(R/P\) merupakan daerah integral. Andaikan \(ab \in P\text{.}\) Jika \(a + P\) dan \(b + P\) adalah dua unsur dari \(R/P\) sedemikian sehingga \((a + P)(b + P) = 0 + P = P\text{,}\) maka berlaku \(a + P = P\) atau \(b + P = P\text{.}\) Ini berarti bahwa \(a\) berada dalam \(P\) atau \(b\) berada dalam \(P\text{,}\) yang menunjukkan bahwa \(P\) harus merupakan ideal prima.
Sebaliknya, andaikan \(P\) adalah ideal prima dan
\begin{equation*} (a + P)(b + P) = ab + P = 0 + P = P\text{.} \end{equation*}
Maka \(ab \in P\text{.}\) Jika \(a \notin P\text{,}\) maka \(b\) harus berada dalam \(P\) berdasarkan definisi ideal prima; dengan demikian, \(b + P = 0 + P\) dan \(R/P\) merupakan daerah integral.

Contoh 16.4.5.

Setiap ideal dalam \({\mathbb Z}\) berbentuk \(n {\mathbb Z}\text{.}\) Gelanggang hasil bagi \({\mathbb Z} / n{\mathbb Z} \cong {\mathbb Z}_n\) merupakan daerah integral hanya ketika \(n\) prima. Bahkan, gelanggang tersebut merupakan lapangan. Jadi, ideal prima taknol dalam \({\mathbb Z}\) adalah ideal-ideal \(p{\mathbb Z}\text{,}\) dengan \(p\) prima. Contoh ini sungguh membenarkan penggunaan kata “prima” dalam definisi ideal prima.
Karena setiap lapangan merupakan daerah integral, kita memperoleh akibat berikut.

Subbagian 16.4.1 Catatan Sejarah

Amalie Emmy Noether, salah seorang matematikawan terkemuka abad kedua puluh, lahir di Erlangen, Jerman, pada tahun 1882. Ia adalah putri Max Noether (1844–1921), seorang matematikawan terkemuka di University of Erlangen. Bersama Paul Gordon (1837–1912), ayah Emmy Noether sangat memengaruhi pendidikan awalnya. Ia memasuki University of Erlangen pada usia 18 tahun. Meskipun perempuan telah diterima di universitas-universitas di Inggris, Prancis, dan Italia selama puluhan tahun, terdapat penolakan besar terhadap kehadiran mereka di universitas-universitas di Jerman. Noether merupakan satu dari hanya dua perempuan di antara 986 mahasiswa universitas tersebut. Setelah menyelesaikan gelar doktornya di bawah bimbingan Gordon pada tahun 1907, ia melanjutkan penelitian di Erlangen, dan sesekali memberi kuliah ketika ayahnya sakit.
Noether pergi ke Göttingen untuk belajar pada tahun 1916. David Hilbert dan Felix Klein berusaha tanpa hasil untuk memperoleh jabatan baginya di Göttingen. Beberapa anggota fakultas menentang dosen perempuan dengan mengatakan, “Apa yang akan dipikirkan para prajurit kita ketika mereka kembali ke universitas dan diharapkan belajar di bawah bimbingan seorang perempuan?” Hilbert, yang kesal dengan pertanyaan itu, menjawab, “Meine Herren, saya tidak melihat bahwa jenis kelamin seorang kandidat merupakan alasan untuk menolak penerimaannya sebagai Privatdozent. Lagi pula, Senat bukanlah rumah pemandian.” Pada akhir Perang Dunia I, sikap berubah dan kondisi bagi perempuan sangat membaik. Setelah Noether lulus ujian habilitasi pada tahun 1919, ia diberi gelar dan dibayar sejumlah kecil uang untuk kuliah-kuliahnya.
Pada tahun 1922, Noether menjadi Privatdozent di Göttingen. Selama 11 tahun berikutnya, ia menggunakan metode aksiomatik untuk mengembangkan teori abstrak mengenai gelanggang dan ideal. Meskipun tidak mahir memberi kuliah, Noether adalah pengajar yang menginspirasi. Salah seorang dari banyak mahasiswanya adalah B. L. van der Waerden, penulis buku pertama yang membahas aljabar abstrak dari sudut pandang modern. Beberapa matematikawan lain yang dipengaruhi Noether atau bekerja erat dengannya ialah Alexandroff, Artin, Brauer, Courant, Hasse, Hopf, Pontryagin, von Neumann, dan Weyl. Salah satu puncak kariernya adalah undangan untuk berbicara di Kongres Matematikawan Internasional di Zurich pada tahun 1932. Terlepas dari segala pengakuan yang diterimanya dari para kolega, kemampuan Noether tidak pernah diakui sebagaimana mestinya semasa hidupnya. Ia tidak pernah dipromosikan menjadi profesor penuh oleh birokrasi akademik Prusia.
Pada tahun 1933, Noether, yang beretnis Yahudi, dilarang berpartisipasi dalam seluruh kegiatan akademik di Jerman. Ia beremigrasi ke Amerika Serikat, menerima jabatan di Bryn Mawr College, dan menjadi anggota Institute for Advanced Study di Princeton. Noether meninggal secara mendadak pada 14 April 1935. Setelah kematiannya, ilmuwan terkemuka seperti Albert Einstein menyampaikan pujian mengenangnya.
Sblm.Paling AtasLanjut