1.
Misalkan \(G\) grup hingga dengan suatu elemen \(g\) berorde \(5\) dan suatu elemen \(h\) berorde \(7\text{.}\) Mengapa harus berlaku \(|G| \geq 35\text{?}\)
Petunjuk.
Orde \(g\) dan orde \(h\) keduanya harus membagi orde \(G\text{.}\)
Latihan 6.5 Latihan
2.
Misalkan \(G\) grup hingga dengan \(60\) elemen. Apa saja kemungkinan orde subgrup dari \(G\text{?}\)
Petunjuk.
Orde yang mungkin harus membagi \(60\text{.}\)
3.
Buktikan atau sangkal: Setiap subgrup dari bilangan bulat mempunyai indeks hingga.
Petunjuk.
Pernyataan ini benar untuk setiap subgrup sejati nontrivial.
4.
Buktikan atau sangkal: Setiap subgrup dari bilangan bulat berorde hingga.
Petunjuk.
Salah.
5.
Cantumkan koset kiri dan kanan dari subgrup dalam setiap kasus berikut.
-
\(\langle 8 \rangle\) dalam \({\mathbb Z}_{24}\)
-
\(\langle 3 \rangle\) dalam \(U(8)\)
-
\(3 {\mathbb Z}\) dalam \({\mathbb Z}\)
-
\(A_4\) dalam \(S_4\)
-
\(A_n\) dalam \(S_n\)
-
\(D_4\) dalam \(S_4\)
-
\({\mathbb T}\) dalam \({\mathbb C}^\ast\)
-
\(H = \{ (1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\) dalam \(S_4\)
Petunjuk.
(a) \(\langle 8 \rangle\text{,}\) \(1 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(2 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(3 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(4 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(5 + \langle 8 \rangle\text{,}\) \(6 + \langle 8 \rangle\text{,}\) dan \(7 + \langle 8 \rangle\text{;}\) (c) \(3 {\mathbb Z}\text{,}\) \(1 + 3 {\mathbb Z}\text{,}\) dan \(2 + 3 {\mathbb Z}\text{.}\)
6.
Deskripsikan koset kiri dari \(SL_2( {\mathbb R} )\) dalam \(GL_2( {\mathbb R})\text{.}\) Berapakah indeks \(SL_2( {\mathbb R} )\) dalam \(GL_2( {\mathbb R})\text{?}\)
7.
Periksa Teorema Euler untuk \(n = 15\) dan \(a = 4\text{.}\)
Petunjuk.
\(4^{\phi(15)} \equiv 4^8 \equiv 1 \pmod{15}\text{.}\)
8.
Gunakan Teorema Kecil Fermat untuk menunjukkan bahwa jika \(p = 4n + 3\) prima, maka tidak terdapat penyelesaian bagi persamaan \(x^2 \equiv -1 \pmod{p}\text{.}\)
9.
Tunjukkan bahwa bilangan bulat mempunyai indeks tak hingga dalam grup aditif bilangan rasional.
10.
Tunjukkan bahwa grup aditif bilangan real mempunyai indeks tak hingga dalam grup aditif bilangan kompleks.
11.
Misalkan \(H\) subgrup dari suatu grup \(G\) dan misalkan \(g_1, g_2 \in G\text{.}\) Buktikan bahwa syarat-syarat berikut ekuivalen.
-
\(\displaystyle g_1 H = g_2 H\)
-
\(\displaystyle H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\)
-
\(\displaystyle g_1 H \subset g_2 H\)
-
\(\displaystyle g_2 \in g_1 H\)
-
\(\displaystyle g_1^{-1} g_2 \in H\)
12.
Jika \(ghg^{-1} \in H\) untuk setiap \(g \in G\) dan \(h \in H\text{,}\) tunjukkan bahwa koset kanan identik dengan koset kiri. Artinya, tunjukkan bahwa \(gH = Hg\) untuk setiap \(g \in G\text{.}\)
Petunjuk.
Misalkan \(g_1 \in gH\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(g_1 \in Hg\text{,}\) sehingga \(gH \subset Hg\text{.}\)
13.
Bagian mana dari pembuktian Teorema 6.1.8 yang gagal jika \(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\) didefinisikan dengan \(\phi( gH ) = Hg\text{?}\)
14.
Misalkan \(g^n = e\text{.}\) Tunjukkan bahwa orde \(g\) membagi \(n\text{.}\)
15.
Struktur siklus suatu permutasi \(\sigma\) didefinisikan sebagai daftar tak terurut ukuran siklus-siklus dalam dekomposisi siklus \(\sigma\text{.}\) Sebagai contoh, permutasi \(\sigma = (1 \, 2)(3 \, 4 \, 5)(7 \, 8)(9)\) mempunyai struktur siklus \((2,3,2,1)\text{,}\) yang juga dapat ditulis sebagai \((1, 2, 2, 3)\text{.}\)
Tunjukkan bahwa sebarang dua permutasi \(\alpha, \beta \in S_n\) mempunyai struktur siklus yang sama jika dan hanya jika terdapat permutasi \(\gamma\) sedemikian sehingga \(\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\text{.}\) Jika \(\beta = \gamma \alpha \gamma^{-1}\) untuk suatu \(\gamma \in S_n\text{,}\) maka \(\alpha\) dan \(\beta\) disebut konjugat.
16.
Jika \(|G| = 2n\text{,}\) buktikan bahwa banyaknya elemen berorde \(2\) ganjil. Gunakan hasil ini untuk menunjukkan bahwa \(G\) harus memuat subgrup berorde \(2\text{.}\)
17.
Misalkan \([G : H] = 2\text{.}\) Jika \(a\) dan \(b\) tidak berada dalam \(H\text{,}\) tunjukkan bahwa \(ab \in H\text{.}\)
18.
Jika \([G : H] = 2\text{,}\) buktikan bahwa \(gH = Hg\) untuk setiap \(g \in G\text{.}\)
19.
Misalkan \(H\) dan \(K\) subgrup dari suatu grup \(G\text{.}\) Buktikan bahwa \(gH \cap gK\) merupakan koset dari \(H \cap K\) dalam \(G\text{.}\)
Petunjuk.
Tunjukkan bahwa \(g(H \cap K) = gH \cap gK\text{.}\)
20.
Misalkan \(H\) dan \(K\) subgrup dari suatu grup \(G\text{.}\) Definisikan relasi \(\sim\) pada \(G\) dengan \(a \sim b\) jika terdapat \(h \in H\) dan \(k \in K\) sedemikian sehingga \(hak = b\text{.}\) Tunjukkan bahwa relasi ini merupakan relasi ekuivalensi. Kelas ekuivalensi yang bersesuaian disebut koset ganda. Hitung koset ganda dari \(H = \{ (1),(1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\) dalam \(A_4\text{.}\)
21.
Misalkan \(G\) grup siklik berorde \(n\text{.}\) Tunjukkan bahwa terdapat tepat \(\phi(n)\) pembangkit bagi \(G\text{.}\)
22.
Misalkan \(n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}\text{,}\) dengan \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) bilangan-bilangan prima yang berbeda. Buktikan bahwa
\begin{equation*}
\phi(n) = n \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \left( 1 - \frac{1}{p_2} \right)\cdots \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right)\text{.}
\end{equation*}
Petunjuk.
23.
Tunjukkan bahwa
\begin{equation*}
n = \sum_{d \mid n} \phi(d)
\end{equation*}
untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{.}\)
