Konstruksikan graf Higman–Sims dengan perintah graphs.HigmanSimsGraph(). Kemudian konstruksikan grup automorfismenya dan tentukan orde satu-satunya subgrup normal yang menarik dari grup tersebut. Anda dapat mencoba memplot graf itu, tetapi grafiknya mungkin tidak terlalu informatif.
Latihan ini meminta Anda memverifikasi persamaan kelas di luar situasi biasa ketika aksi grupnya adalah konjugasi. Tinjau contoh grup automorfisme lintasan pada \(11\) simpul. Pertama, konstruksikan daftar orbit. Dari setiap orbit, ambil unsur pertama orbit tersebut sebagai wakil. Hitung ukuran orbit sebagai indeks penstabil wakil tersebut dalam grup melalui Teorema 14.1.11. (Tentu, Anda dapat langsung menghitung ukuran orbit lengkap, tetapi tujuan latihan ini adalah menggunakan lebih banyak hasil dari teori grup.) Kemudian jumlahkan ukuran-ukuran orbit tersebut, yang seharusnya sama dengan ukuran seluruh himpunan simpul karena orbit-orbit membentuk suatu partisi.
Konstruksikan graf sederhana (tanpa gelang atau sisi ganda), dengan sekurang-kurangnya dua simpul dan sekurang-kurangnya satu sisi, yang grup automorfismenya trivial. Anda mungkin dapat mulai bereksperimen dengan menggambar pada kertas sebelum mengonstruksi graf tersebut. Perintah seperti berikut memungkinkan Anda mengonstruksi graf dari sisi-sisinya. Graf berikut tampak seperti segitiga atau siklus-\(3\text{.}\)
Untuk dua pasangan grup berikut, hitung daftar wakil kelas konjugasi bagi setiap grup dalam pasangan tersebut. Untuk setiap bagian, bandingkan hasil bagi kedua grup dalam pasangan itu, dengan komentar yang cermat dan bernas.
Gunakan perintah graphs.CubeGraph(4) untuk membangun graf kubus berdimensi empat, \(Q_4\text{.}\) Menggunakan perintah .plot() biasa (tanpa tata letak pegas) seharusnya menghasilkan plot yang baik. Konstruksikan grup automorfisme graf tersebut, yang akan memberikan aksi grup pada himpunan simpul.
Konstruksikan penstabil suatu simpul tunggal (yang merupakan subgrup dari grup automorfisme penuh), lalu tinjau aksi grup ini pada himpunan simpul. Konstruksikan orbit-orbit aksi baru ini, dan berikan komentar yang cermat dan lengkap tentang pengamatan Anda, terutama dalam kaitannya dengan simpul-simpul graf.
Bangunlah graf yang diberikan oleh perintah-perintah berikut. Hasilnya seharusnya berupa graf yang tampak simetris dengan grup automorfisme berorde \(16\text{.}\)
G = graphs.CycleGraph(8)
G.add_edges([(0,2),(1,3),(4,6),(5,7)])
G.plot()
Ulangi kedua bagian latihan sebelumnya, tetapi perhatikan bahwa dalam bagian kedua sekarang terdapat dua penstabil berbeda yang harus dibuat; karena itu, bangunlah keduanya dan bandingkan perbedaan penstabil beserta orbitnya. Membuat plot kedua dengan G.plot(layout='planar') mungkin memberikan wawasan tambahan.
