Lewati ke konten utama

Latihan 17.5 Latihan

1.

Daftarkan semua polinomial berderajat \(3\) atau kurang di \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

2.

Hitung setiap ekspresi berikut.
  1. \((5x^2 + 3x - 4) + (4x^2 - x + 9)\) di \({\mathbb Z}_{12}[x]\)
  2. \((5x^2 + 3x - 4) (4x^2 - x + 9)\) di \({\mathbb Z}_{12}[x]\)
  3. \((7x^3 + 3x^2 - x) + (6x^2 - 8x + 4)\) di \({\mathbb Z}_9[x]\)
  4. \((3x^2 + 2x - 4) + (4x^2 + 2)\) di \({\mathbb Z}_5[x]\)
  5. \((3x^2 + 2x - 4) (4x^2 + 2)\) di \({\mathbb Z}_5[x]\)
  6. \((5x^2 + 3x - 2)^2\) di \({\mathbb Z}_{12}[x]\)
Petunjuk.
(a) \(9x^2 + 2x + 5\text{;}\) (b) \(8x^4 + 7x^3 + 2x^2 + 7x\text{.}\)

3.

Gunakan algoritma pembagian untuk menentukan \(q(x)\) dan \(r(x)\) sedemikian sehingga \(a(x) = q(x) b(x) + r(x)\) dengan \(\deg r(x) \lt \deg b(x)\) untuk setiap pasangan polinomial berikut.
  1. \(a(x) = 5 x^3 + 6x^2 - 3 x + 4\) dan \(b(x) = x - 2\) di \({\mathbb Z}_7[x]\)
  2. \(a(x) = 6 x^4 - 2 x^3 + x^2 - 3 x + 1\) dan \(b(x) = x^2 + x - 2\) di \({\mathbb Z}_7[x]\)
  3. \(a(x) = 4 x^5 - x^3 + x^2 + 4\) dan \(b(x) = x^3 - 2\) di \({\mathbb Z}_5[x]\)
  4. \(a(x) = x^5 + x^3 -x^2 - x\) dan \(b(x) = x^3 + x\) di \({\mathbb Z}_2[x]\)
Petunjuk.
(a) \(5 x^3 + 6 x^2 - 3 x + 4 = (5 x^2 + 2x + 1)(x -2) + 6\text{;}\) (c) \(4x^5 - x^3 + x^2 + 4 = (4x^2 + 4)(x^3 + 3) + 4x^2 + 2\text{.}\)

4.

Tentukan faktor persekutuan terbesar dari setiap pasangan polinomial \(p(x)\) dan \(q(x)\) berikut. Jika \(d(x) = \gcd( p(x), q(x) )\text{,}\) tentukan dua polinomial \(a(x)\) dan \(b(x)\) sedemikian sehingga \(a(x) p(x) + b(x) q(x) = d(x)\text{.}\)
  1. \(p(x) = x^3 - 6x^2 + 14x - 15\) dan \(q(x) = x^3 - 8x^2 + 21x - 18\text{,}\) dengan \(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)
  2. \(p(x) = x^3 + x^2 - x + 1\) dan \(q(x) = x^3 + x - 1\text{,}\) dengan \(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_2[x]\)
  3. \(p(x) = x^3 + x^2 - 4x + 4\) dan \(q(x) = x^3 + 3 x -2\text{,}\) dengan \(p(x), q(x) \in {\mathbb Z}_5[x]\)
  4. \(p(x) = x^3 - 2 x + 4\) dan \(q(x) = 4 x^3 + x + 3\text{,}\) dengan \(p(x), q(x) \in {\mathbb Q}[x]\)

5.

Tentukan semua nol dari setiap polinomial berikut.
  1. \(5x^3 + 4x^2 - x + 9\) di \({\mathbb Z}_{12}[x]\)
  2. \(3x^3 - 4x^2 - x + 4\) di \({\mathbb Z}_{5}[x]\)
  3. \(5x^4 + 2x^2 - 3\) di \({\mathbb Z}_{7}[x]\)
  4. \(x^3 + x + 1\) di \({\mathbb Z}_2[x]\)
Petunjuk.
(a) Tidak ada nol di \({\mathbb Z}_{12}\text{;}\) (c) \(3\text{,}\) \(4\text{.}\)

6.

Tentukan semua unit di \({\mathbb Z}[x]\text{.}\)

7.

Tentukan suatu unit \(p(x)\) di \({\mathbb Z}_4[x]\) sedemikian sehingga \(\deg p(x) \gt 1\text{.}\)
Petunjuk.
Tinjau \((2x + 1)\text{.}\)

8.

Manakah di antara polinomial berikut yang tak tereduksi atas \({\mathbb Q}[x]\text{?}\)
  1. \(\displaystyle x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x + 4\)
  2. \(\displaystyle x^4 - 5x^3 + 3x - 2\)
  3. \(\displaystyle 3x^5 - 4x^3 - 6x^2 + 6\)
  4. \(\displaystyle 5x^5 - 6x^4 - 3x^2 + 9 x - 15\)
Petunjuk.
(a) Tereduksi; (c) tak tereduksi.

9.

Tentukan semua polinomial tak tereduksi berderajat \(2\) dan \(3\) di \({\mathbb Z}_2[x]\text{.}\)

10.

Berikan dua faktorisasi berbeda dari \(x^2 + x + 8\) di \({\mathbb Z}_{10}[x]\text{.}\)
Petunjuk.
Salah satu faktorisasinya adalah \(x^2 + x + 8 = (x + 2)(x + 9)\text{.}\)

11.

Buktikan atau sangkal: Terdapat polinomial \(p(x)\) di \({\mathbb Z}_6[x]\) berderajat \(n\) dengan lebih dari \(n\) nol yang berbeda.

12.

Jika \(F\) suatu lapangan, tunjukkan bahwa \(F[x_1, \ldots, x_n]\) merupakan daerah integral.

13.

Tunjukkan bahwa algoritma pembagian tidak berlaku untuk \({\mathbb Z}[x]\text{.}\) Mengapa algoritma itu gagal?
Petunjuk.
Bilangan bulat \(\mathbb Z\) tidak membentuk lapangan.

14.

Buktikan atau sangkal: \(x^p + a\) tak tereduksi untuk setiap \(a \in {\mathbb Z}_p\text{,}\) dengan \(p\) prima.
Petunjuk.
Salah.

15.

Misalkan \(f(x)\) tak tereduksi di \(F[x]\text{,}\) dengan \(F\) suatu lapangan. Jika \(f(x) \mid p(x)q(x)\text{,}\) buktikan bahwa \(f(x) \mid p(x)\) atau \(f(x) \mid q(x)\text{.}\)

16.

Misalkan \(R\) dan \(S\) gelanggang-gelanggang isomorfik. Buktikan bahwa \(R[x] \cong S[x]\text{.}\)
Petunjuk.
Misalkan \(\phi : R \rightarrow S\) suatu isomorfisma. Definisikan \(\overline{\phi} : R[x] \rightarrow S[x]\) dengan \(\overline{\phi}(a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n) = \phi(a_0) + \phi(a_1) x + \cdots + \phi(a_n) x^n\text{.}\)

17.

Misalkan \(F\) suatu lapangan dan \(a \in F\text{.}\) Jika \(p(x) \in F[x]\text{,}\) tunjukkan bahwa \(p(a)\) adalah sisa yang diperoleh ketika \(p(x)\) dibagi dengan \(x - a\text{.}\)

18. Teorema Akar Rasional.

Misalkan
\begin{equation*} p(x) = a_n x^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_0 \in \mathbb Z[x]\text{,} \end{equation*}
dengan \(a_n \neq 0\text{.}\) Buktikan bahwa jika \(p(r/s) = 0\text{,}\) dengan \(\gcd(r, s) = 1\text{,}\) maka \(r \mid a_0\) dan \(s \mid a_n\text{.}\)

19.

Misalkan \({\mathbb Q}^*\) grup perkalian bilangan rasional positif. Buktikan bahwa \({\mathbb Q}^*\) isomorfik dengan \(( {\mathbb Z}[x], +)\text{.}\)

20. Polinomial Siklotomik.

Polinomial
\begin{equation*} \Phi_p(x) = \frac{x^p - 1}{x - 1} = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \cdots + x + 1 \end{equation*}
untuk \(p\) prima disebut polinomial siklotomik. Tunjukkan bahwa \(\Phi_p(x)\) tak tereduksi atas \({\mathbb Q}\) untuk setiap bilangan prima \(p\text{.}\)
Petunjuk.
Polinomial
\begin{equation*} \Phi_n(x) = \frac{x^n - 1}{x - 1} = x^{n - 1} + x^{n - 2} + \cdots + x + 1 \end{equation*}
disebut polinomial siklotomik. Tunjukkan bahwa \(\Phi_p(x)\) tak tereduksi atas \({\mathbb Q}\) untuk setiap bilangan prima \(p\text{.}\)

21.

Jika \(F\) suatu lapangan, tunjukkan bahwa terdapat tak terhingga banyak polinomial tak tereduksi di \(F[x]\text{.}\)

22.

Misalkan \(R\) gelanggang komutatif dengan identitas. Buktikan bahwa perkalian di \(R[x]\) bersifat komutatif.

23.

Misalkan \(R\) gelanggang komutatif dengan identitas. Buktikan bahwa perkalian di \(R[x]\) bersifat distributif.

24.

Tunjukkan bahwa \(x^p - x\) memiliki \(p\) nol yang berbeda di \({\mathbb Z}_p\text{,}\) untuk setiap bilangan prima \(p\text{.}\) Simpulkan bahwa
\begin{equation*} x^p - x = x(x - 1)(x - 2) \cdots (x - (p - 1))\text{.} \end{equation*}

25.

Misalkan \(F\) suatu lapangan dan \(f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\) berada di \(F[x]\text{.}\) Definisikan \(f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}\) sebagai turunan dari \(f(x)\text{.}\)
  1. Buktikan bahwa
    \begin{equation*} (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)\text{.} \end{equation*}
    Simpulkan bahwa kita dapat mendefinisikan homomorfisma grup abelian \(D : F[x] \rightarrow F[x]\) dengan \(D(f(x)) = f'(x)\text{.}\)
  2. Hitung kernel \(D\) jika \(\chr F = 0\text{.}\)
  3. Hitung kernel \(D\) jika \(\chr F = p\text{.}\)
  4. Buktikan bahwa
    \begin{equation*} (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x) g'(x)\text{.} \end{equation*}
  5. Misalkan kita dapat memfaktorkan polinomial \(f(x) \in F[x]\) menjadi faktor-faktor linear, katakanlah
    \begin{equation*} f(x) = a(x - a_1) (x - a_2) \cdots ( x - a_n)\text{.} \end{equation*}
    Buktikan bahwa \(f(x)\) tidak memiliki faktor berulang jika dan hanya jika \(f(x)\) dan \(f'(x)\) relatif prima.

26.

Misalkan \(F\) suatu lapangan. Tunjukkan bahwa \(F[x]\) tidak pernah merupakan lapangan.
Petunjuk.
Tentukan ideal sejati taktrivial di \(F[x]\text{.}\)

27.

Misalkan \(R\) suatu daerah integral. Buktikan bahwa \(R[x_1, \ldots, x_n]\) merupakan daerah integral.

28.

Misalkan \(R\) gelanggang komutatif dengan identitas. Tunjukkan bahwa \(R[x]\) memiliki subgelanggang \(R'\) yang isomorfik dengan \(R\text{.}\)

29.

Misalkan \(p(x)\) dan \(q(x)\) polinomial-polinomial di \(R[x]\text{,}\) dengan \(R\) gelanggang komutatif dengan identitas. Buktikan bahwa \(\deg( p(x) + q(x) ) \leq \max( \deg p(x), \deg q(x) )\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut