Lewati ke konten utama

Latihan 11.4 Latihan

1.

Buktikan bahwa \(\det( AB) = \det(A) \det(B)\) untuk \(A, B \in GL_2( {\mathbb R} )\text{.}\) Hal ini menunjukkan bahwa determinan merupakan homomorfisma dari \(GL_2( {\mathbb R} )\) ke \({\mathbb R}^*\text{.}\)

2.

Manakah di antara pemetaan berikut yang merupakan homomorfisma? Jika pemetaannya merupakan homomorfisma, apakah kernelnya?
  1. \(\phi : {\mathbb R}^\ast \rightarrow GL_2 ( {\mathbb R})\) yang didefinisikan oleh
    \begin{equation*} \phi( a ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \end{equation*}
  2. \(\phi : {\mathbb R} \rightarrow GL_2 ( {\mathbb R})\) yang didefinisikan oleh
    \begin{equation*} \phi( a ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}
  3. \(\phi : GL_2 ({\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}\) yang didefinisikan oleh
    \begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = a + d \end{equation*}
  4. \(\phi : GL_2 ( {\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}^\ast\) yang didefinisikan oleh
    \begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = ad - bc \end{equation*}
  5. \(\phi : {\mathbb M}_2( {\mathbb R}) \rightarrow {\mathbb R}\) yang didefinisikan oleh
    \begin{equation*} \phi \left( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right) = b\text{,} \end{equation*}
    dengan \({\mathbb M}_2( {\mathbb R})\) sebagai grup aditif dari matriks \(2 \times 2\) yang entri-entrinya berada dalam \({\mathbb R}\text{.}\)
Petunjuk.
(a) merupakan homomorfisma dengan kernel \(\{ 1 \}\text{;}\) (c) bukan homomorfisma.

3.

Misalkan \(A\) adalah matriks \(m \times n\text{.}\) Tunjukkan bahwa perkalian matriks, \(x \mapsto Ax\text{,}\) mendefinisikan homomorfisma \(\phi : {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^m\text{.}\)

4.

Misalkan \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}\) diberikan oleh \(\phi(n) = 7n\text{.}\) Buktikan bahwa \(\phi\) merupakan homomorfisma grup. Carilah kernel dan citra \(\phi\text{.}\)
Petunjuk.
Karena \(\phi(m + n) = 7(m+n) = 7m + 7n = \phi(m) + \phi(n)\text{,}\) \(\phi\) merupakan homomorfisma.

5.

Jelaskan semua homomorfisma dari \({\mathbb Z}_{24}\) ke \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\)
Petunjuk.
Untuk setiap homomorfisma \(\phi : {\mathbb Z}_{24} \rightarrow {\mathbb Z}_{18}\text{,}\) kernel \(\phi\) harus merupakan subgrup dari \({\mathbb Z}_{24}\) dan citra \(\phi\) harus merupakan subgrup dari \({\mathbb Z}_{18}\text{.}\) Sekarang gunakan fakta bahwa suatu pembangkit harus dipetakan ke pembangkit.

6.

Jelaskan semua homomorfisma dari \({\mathbb Z}\) ke \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\)

7.

Dalam grup \({\mathbb Z}_{24}\text{,}\) ambil \(H = \langle 4 \rangle\) dan \(N = \langle 6 \rangle\text{.}\)
  1. Daftarkan elemen-elemen dalam \(HN\) (untuk grup aditif ini, kita biasanya menulis \(H + N\)) dan \(H \cap N\text{.}\)
  2. Daftarkan koset-koset dalam \(HN/N\text{,}\) beserta elemen-elemen dalam setiap koset.
  3. Daftarkan koset-koset dalam \(H/(H \cap N)\text{,}\) beserta elemen-elemen dalam setiap koset.
  4. Berikan korespondensi antara \(HN/N\) dan \(H/(H \cap N)\) yang dijelaskan dalam pembuktian Teorema Isomorfisma Kedua.

8.

Jika \(G\) adalah grup abelian dan \(n \in {\mathbb N}\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\phi : G \rightarrow G\) yang didefinisikan oleh \(g \mapsto g^n\) merupakan homomorfisma grup.

9.

Jika \(\phi : G \rightarrow H\) merupakan homomorfisma grup dan \(G\) abelian, buktikan bahwa \(\phi(G)\) juga abelian.
Petunjuk.
Misalkan \(a, b \in G\text{.}\) Maka \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b)\phi(a)\text{.}\)

10.

Jika \(\phi : G \rightarrow H\) merupakan homomorfisma grup dan \(G\) siklik, buktikan bahwa \(\phi(G)\) juga siklik.

11.

Tunjukkan bahwa homomorfisma yang didefinisikan pada grup siklik sepenuhnya ditentukan oleh tindakannya pada pembangkit grup tersebut.

12.

Jika grup \(G\) memiliki tepat satu subgrup \(H\) berorde \(k\text{,}\) buktikan bahwa \(H\) normal dalam \(G\text{.}\)

13.

Buktikan atau sangkal: \({\mathbb Q} / {\mathbb Z} \cong {\mathbb Q}\text{.}\)

14.

Misalkan \(G\) adalah grup berhingga dan \(N\) merupakan subgrup normal dari \(G\text{.}\) Jika \(H\) adalah subgrup dari \(G/N\text{,}\) buktikan bahwa \(\phi^{-1}(H)\) merupakan subgrup dalam \(G\) yang berorde \(|H| \cdot |N|\text{,}\) dengan \(\phi : G \rightarrow G/N\) sebagai homomorfisma kanonik.

15.

Misalkan \(G_1\) dan \(G_2\) adalah grup, dan \(H_1\) serta \(H_2\) masing-masing merupakan subgrup normal dari \(G_1\) dan \(G_2\text{.}\) Misalkan \(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) adalah homomorfisma. Tunjukkan bahwa \(\phi\) menginduksi homomorfisma \(\overline{\phi} : (G_1/H_1) \rightarrow (G_2/H_2)\) jika \(\phi(H_1) \subset H_2\text{.}\)

16.

Jika \(H\) dan \(K\) merupakan subgrup normal dari \(G\) dan \(H \cap K = \{ e \}\text{,}\) buktikan bahwa \(G\) isomorfik dengan suatu subgrup dari \(G/H \times G/K\text{.}\)

17.

Misalkan \(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) adalah homomorfisma grup surjektif. Misalkan \(H_1\) merupakan subgrup normal dari \(G_1\) dan anggap bahwa \(\phi(H_1) = H_2\text{.}\) Buktikan atau sangkal bahwa \(G_1/H_1 \cong G_2/H_2\text{.}\)
Petunjuk.
Carilah contoh penyangkal.

18.

Misalkan \(\phi : G \rightarrow H\) adalah homomorfisma grup. Tunjukkan bahwa \(\phi\) injektif jika dan hanya jika \(\phi^{-1}(e) = \{ e \}\text{.}\)

19.

Diberikan homomorfisma \(\phi :G \rightarrow H\text{,}\) definisikan relasi \(\sim\) pada \(G\) melalui \(a \sim b\) jika \(\phi(a) = \phi(b)\) untuk \(a, b \in G\text{.}\) Tunjukkan bahwa relasi ini merupakan relasi ekuivalensi dan jelaskan kelas-kelas ekuivalensinya.
Sblm.Paling AtasLanjut