Bagian 13.7 Sage

Tidak diperlukan alat canggih untuk memahami grup berorde \(2p\text{,}\) dengan \(p\) suatu bilangan prima ganjil. Terdapat dua kemungkinan — grup siklik berorde \(2p\) dan grup dihedral berorde \(2p\) yang merupakan himpunan simetri segi-\(p\) beraturan. Pembuktiannya memerlukan penalaran yang cermat dan ketat, tetapi teorema yang diperlukan umumnya hanya berkaitan dengan orde elemen, Teorema Lagrange, dan koset. Lihat Latihan 9.4.55. Hal ini menangani orde \(n=6,\,10,\,14\text{.}\)

Untuk \(n=9\text{,}\) Korolari 14.2.5 yang akan datang akan menyatakan bahwa setiap grup berorde \(p^2\) (dengan \(p\) suatu bilangan prima) bersifat abelian. Jadi, dari bagian ini kita mengetahui bahwa hanya ada dua kemungkinan, \({\mathbb Z}_9\) dan \({\mathbb Z}_3\times{\mathbb Z}_3\text{.}\) Demikian pula, Teorema 15.2.2 yang akan datang akan menyatakan bahwa setiap grup berorde \(n=15\) bersifat abelian. Dengan demikian, hanya tersisa satu kemungkinan untuk orde ini: \({\mathbb Z}_3\times{\mathbb Z}_5\cong{\mathbb Z}_{15}\text{.}\)

Hanya tersisa dua orde yang perlu dianalisis: \(n=8\) dan \(n=12\text{.}\) Kemungkinannya adalah grup-grup yang sudah kita kenal, dengan satu pengecualian. Namun, analisis untuk membuktikan bahwa inilah satu-satunya kemungkinan lebih rumit, dan tidak akan dibahas sekarang ataupun dalam beberapa bab berikutnya. Perhatikan bahwa \(n=16\) bahkan lebih rumit, dengan \(14\) kemungkinan berbeda (yang menjelaskan alasan kita berhenti di sini).

Untuk \(n=8\text{,}\) terdapat \(3\) grup abelian, dan dua grup nonabeliannya adalah grup dihedral (simetri-simetri persegi) dan kuaternion.

Untuk \(n=12\text{,}\) terdapat \(2\) grup abelian dan \(3\) grup nonabelian. Kita mengenal dua grup nonabelian tersebut sebagai grup dihedral dan grup alternasi pada \(4\) simbol (yang juga merupakan grup simetri tetrahedron). Grup nonabelian ketiga merupakan contoh grup “disiklik”, yaitu suatu keluarga grup tak hingga yang setiap ordenya habis dibagi \(4\text{.}\) Grup disiklik berorde \(12\) juga dapat dibangun sebagai “hasil kali semilangsung” dari dua grup siklik — konstruksi ini patut diketahui ketika Anda melanjutkan kajian teori grup. Grup disiklik berorde \(8\) juga merupakan grup kuaternion dan, secara lebih umum, grup disiklik berorde \(2^k\text{,}\) dengan \(k>2\text{,}\) dikenal sebagai “grup kuaternion tergeneralisasi.”

Contoh-contoh berikut akan menunjukkan cara membangun beberapa grup tersebut, sekaligus melatih penggunaan sejumlah perintah dan memungkinkan kita lebih yakin bahwa tabel berikut akurat.

S = SymmetricGroup(3)
D = DihedralGroup(3)
S.is_isomorphic(D)

True

C3 = CyclicPermutationGroup(3)
C5 = CyclicPermutationGroup(5)
DP = direct_product_permgroups([C3, C5])
C  = CyclicPermutationGroup(15)
DP.is_isomorphic(C)

True

Q  = QuaternionGroup()
DI = DiCyclicGroup(2)
Q.is_isomorphic(DI)

True

Di sini kita daftarkan konstruksi sebagai grup permutasi dalam Sage untuk semua grup berorde kurang dari \(16\text{.}\)