Lewati ke konten utama

Bagian 11.2 Teorema-Teorema Isomorfisma

Walaupun pada awalnya tidak tampak jelas, grup hasil bagi bersesuaian tepat dengan citra homomorfik, dan kita dapat menggunakan grup hasil bagi untuk mempelajari homomorfisma. Kita telah mengetahui bahwa pada setiap homomorfisma grup \(\phi: G \rightarrow H\) kita dapat mengaitkan subgrup normal dari \(G\text{,}\) yaitu \(\ker \phi\text{.}\) Kebalikannya juga benar; yaitu, setiap subgrup normal dari suatu grup \(G\) menghasilkan homomorfisma grup.
Misalkan \(H\) adalah subgrup normal dari \(G\text{.}\) Definisikan homomorfisma alami atau homomorfisma kanonik
\begin{equation*} \phi : G \rightarrow G/H \end{equation*}
melalui
\begin{equation*} \phi(g) = gH\text{.} \end{equation*}
Pemetaan ini memang merupakan homomorfisma, karena
\begin{equation*} \phi( g_1 g_2 ) = g_1 g_2 H = g_1 H g_2 H = \phi( g_1) \phi( g_2 )\text{.} \end{equation*}
Kernel homomorfisma ini adalah \(H\text{.}\) Teorema-teorema berikut menjelaskan hubungan antara homomorfisma grup, subgrup normal, dan grup hasil bagi.

Bukti.
Kita telah mengetahui bahwa \(K\) normal dalam \(G\text{.}\) Definisikan \(\eta: G/K \rightarrow \psi(G)\) melalui \(\eta(gK) = \psi(g)\text{.}\) Pertama-tama, kita tunjukkan bahwa \(\eta\) terdefinisi dengan baik. Jika \(g_1 K =g_2 K\text{,}\) maka untuk suatu \(k \in K\text{,}\) \(g_1 k=g_2\text{;}\) akibatnya,
\begin{equation*} \eta(g_1 K) = \psi(g_1) = \psi(g_1) \psi(k) = \psi(g_1k) = \psi(g_2) = \eta(g_2 K)\text{.} \end{equation*}
Jadi, \(\eta\) tidak bergantung pada pemilihan wakil koset, dan pemetaan \(\eta: G/K \rightarrow \psi(G)\) terdefinisi secara unik karena \(\psi = \eta \phi\text{.}\) Kita juga harus menunjukkan bahwa \(\eta\) merupakan homomorfisma. Memang,
\begin{align*} \eta( g_1K g_2K ) & = \eta(g_1 g_2K)\\ & = \psi(g_1 g_2)\\ & = \psi(g_1) \psi(g_2)\\ & = \eta( g_1K) \eta( g_2K )\text{.} \end{align*}
Jelas bahwa \(\eta\) memetakan secara surjektif ke \(\psi( G)\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(\eta\) injektif, misalkan \(\eta(g_1 K) = \eta(g_2 K)\text{.}\) Maka \(\psi(g_1) = \psi(g_2)\text{.}\) Ini menyiratkan \(\psi( g_1^{-1} g_2 ) = e\text{,}\) atau \(g_1^{-1} g_2\) berada dalam kernel \(\psi\text{;}\) oleh karena itu, \(g_1^{-1} g_2K = K\text{;}\) yaitu, \(g_1K =g_2K\text{.}\)
Matematikawan sering menggunakan diagram yang disebut diagram komutatif untuk menjelaskan teorema semacam ini. Diagram berikut “komutatif” karena \(\psi = \eta \phi\text{.}\)
Diagram dengan G dipetakan oleh psi melalui panah menuju H pada baris atas. G dipetakan oleh phi melalui panah ke bawah dan ke kanan menuju G/K. G/K dipetakan oleh eta melalui panah ke atas dan ke kanan menuju H.

Contoh 11.2.2.

Misalkan \(G\) adalah grup siklik dengan pembangkit \(g\text{.}\) Definisikan pemetaan \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow G\) melalui \(n \mapsto g^n\text{.}\) Pemetaan ini merupakan homomorfisma surjektif karena
\begin{equation*} \phi( m + n) = g^{m+n} = g^m g^n = \phi(m) \phi(n)\text{.} \end{equation*}
Jelas bahwa \(\phi\) surjektif. Jika \(|g| = m\text{,}\) maka \(g^m = e\text{.}\) Oleh karena itu, \(\ker \phi = m {\mathbb Z}\) dan \({\mathbb Z} / \ker \phi = {\mathbb Z} / m {\mathbb Z} \cong G\text{.}\) Sebaliknya, jika orde \(g\) tak berhingga, maka \(\ker \phi = 0\) dan \(\phi\) merupakan isomorfisma antara \(G\) dan \({\mathbb Z}\text{.}\) Jadi, dua grup siklik isomorfik tepat ketika keduanya memiliki orde yang sama. Hingga isomorfisma, grup siklik yang ada hanyalah \({\mathbb Z}\) dan \({\mathbb Z}_n\text{.}\)

Bukti.
Pertama-tama, kita tunjukkan bahwa \(HN = \{ hn : h \in H, n \in N \}\) merupakan subgrup dari \(G\text{.}\) Misalkan \(h_1 n_1, h_2 n_2 \in HN\text{.}\) Karena \(N\) normal, \((h_2)^{-1} n_1 h_2 \in N\text{.}\) Jadi,
\begin{equation*} (h_1 n_1)(h_2 n_2) = h_1 h_2 ( (h_2)^{-1} n_1 h_2 )n_2 \end{equation*}
berada dalam \(HN\text{.}\) Invers dari \(hn \in HN\) berada dalam \(HN\) karena
\begin{equation*} ( hn )^{-1} = n^{-1 } h^{-1} = h^{-1} (h n^{-1} h^{-1} )\text{.} \end{equation*}
Selanjutnya, kita buktikan bahwa \(H \cap N\) normal dalam \(H\text{.}\) Misalkan \(h \in H\) dan \(n \in H \cap N\text{.}\) Maka \(h^{-1} n h \in H\) karena setiap elemennya berada dalam \(H\text{.}\) Selain itu, \(h^{-1} n h \in N\) karena \(N\) normal dalam \(G\text{;}\) oleh karena itu, \(h^{-1} n h \in H \cap N\text{.}\)
Sekarang definisikan pemetaan \(\phi\) dari \(H\) ke \(HN / N\) melalui \(h \mapsto h N\text{.}\) Pemetaan \(\phi\) surjektif, karena setiap koset \(h n N = h N\) merupakan citra dari \(h\) dalam \(H\text{.}\) Kita juga mengetahui bahwa \(\phi\) merupakan homomorfisma karena
\begin{equation*} \phi( h h') = h h' N = h N h' N = \phi( h ) \phi( h')\text{.} \end{equation*}
Berdasarkan Teorema Isomorfisma Pertama, citra \(\phi\) isomorfik dengan \(H / \ker \phi\text{;}\) yaitu,
\begin{equation*} HN/N = \phi(H) \cong H / \ker \phi\text{.} \end{equation*}
Karena
\begin{equation*} \ker \phi = \{ h \in H : h \in N \} = H \cap N\text{,} \end{equation*}
\(HN/N = \phi(H) \cong H / H \cap N\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(H\) adalah subgrup dari \(G\) yang memuat \(N\text{.}\) Karena \(N\) normal dalam \(H\text{,}\) maka \(H/N\) merupakan grup hasil bagi. Misalkan \(aN\) dan \(bN\) adalah elemen dari \(H/N\text{.}\) Maka \((aN)( b^{-1} N )= ab^{-1}N \in H/N\text{;}\) oleh karena itu, \(H/N\) merupakan subgrup dari \(G/N\text{.}\)
Misalkan \(S\) adalah subgrup dari \(G/N\text{.}\) Subgrup ini merupakan himpunan koset dari \(N\text{.}\) Jika \(H= \{ g \in G : gN \in S \}\text{,}\) maka untuk \(h_1, h_2 \in H\text{,}\) berlaku \((h_1 N)( h_2 N )= h_1 h_2 N \in S\) dan \(h_1^{-1} N \in S\text{.}\) Oleh karena itu, \(H\) harus merupakan subgrup dari \(G\text{.}\) Jelas bahwa \(H\) memuat \(N\text{.}\) Jadi, \(S = H / N\text{.}\) Akibatnya, pemetaan \(H \mapsto H/N\) bersifat surjektif.
Misalkan \(H_1\) dan \(H_2\) adalah subgrup dari \(G\) yang memuat \(N\) sedemikian sehingga \(H_1/N = H_2/N\text{.}\) Jika \(h_1 \in H_1\text{,}\) maka \(h_1 N \in H_1/N\text{.}\) Jadi, \(h_1 N = h_2 N \subset H_2\) untuk suatu \(h_2\) dalam \(H_2\text{.}\) Namun, karena \(N\) termuat dalam \(H_2\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(h_1 \in H_2\) atau \(H_1 \subset H_2\text{.}\) Dengan cara yang sama, \(H_2 \subset H_1\text{.}\) Karena \(H_1 = H_2\text{,}\) pemetaan \(H \mapsto H/N\) bersifat injektif.
Misalkan \(H\) normal dalam \(G\) dan \(N\) adalah subgrup dari \(H\text{.}\) Mudah diverifikasi bahwa pemetaan \(G/N \rightarrow G/H\) yang didefinisikan oleh \(gN \mapsto gH\) merupakan homomorfisma. Kernel homomorfisma ini adalah \(H/N\text{,}\) yang membuktikan bahwa \(H/N\) normal dalam \(G/N\text{.}\)
Sebaliknya, misalkan \(H/N\) normal dalam \(G/N\text{.}\) Homomorfisma yang diberikan oleh
\begin{equation*} G \rightarrow G/N \rightarrow \frac{G/N}{H/N} \end{equation*}
memiliki kernel \(H\text{.}\) Oleh karena itu, \(H\) harus normal dalam \(G\text{.}\)
Perhatikan bahwa selama membuktikan Teorema 11.2.4, kita juga telah membuktikan teorema berikut.

Contoh 11.2.6.

Berdasarkan Teorema Isomorfisma Ketiga,
\begin{equation*} {\mathbb Z} / m {\mathbb Z} \cong ({\mathbb Z}/ mn {\mathbb Z})/ (m {\mathbb Z}/ mn {\mathbb Z})\text{.} \end{equation*}
Karena \(| {\mathbb Z} / mn {\mathbb Z} | = mn\) dan \(|{\mathbb Z} / m{\mathbb Z}| = m\text{,}\) kita memperoleh \(| m {\mathbb Z} / mn {\mathbb Z}| = n\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut