Tugas pertama kita adalah menunjukkan bahwa
\(R[x]\) merupakan grup abelian terhadap penjumlahan polinomial. Polinomial nol,
\(f(x) = 0\text{,}\) adalah identitas aditif. Untuk suatu polinomial
\(p(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{,}\) invers
\(p(x)\) mudah diverifikasi sebagai
\(-p(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-a_i) x^i = -\sum_{i = 0}^{n} a_i x^i\text{.}\) Komutativitas dan asosiativitas langsung mengikuti dari definisi penjumlahan polinomial dan fakta bahwa penjumlahan di
\(R\) bersifat komutatif sekaligus asosiatif.
Untuk menunjukkan bahwa perkalian polinomial bersifat asosiatif, misalkan
\begin{align*}
p(x) & = \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i,\\
q(x) & = \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i,\\
r(x) & = \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i\text{.}
\end{align*}
Maka
\begin{align*}
[p(x) q(x)] r(x) & = \left[ \left( \sum_{i=0}^{m} a_i x^i \right) \left( \sum_{i=0}^{n} b_i x^i \right) \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\
& = \left[ \sum_{i = 0}^{m+n} \left( \sum_{j = 0}^{i} a_j b_{i - j} \right) x^i \right] \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right)\\
& = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} \left( \sum_{k=0}^j a_k b_{j-k} \right) c_{i-j} \right] x^i\\
& = \sum_{i = 0}^{m + n + p} \left(\sum_{j + k + l = i} a_j b_k c_l \right) x^i\\
& = \sum_{i = 0}^{m+n+p} \left[ \sum_{j = 0}^{i} a_j \left( \sum_{k = 0}^{i - j} b_k c_{i - j - k} \right) \right] x^i\\
& = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \sum_{i = 0}^{n + p} \left( \sum_{j = 0}^{i} b_j c_{i - j} \right) x^i \right]\\
& = \left( \sum_{i = 0}^{m} a_i x^i \right) \left[ \left( \sum_{i = 0}^{n} b_i x^i \right) \left( \sum_{i = 0}^{p} c_i x^i \right) \right]\\
& = p(x) [ q(x) r(x) ]
\end{align*}
Sifat komutatif dan distributif perkalian polinomial dibuktikan dengan cara serupa. Bukti sifat-sifat ini kita serahkan sebagai latihan.
