Latihan 16.7 Latihan

1.

Manakah di antara himpunan berikut yang merupakan gelanggang terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa? Jika himpunan tersebut merupakan gelanggang, apakah himpunan itu juga merupakan lapangan?

\(\displaystyle 7 {\mathbb Z}\)
\(\displaystyle {\mathbb Z}_{18}\)
\(\displaystyle {\mathbb Q} ( \sqrt{2}\, ) = \{a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q}\}\)
\(\displaystyle {\mathbb Q} ( \sqrt{2}, \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} : a, b, c, d \in {\mathbb Q}\}\)
\(\displaystyle {\mathbb Z}[\sqrt{3}\, ] = \{ a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Z} \}\)
\(\displaystyle R = \{a + b \sqrt[3]{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\)
\(\displaystyle {\mathbb Z}[ i ] = \{ a + b i : a, b \in {\mathbb Z} \text{ dan } i^2 = -1 \}\)
\(\displaystyle {\mathbb Q}( \sqrt[3]{3}\, ) = \{ a + b \sqrt[3]{3} + c \sqrt[3]{9} : a, b, c \in {\mathbb Q} \}\)

Petunjuk.

(a) \(7 {\mathbb Z}\) merupakan gelanggang tetapi bukan lapangan; (c) \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) merupakan lapangan; (f) \(R\) bukan gelanggang.

2.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang matriks \(2 \times 2\) berbentuk

\begin{equation*} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\text{,} \end{equation*}

dengan \(a, b \in {\mathbb R}\text{.}\) Tunjukkan bahwa meskipun \(R\) merupakan gelanggang yang tidak memiliki identitas, kita dapat menemukan subgelanggang \(S\) dari \(R\) yang memiliki identitas.

3.

Daftarkan atau karakterisasikan semua unsur satuan dalam setiap gelanggang berikut.

\(\displaystyle {\mathbb Z}_{10}\)
\(\displaystyle {\mathbb Z}_{12}\)
\(\displaystyle {\mathbb Z}_{7}\)
\({\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}\) yaitu matriks \(2 \times 2\) dengan entri dalam \({\mathbb Z}\)
\({\mathbb M}_2( {\mathbb Z}_2 )\text{,}\) yaitu matriks \(2 \times 2\) dengan entri dalam \({\mathbb Z}_2\)

Petunjuk.

(a) \(\{1, 3, 7, 9 \}\text{;}\) (c) \(\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}\text{;}\) (e)

\begin{equation*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \right\}\text{.} \end{equation*}

4.

Tentukan semua ideal dalam setiap gelanggang berikut. Manakah di antara ideal-ideal tersebut yang maksimal dan manakah yang prima?

\(\displaystyle {\mathbb Z}_{18}\)
\(\displaystyle {\mathbb Z}_{25}\)
\({\mathbb M}_2( {\mathbb R} )\text{,}\) yaitu matriks \(2 \times 2\) dengan entri dalam \({\mathbb R}\)
\({\mathbb M}_2( {\mathbb Z} )\text{,}\) yaitu matriks \(2 \times 2\) dengan entri dalam \({\mathbb Z}\)
\(\displaystyle {\mathbb Q}\)

Petunjuk.

(a) \(\{0 \}\text{,}\) \(\{0, 9 \}\text{,}\) \(\{0, 6, 12 \}\text{,}\) \(\{0, 3, 6, 9, 12, 15 \}\text{,}\) \(\{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 \}\text{;}\) (c) tidak ada ideal taktrivial.

5.

Untuk setiap gelanggang \(R\) berikut beserta ideal \(I\text{,}\) berikan tabel penjumlahan dan tabel perkalian untuk \(R/I\text{.}\)

\(R = {\mathbb Z}\) dan \(I = 6 {\mathbb Z}\)
\(R = {\mathbb Z}_{12}\) dan \(I = \{ 0, 3, 6, 9 \}\)

6.

Tentukan semua homomorfisma \(\phi : {\mathbb Z} / 6 {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z} / 15 {\mathbb Z}\text{.}\)

7.

Buktikan bahwa \({\mathbb R}\) tidak isomorfik dengan \({\mathbb C}\text{.}\)

Petunjuk.

Andaikan terdapat isomorfisma \(\phi: {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb R}\) dengan \(\phi(i) = a\text{.}\)

8.

Buktikan atau sangkal: Gelanggang \({\mathbb Q}( \sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q} \}\) isomorfik dengan gelanggang \({\mathbb Q}( \sqrt{3}\, ) = \{a + b \sqrt{3} : a, b \in {\mathbb Q} \}\text{.}\)

Petunjuk.

Salah. Andaikan terdapat isomorfisma \(\phi: {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) \rightarrow {\mathbb Q}(\sqrt{3}\, )\) sedemikian sehingga \(\phi(\sqrt{2}\, ) = a\text{.}\)

9.

Berapakah karakteristik lapangan yang dibentuk oleh himpunan matriks

\begin{equation*} F = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{equation*}

dengan entri dalam \({\mathbb Z}_2\text{?}\)

10.

Definisikan pemetaan \(\phi : {\mathbb C} \rightarrow {\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\) dengan

\begin{equation*} \phi( a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\text{.} \end{equation*}

Tunjukkan bahwa \(\phi\) merupakan isomorfisma dari \({\mathbb C}\) ke citranya dalam \({\mathbb M}_2 ({\mathbb R})\text{.}\)

11.

Buktikan bahwa bilangan bulat Gauss, \({\mathbb Z}[i ]\text{,}\) membentuk daerah integral.

12.

Buktikan bahwa \({\mathbb Z}[ \sqrt{3}\, i ] = \{ a + b \sqrt{3}\, i : a, b \in {\mathbb Z} \}\) merupakan daerah integral.

13.

Selesaikan setiap sistem kongruensi berikut.

\begin{align*} x & \equiv 2 \pmod{5}\\ x & \equiv 6 \pmod{11} \end{align*}
\begin{align*} x & \equiv 3 \pmod{7}\\ x & \equiv 0 \pmod{8}\\ x & \equiv 5 \pmod{15} \end{align*}
\begin{align*} x & \equiv 2 \pmod{4}\\ x & \equiv 4 \pmod{7}\\ x & \equiv 7 \pmod{9}\\ x & \equiv 5 \pmod{11} \end{align*}
\begin{align*} x & \equiv 3 \pmod{5}\\ x & \equiv 0 \pmod{8}\\ x & \equiv 1 \pmod{11}\\ x & \equiv 5 \pmod{13} \end{align*}

Petunjuk.

(a) \(x \equiv 17 \pmod{55}\text{;}\) (c) \(x \equiv 214 \pmod{2772}\text{.}\)

14.

Gunakan metode komputasi paralel yang diuraikan dalam teks untuk menghitung \(2234 + 4121\) dengan membagi perhitungan menjadi empat penjumlahan terpisah modulo \(95\text{,}\) \(97\text{,}\) \(98\text{,}\) dan \(99\text{.}\)

15.

Jelaskan mengapa metode komputasi paralel yang diuraikan dalam teks gagal untuk \(2134 \cdot 1531\) jika kita mencoba memecah perhitungan menjadi dua perhitungan yang lebih kecil modulo \(98\) dan \(99\text{.}\)

16.

Jika \(R\) merupakan lapangan, tunjukkan bahwa dua ideal satu-satunya dari \(R\) adalah \(\{ 0 \}\) dan \(R\) sendiri.

Petunjuk.

Jika \(I \neq \{ 0 \}\text{,}\) tunjukkan bahwa \(1 \in I\text{.}\)

17.

Misalkan \(a\) adalah sembarang unsur dalam gelanggang \(R\) yang memiliki identitas. Tunjukkan bahwa \((-1)a = -a\text{.}\)

18.

Misalkan \(\phi : R \rightarrow S\) adalah homomorfisma gelanggang. Buktikan setiap pernyataan berikut.

Jika \(R\) merupakan gelanggang komutatif, maka \(\phi(R)\) merupakan gelanggang komutatif.
\(\phi( 0 ) = 0\text{.}\)
Misalkan \(1_R\) dan \(1_S\) masing-masing merupakan identitas untuk \(R\) dan \(S\text{.}\) Jika \(\phi\) surjektif, maka \(\phi(1_R) = 1_S\text{.}\)
Jika \(R\) merupakan lapangan dan \(\phi(R) \neq 0\text{,}\) maka \(\phi(R)\) merupakan lapangan.

Petunjuk.

(a) \(\phi(a) \phi(b) = \phi(ab) = \phi(ba) = \phi(b) \phi(a)\text{.}\)

19.

Buktikan bahwa hukum asosiatif untuk perkalian dan hukum-hukum distributif berlaku dalam \(R/I\text{.}\)

20.

Buktikan Teorema Isomorfisma Kedua untuk gelanggang: Misalkan \(I\) adalah subgelanggang dari gelanggang \(R\) dan \(J\) adalah ideal dalam \(R\text{.}\) Maka \(I \cap J\) merupakan ideal dalam \(I\) dan

\begin{equation*} I / I \cap J \cong I + J /J\text{.} \end{equation*}

21.

Buktikan Teorema Isomorfisma Ketiga untuk gelanggang: Misalkan \(R\) adalah gelanggang dan \(I\) serta \(J\) adalah ideal-ideal dari \(R\text{,}\) dengan \(J \subset I\text{.}\) Maka

\begin{equation*} R/I \cong \frac{R/J}{I/J}\text{.} \end{equation*}

22.

Buktikan Teorema Korespondensi: Misalkan \(I\) adalah ideal dari gelanggang \(R\text{.}\) Maka \(S \rightarrow S/I\) merupakan korespondensi satu-satu antara himpunan subgelanggang \(S\) yang memuat \(I\) dan himpunan subgelanggang dari \(R/I\text{.}\) Selain itu, ideal-ideal dari \(R\) berkorespondensi dengan ideal-ideal dari \(R/I\text{.}\)

23.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang dan \(S\) merupakan himpunan bagian dari \(R\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(S\) merupakan subgelanggang dari \(R\) jika dan hanya jika setiap syarat berikut dipenuhi.

\(S \neq \emptyset\text{.}\)
\(rs \in S\) untuk semua \(r, s \in S\text{.}\)
\(r - s \in S\) untuk semua \(r, s \in S\text{.}\)

24.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang dengan koleksi subgelanggang \(\{ R_{\alpha} \}\text{.}\) Buktikan bahwa \(\bigcap R_{\alpha}\) merupakan subgelanggang dari \(R\text{.}\) Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa gabungan dua subgelanggang belum tentu merupakan subgelanggang.

25.

Misalkan \(\{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A}\) adalah koleksi ideal dalam gelanggang \(R\text{.}\) Buktikan bahwa \(\bigcap_{\alpha \in A} I_{\alpha}\) juga merupakan ideal dalam \(R\text{.}\) Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa jika \(I_1\) dan \(I_2\) adalah ideal-ideal dalam \(R\text{,}\) maka \(I_1 \cup I_2\) mungkin bukan ideal.

26.

Misalkan \(R\) adalah daerah integral. Tunjukkan bahwa jika ideal satu-satunya dalam \(R\) adalah \(\{ 0 \}\) dan \(R\) sendiri, maka \(R\) harus merupakan lapangan.

Petunjuk.

Misalkan \(a \in R\) dengan \(a \neq 0\text{.}\) Maka ideal utama yang dibangun oleh \(a\) adalah \(R\text{.}\) Jadi, terdapat \(b \in R\) sedemikian sehingga \(ab =1\text{.}\)

27.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang komutatif. Unsur \(a\) dalam \(R\) disebut nilpoten jika \(a^n = 0\) untuk suatu bilangan bulat positif \(n\text{.}\) Tunjukkan bahwa himpunan semua unsur nilpoten membentuk ideal dalam \(R\text{.}\)

28.

Gelanggang \(R\) disebut gelanggang Boolean jika untuk setiap \(a \in R\text{,}\) \(a^2 = a\text{.}\) Tunjukkan bahwa setiap gelanggang Boolean merupakan gelanggang komutatif.

Petunjuk.

Hitung \((a+b)^2\) dan \((-ab)^2\text{.}\)

29.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang dengan \(a^3 =a\) untuk semua \(a \in R\text{.}\) Buktikan bahwa \(R\) harus merupakan gelanggang komutatif.

30.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang dengan identitas \(1_R\) dan \(S\) adalah subgelanggang dari \(R\) dengan identitas \(1_S\text{.}\) Buktikan atau sangkal bahwa \(1_R = 1_S\text{.}\)

31.

Jika kita tidak mensyaratkan identitas gelanggang berbeda dari 0, kita tidak akan memperoleh struktur matematika yang terlalu menarik. Misalkan \(R\) adalah gelanggang sedemikian sehingga \(1 = 0\text{.}\) Buktikan bahwa \(R = \{ 0 \}\text{.}\)

32.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang. Definisikan pusat dari \(R\) sebagai

\begin{equation*} Z(R) = \{ a \in R : ar = ra \text{ untuk semua } r \in R \}\text{.} \end{equation*}

Buktikan bahwa \(Z(R)\) merupakan subgelanggang komutatif dari \(R\text{.}\)

33.

Misalkan \(p\) adalah bilangan prima. Buktikan bahwa

\begin{equation*} {\mathbb Z}_{(p)} = \{ a / b : a, b \in {\mathbb Z} \text{ dan } \gcd( b,p) = 1 \} \end{equation*}

merupakan gelanggang. Gelanggang \({\mathbb Z}_{(p)}\) disebut gelanggang bilangan bulat yang dilokalkan di \(p\text{.}\)

Petunjuk.

Misalkan \(a/b, c/d \in {\mathbb Z}_{(p)}\text{.}\) Maka \(a/b + c/d = (ad + bc)/bd\) dan \((a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)\) keduanya berada dalam \({\mathbb Z}_{(p)}\text{,}\) karena \(\gcd(bd,p) = 1\text{.}\)

34.

Buktikan atau sangkal: Setiap daerah integral berhingga isomorfik dengan \({\mathbb Z}_p\text{.}\)

35.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang dengan identitas.

Misalkan \(u\) adalah unsur satuan dalam \(R\text{.}\) Definisikan pemetaan \(i_u : R \rightarrow R\) dengan \(r \mapsto uru^{-1}\text{.}\) Buktikan bahwa \(i_u\) merupakan automorfisme dari \(R\text{.}\) Automorfisme \(R\) semacam ini disebut automorfisme dalam dari \(R\text{.}\) Nyatakan himpunan semua automorfisme dalam dari \(R\) dengan \(\inn(R)\text{.}\)
Nyatakan himpunan semua automorfisme dari \(R\) dengan \(\aut(R)\text{.}\) Buktikan bahwa \(\inn(R)\) merupakan subgrup normal dari \(\aut(R)\text{.}\)
Misalkan \(U(R)\) adalah grup unsur satuan dalam \(R\text{.}\) Buktikan bahwa pemetaan

\begin{equation*} \phi : U(R) \rightarrow \inn(R) \end{equation*}

yang didefinisikan oleh \(u \mapsto i_u\) merupakan homomorfisma. Tentukan kernel dari \(\phi\text{.}\)
Hitung \(\aut( {\mathbb Z})\text{,}\) \(\inn( {\mathbb Z})\text{,}\) dan \(U( {\mathbb Z})\text{.}\)

36.

Misalkan \(R\) dan \(S\) adalah gelanggang sembarang. Tunjukkan bahwa hasil kali Cartesiusnya merupakan gelanggang jika kita mendefinisikan penjumlahan dan perkalian dalam \(R \times S\) dengan

\(\displaystyle (r, s) + (r', s') = ( r + r', s + s')\)
\(\displaystyle (r, s)(r', s') = ( rr', ss')\)

37.

Unsur \(x\) dalam suatu gelanggang disebut idempoten jika \(x^2 = x\text{.}\) Buktikan bahwa idempoten satu-satunya dalam daerah integral adalah \(0\) dan \(1\text{.}\) Temukan gelanggang dengan suatu idempoten \(x\) yang tidak sama dengan \(0\) ataupun \(1\text{.}\)

Petunjuk.

Misalkan \(x^2 = x\) dan \(x \neq 0\text{.}\) Karena \(R\) merupakan daerah integral, \(x = 1\text{.}\) Untuk menemukan idempoten taktrivial, carilah dalam \({\mathbb M}_2({\mathbb R})\text{.}\)

38.

Misalkan \(\gcd(a, n) = d\) dan \(\gcd(b, d) \neq 1\text{.}\) Buktikan bahwa \(ax \equiv b \pmod{n}\) tidak mempunyai solusi.

39. Teorema Sisa Cina untuk Gelanggang.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang dan \(I\) serta \(J\) adalah ideal-ideal dalam \(R\) sedemikian sehingga \(I+J = R\text{.}\)

Tunjukkan bahwa untuk sembarang \(r\) dan \(s\) dalam \(R\text{,}\) sistem persamaan

\begin{align*} x & \equiv r \pmod{I}\\ x & \equiv s \pmod{J} \end{align*}

mempunyai solusi.
Selain itu, buktikan bahwa sembarang dua solusi sistem tersebut kongruen modulo \(I \cap J\text{.}\)
Misalkan \(I\) dan \(J\) adalah ideal-ideal dalam gelanggang \(R\) sedemikian sehingga \(I + J = R\text{.}\) Tunjukkan bahwa terdapat isomorfisma gelanggang

\begin{equation*} R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J\text{.} \end{equation*}

Sblm.Paling Atas Lanjut