Pertama-tama kita akan meninjau keberadaan \(q(x)\) dan \(r(x)\text{.}\) Jika \(f(x)\) adalah polinomial nol, maka
\begin{equation*}
0 = 0 \cdot g(x) + 0;
\end{equation*}
jadi, \(q\) dan \(r\) juga harus merupakan polinomial nol. Sekarang misalkan \(f(x)\) bukan polinomial nol serta \(\deg f(x) = n\) dan \(\deg g(x) = m\text{.}\) Jika \(m \gt n\text{,}\) kita dapat mengambil \(q(x) = 0\) dan \(r(x) = f(x)\text{.}\) Jadi, kita boleh mengasumsikan bahwa \(m \leq n\) dan melanjutkan dengan induksi pada \(n\text{.}\) Jika
\begin{align*}
f(x) & = a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0\\
g(x) & = b_m x^m + b_{m-1} x^{m - 1} + \cdots + b_1 x + b_0
\end{align*}
maka polinomial
\begin{equation*}
f'(x) = f(x) - \frac{a_n}{b_m} x^{n - m} g(x)
\end{equation*}
berderajat kurang dari \(n\) atau merupakan polinomial nol. Berdasarkan induksi, terdapat polinomial \(q'(x)\) dan \(r(x)\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
f'(x) = q'(x) g(x) + r(x)\text{,}
\end{equation*}
dengan \(r(x) = 0\) atau derajat \(r(x)\) kurang dari derajat \(g(x)\text{.}\) Sekarang ambil
\begin{equation*}
q(x) = q'(x) + \frac{a_n}{b_m} x^{n - m}\text{.}
\end{equation*}
Maka
\begin{equation*}
f(x) = g(x) q(x) + r(x)\text{,}
\end{equation*}
dengan \(r(x)\) polinomial nol atau \(\deg r(x) \lt \deg g(x)\text{.}\)
Untuk menunjukkan bahwa \(q(x)\) dan \(r(x)\) tunggal, misalkan terdapat dua polinomial lain \(q_1(x)\) dan \(r_1(x)\) sedemikian sehingga \(f(x) = g(x) q_1(x) + r_1(x)\) dengan \(\deg r_1(x) \lt \deg g(x)\) atau \(r_1(x) = 0\text{,}\) sehingga
\begin{equation*}
f(x) = g(x) q(x) + r(x) = g(x) q_1(x) + r_1(x)\text{,}
\end{equation*}
dan
\begin{equation*}
g(x) [q(x) - q_1(x) ] = r_1(x) - r(x)\text{.}
\end{equation*}
Jika \(q(x) - q_1(x)\) bukan polinomial nol, maka
\begin{equation*}
\deg( g(x) [q(x) - q_1(x) ] )= \deg( r_1(x) - r(x) ) \geq \deg g(x)\text{.}
\end{equation*}
Akan tetapi, derajat \(r(x)\) dan \(r_1(x)\) keduanya lebih kecil secara tegas daripada derajat \(g(x)\text{;}\) oleh karena itu, \(r(x) = r_1(x)\) dan \(q(x) = q_1(x)\text{.}\)
