Lewati ke konten utama

Bagian 20.1 Definisi dan Contoh

Ruang vektor \(V\) atas suatu lapangan \(F\) adalah grup abelian yang dilengkapi hasil kali skalar \(\alpha \cdot v\) atau \(\alpha v\text{,}\) yang didefinisikan untuk setiap \(\alpha \in F\) dan setiap \(v \in V\text{,}\) serta memenuhi aksioma-aksioma berikut.
  • \(\alpha(\beta v) =(\alpha \beta)v\text{;}\)
  • \((\alpha + \beta)v =\alpha v + \beta v\text{;}\)
  • \(\alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v\text{;}\)
  • \(1v=v\text{;}\)
dengan \(\alpha, \beta \in F\) dan \(u, v \in V\text{.}\)
Elemen-elemen \(V\) disebut vektor; elemen-elemen \(F\) disebut skalar. Penting untuk diperhatikan bahwa dalam kebanyakan kasus, dua vektor tidak dapat dikalikan. Secara umum, kita hanya dapat mengalikan suatu vektor dengan suatu skalar. Untuk membedakan nol skalar dari vektor nol, kita akan menuliskannya masing-masing sebagai 0 dan \({\mathbf 0}\text{.}\)
Mari kita telaah beberapa contoh ruang vektor. Sebagian di antaranya akan terasa cukup akrab; sebagian lainnya mungkin tidak.

Contoh 20.1.1.

Tupel-\(n\) bilangan real, yang dinotasikan dengan \({\mathbb R}^n\text{,}\) membentuk ruang vektor atas \({\mathbb R}\text{.}\) Diberikan vektor \(u = (u_1, \ldots, u_n)\) dan \(v = (v_1, \ldots, v_n)\) dalam \({\mathbb R}^n\) dan \(\alpha\) dalam \({\mathbb R}\text{,}\) kita dapat mendefinisikan penjumlahan vektor dengan
\begin{equation*} u + v = (u_1, \ldots, u_n) + (v_1, \ldots, v_n) = (u_1 + v_1, \ldots, u_n + v_n) \end{equation*}
dan perkalian skalar dengan
\begin{equation*} \alpha u = \alpha(u_1, \ldots, u_n)= (\alpha u_1, \ldots, \alpha u_n)\text{.} \end{equation*}

Contoh 20.1.2.

Jika \(F\) adalah lapangan, maka \(F[x]\) merupakan ruang vektor atas \(F\text{.}\) Vektor-vektor dalam \(F[x]\) tidak lain adalah polinomial, dan penjumlahan vektor tidak lain adalah penjumlahan polinomial. Jika \(\alpha \in F\) dan \(p(x) \in F[x]\text{,}\) maka perkalian skalar didefinisikan sebagai \(\alpha p(x)\text{.}\)

Contoh 20.1.3.

Himpunan semua fungsi kontinu bernilai real pada interval tertutup \([a,b]\) merupakan ruang vektor atas \({\mathbb R}\text{.}\) Jika \(f(x)\) dan \(g(x)\) kontinu pada \([a, b]\text{,}\) maka \((f+g)(x)\) didefinisikan sebagai \(f(x) + g(x)\text{.}\) Perkalian skalar didefinisikan oleh \((\alpha f)(x) = \alpha f(x)\) untuk \(\alpha \in {\mathbb R}\text{.}\) Sebagai contoh, jika \(f(x) = \sin x\) dan \(g(x)= x^2\text{,}\) maka \((2f + 5g)(x) =2 \sin x + 5 x^2\text{.}\)

Contoh 20.1.4.

Misalkan \(V = {\mathbb Q}(\sqrt{2}\, ) = \{ a + b \sqrt{2} : a, b \in {\mathbb Q } \}\text{.}\) Maka \(V\) merupakan ruang vektor atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Jika \(u = a + b \sqrt{2}\) dan \(v = c + d \sqrt{2}\text{,}\) maka \(u + v = (a + c) + (b + d ) \sqrt{2}\) kembali berada dalam \(V\text{.}\) Selain itu, untuk \(\alpha \in {\mathbb Q}\text{,}\) \(\alpha v\) berada dalam \(V\text{.}\) Verifikasi bahwa semua aksioma ruang vektor berlaku untuk \(V\) diserahkan sebagai latihan.

Bukti.
Untuk membuktikan (1), perhatikan bahwa
\begin{equation*} 0 v = (0 + 0)v = 0v + 0v; \end{equation*}
akibatnya, \({\mathbf 0} + 0 v = 0v + 0v\text{.}\) Karena \(V\) merupakan grup abelian, \({\mathbf 0} = 0v\text{.}\)
Pembuktian (2) hampir identik dengan pembuktian (1). Untuk (3), pernyataan tersebut langsung benar jika \(\alpha = 0\text{.}\) Andaikan \(\alpha \neq 0\text{.}\) Dengan mengalikan kedua ruas \(\alpha v = {\mathbf 0}\) dengan \(1/ \alpha\text{,}\) kita memperoleh \(v = {\mathbf 0}\text{.}\)
Untuk menunjukkan (4), perhatikan bahwa
\begin{equation*} v + (-1)v = 1v + (-1)v = (1-1)v = 0v = {\mathbf 0}\text{,} \end{equation*}
sehingga \(-v = (-1)v\text{.}\) Pembuktian (5) diserahkan sebagai latihan.
Sblm.Paling AtasLanjut