Proposisi 22.1.1.
Jika \(F\) merupakan lapangan hingga, maka karakteristik \(F\) adalah \(p\text{,}\) dengan \(p\) prima.
Bagian 22.1 Struktur Lapangan Hingga
Ingat bahwa lapangan \(F\) mempunyai karakteristik \(p\) jika \(p\) merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga untuk setiap elemen tak nol \(\alpha\) dalam \(F\text{,}\) berlaku \(p \alpha = 0\text{.}\) Jika bilangan bulat semacam itu tidak ada, maka \(F\) berkarakteristik \(0\text{.}\) Dari Teorema 16.2.8 kita mengetahui bahwa \(p\) harus prima. Andaikan \(F\) suatu lapangan hingga dengan \(n\) elemen. Maka \(n \alpha = 0\) untuk semua \(\alpha\) dalam \(F\text{.}\) Akibatnya, karakteristik \(F\) haruslah \(p\text{,}\) dengan \(p\) suatu prima yang membagi \(n\text{.}\) Pembahasan ini dirangkum dalam proposisi berikut.
Sepanjang bab ini kita akan mengandaikan bahwa \(p\) merupakan bilangan prima, kecuali dinyatakan lain.
Proposisi 22.1.2.
Jika \(F\) merupakan lapangan hingga berkarakteristik \(p\text{,}\) maka orde \(F\) adalah \(p^n\) untuk suatu \(n \in {\mathbb N}\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow F\) homomorfisma gelanggang yang didefinisikan oleh \(\phi(n) = n \cdot 1\text{.}\) Karena karakteristik \(F\) adalah \(p\text{,}\) kernel \(\phi\) haruslah \(p {\mathbb Z}\) dan citra \(\phi\) harus merupakan sublapangan dari \(F\) yang isomorfik dengan \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Sublapangan ini akan kita nyatakan dengan \(K\text{.}\) Karena \(F\) merupakan lapangan hingga, lapangan tersebut harus merupakan perluasan hingga dari \(K\) dan, oleh karena itu, perluasan aljabar dari \(K\text{.}\) Andaikan bahwa \([F : K] = n\) merupakan dimensi \(F\text{,}\) dengan \(F\) sebagai ruang vektor atas \(K\text{.}\) Harus terdapat elemen-elemen \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F\) sedemikian sehingga sebarang elemen \(\alpha\) dalam \(F\) dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk
\begin{equation*}
\alpha = a_1 \alpha_1 + \cdots + a_n \alpha_n\text{,}
\end{equation*}
dengan \(a_i\) berada dalam \(K\text{.}\) Karena terdapat \(p\) elemen dalam \(K\text{,}\) terdapat \(p^n\) kombinasi linear yang mungkin dari \(\alpha_i\text{.}\) Oleh karena itu, orde \(F\) haruslah \(p^n\text{.}\)
Lema 22.1.3. Impian Mahasiswa Baru.
Misalkan \(p\) prima dan \(D\) suatu daerah integral berkarakteristik \(p\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
a^{p^n} + b^{p^n} = (a + b)^{p^n}
\end{equation*}
untuk semua bilangan bulat positif \(n\text{.}\)
Bukti.
Kita akan membuktikan lema ini dengan induksi matematika pada \(n\text{.}\) Kita dapat menggunakan rumus binomial (lihat Contoh 2.1.4) untuk memverifikasi kasus \(n = 1\text{;}\) yaitu,
\begin{equation*}
(a + b)^p = \sum_{k = 0}^{p} \binom{p}{k} a^k b^{p - k}\text{.}
\end{equation*}
Jika \(0 \lt k \lt p\text{,}\) maka
\begin{equation*}
\binom{p}{k} = \frac{p!}{k!(p - k)!}
\end{equation*}
harus dapat dibagi oleh \(p\text{,}\) karena \(p\) tidak dapat membagi \(k!(p - k)!\text{.}\) Perhatikan bahwa \(D\) merupakan daerah integral berkarakteristik \(p\text{,}\) sehingga semua suku dalam jumlah tersebut, kecuali suku pertama dan terakhir, harus nol. Oleh karena itu, \((a + b)^p = a^p + b^p\text{.}\)
Sekarang andaikan bahwa hasil tersebut berlaku untuk semua \(k\text{,}\) dengan \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Berdasarkan hipotesis induksi,
\begin{equation*}
(a + b)^{p^{n + 1}} = ((a + b)^p)^{p^{n}} = (a^p + b^p)^{p^{n}} = (a^p)^{p^{n}} + (b^p)^{p^{n}} = a^{p^{n + 1}} + b^{p^{n + 1}}\text{.}
\end{equation*}
Oleh karena itu, lema tersebut benar untuk \(n + 1\) dan bukti selesai.
Misalkan \(F\) suatu lapangan. Polinomial \(f(x) \in F[x]\) berderajat \(n\) disebut separabel jika polinomial tersebut mempunyai \(n\) akar berbeda dalam lapangan pemisah dari \(f(x)\text{;}\) artinya, \(f(x)\) separabel apabila dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor linear berbeda di atas lapangan pemisah dari \(f\text{.}\) Suatu perluasan \(E\) dari \(F\) merupakan perluasan separabel dari \(F\) jika setiap elemen dalam \(E\) merupakan akar dari polinomial separabel dalam \(F[x]\text{.}\)
Contoh 22.1.4.
Polinomial \(x^2 - 2\) separabel di atas \({\mathbb Q}\) karena dapat difaktorkan sebagai \((x - \sqrt{2}\, )(x + \sqrt{2}\, )\text{.}\) Bahkan, \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\) merupakan perluasan separabel dari \({\mathbb Q}\text{.}\) Misalkan \(\alpha = a + b \sqrt{2}\) sebarang elemen dalam \({\mathbb Q}(\sqrt{2}\, )\text{.}\) Jika \(b = 0\text{,}\) maka \(\alpha\) merupakan akar dari \(x - a\text{.}\) Jika \(b \neq 0\text{,}\) maka \(\alpha\) merupakan akar dari polinomial separabel
\begin{equation*}
x^2 - 2 a x + a^2 - 2 b^2 = (x - (a + b \sqrt{2}\, ))(x - (a - b \sqrt{2}\, ))\text{.}
\end{equation*}
Untungnya, kita mempunyai uji yang mudah untuk menentukan separabilitas sebarang polinomial. Misalkan
\begin{equation*}
f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n
\end{equation*}
sebarang polinomial dalam \(F[x]\text{.}\) Definisikan turunan dari \(f(x)\) sebagai
\begin{equation*}
f'(x) = a_1 + 2 a_2 x + \cdots + n a_n x^{n - 1}\text{.}
\end{equation*}
Lema 22.1.5.
Misalkan \(F\) suatu lapangan dan \(f(x) \in F[x]\text{.}\) Maka \(f(x)\) separabel jika dan hanya jika \(f(x)\) dan \(f'(x)\) relatif prima.
Bukti.
Misalkan \(f(x)\) separabel. Maka \(f(x)\) dapat difaktorkan di atas suatu lapangan perluasan dari \(F\) sebagai \(f(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\text{,}\) dengan \(\alpha_i \neq \alpha_j\) untuk \(i \neq j\text{.}\) Dengan mengambil turunan \(f(x)\text{,}\) kita melihat bahwa
\begin{align*}
f'(x) & = (x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)\\
& + (x - \alpha_1) (x - \alpha_3) \cdots (x - \alpha_n)\\
& + \cdots + (x - \alpha_1) \cdots (x - \alpha_{n - 1})\text{.}
\end{align*}
Jadi, \(f(x)\) dan \(f'(x)\) tidak mungkin mempunyai faktor persekutuan.
Untuk membuktikan kebalikannya, kita akan menunjukkan bahwa kontraposisi pernyataan tersebut benar. Andaikan bahwa \(f(x) = (x - \alpha)^k g(x)\text{,}\) dengan \(k \gt 1\text{.}\) Dengan menurunkannya, kita memperoleh
\begin{equation*}
f'(x) = k ( x - \alpha)^{k-1} g(x) + (x- \alpha)^k g'(x)\text{.}
\end{equation*}
Oleh karena itu, \(f(x)\) dan \(f'(x)\) mempunyai faktor persekutuan.
Teorema 22.1.6.
Untuk setiap prima \(p\) dan setiap bilangan bulat positif \(n\text{,}\) terdapat lapangan hingga \(F\) dengan \(p^n\) elemen. Lebih lanjut, setiap lapangan berorde \(p^n\) isomorfik dengan lapangan pemisah dari \(x^{p^n} -x\) di atas \({\mathbb Z}_p\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(f(x) = x^{p^n} - x\) dan misalkan \(F\) lapangan pemisah dari \(f(x)\text{.}\) Maka menurut Lema 22.1.5, \(f(x)\) mempunyai \(p^n\) akar berbeda dalam \(F\text{,}\) karena \(f'(x) = p^n x^{p^n - 1} - 1 = -1\) relatif prima dengan \(f(x)\text{.}\) Kita mengklaim bahwa akar-akar \(f(x)\) membentuk sublapangan dari \(F\text{.}\) Jelas bahwa 0 dan 1 merupakan akar dari \(f(x)\text{.}\) Jika \(\alpha\) dan \(\beta\) merupakan akar dari \(f(x)\text{,}\) maka \(\alpha + \beta\) dan \(\alpha \beta\) juga merupakan akar dari \(f(x)\text{,}\) karena \(\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = (\alpha + \beta)^{p^n}\) dan \(\alpha^{p^n} \beta^{p^n} = (\alpha \beta)^{p^n}\text{.}\) Kita juga perlu menunjukkan bahwa invers aditif dan invers multiplikatif dari setiap akar \(f(x)\) merupakan akar dari \(f(x)\text{.}\) Untuk sebarang akar \(\alpha\) dari \(f(x)\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(-\alpha\) juga merupakan akar dari \(f(x)\text{,}\) karena
\begin{equation*}
f(-\alpha) = (-\alpha)^{p^n} - (-\alpha) = -\alpha^{p^n} + \alpha = -(\alpha^{p^n} - \alpha) = 0\text{,}
\end{equation*}
asalkan \(p\) ganjil. Jika \(p = 2\text{,}\) maka
\begin{equation*}
f(-\alpha) = (-\alpha)^{2^n} - (-\alpha) = \alpha + \alpha = 0\text{.}
\end{equation*}
Jika \(\alpha \neq 0\text{,}\) maka \((\alpha^{-1})^{p^n} = (\alpha^{p^n})^{-1} = \alpha^{-1}\text{.}\) Karena akar-akar \(f(x)\) membentuk sublapangan dari \(F\) dan \(f(x)\) terurai dalam sublapangan ini, sublapangan tersebut haruslah seluruh \(F\text{.}\)
Misalkan \(E\) sebarang lapangan lain berorde \(p^n\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(E\) isomorfik dengan \(F\text{,}\) kita harus menunjukkan bahwa setiap elemen dalam \(E\) merupakan akar dari \(f(x)\text{.}\) Jelas bahwa 0 merupakan akar dari \(f(x)\text{.}\) Misalkan \(\alpha\) elemen tak nol dari \(E\text{.}\) Orde grup multiplikatif elemen tak nol dari \(E\) adalah \(p^n-1\text{;}\) jadi, \(\alpha^{p^n-1} =1\) atau \(\alpha^{p^n} -\alpha = 0\text{.}\) Karena \(E\) memuat \(p^n\) elemen, \(E\) harus merupakan lapangan pemisah dari \(f(x)\text{;}\) tetapi, menurut Korolari 21.2.8, lapangan pemisah sebarang polinomial tunggal hingga isomorfisma.
Lapangan hingga tunggal dengan \(p^n\) elemen disebut lapangan Galois berorde \(p^n\text{.}\) Lapangan ini akan kita nyatakan dengan \(\gf(p^n)\text{.}\)
Teorema 22.1.7.
Setiap sublapangan dari lapangan Galois \(\gf(p^n)\) mempunyai \(p^m\) elemen, dengan \(m\) membagi \(n\text{.}\) Sebaliknya, jika \(m \mid n\) untuk \(m \gt 0\text{,}\) maka terdapat sublapangan tunggal dari \(\gf(p^n)\) yang isomorfik dengan \(\gf(p^m)\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(F\) sublapangan dari \(E = \gf(p^n)\text{.}\) Maka \(F\) harus merupakan perluasan lapangan dari \(K\) yang memuat \(p^m\) elemen, dengan \(K\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Maka \(m \mid n\text{,}\) karena \([E:K] = [E:F][F:K]\text{.}\)
Untuk membuktikan kebalikannya, andaikan bahwa \(m \mid n\) untuk suatu \(m \gt 0\text{.}\) Maka \(p^m -1\) membagi \(p^n -1\text{.}\) Akibatnya, \(x^{p^m -1} - 1\) membagi \(x^{p^n -1} -1\text{.}\) Oleh karena itu, \(x^{p^m} - x\) harus membagi \(x^{p^n} - x\text{,}\) dan setiap akar dari \(x^{p^m} - x\) juga merupakan akar dari \(x^{p^n} - x\text{.}\) Dengan demikian, \(\gf(p^n)\) memuat, sebagai sublapangan, suatu lapangan pemisah dari \(x^{p^m} - x\text{,}\) yang harus isomorfik dengan \(\gf(p^m)\text{.}\)
Contoh 22.1.8.
Kisi sublapangan dari \(\gf(p^{24})\) diberikan dalam Gambar 22.1.9.
Untuk setiap lapangan \(F\text{,}\) kita mempunyai grup multiplikatif elemen tak nol dari \(F\) yang akan kita nyatakan dengan \(F^*\text{.}\) Grup multiplikatif sebarang lapangan hingga bersifat siklik. Hasil ini mengikuti hasil yang lebih umum yang akan kita buktikan dalam teorema berikut.
Teorema 22.1.10.
Jika \(G\) merupakan subgrup hingga dari \(F^\ast\text{,}\) yaitu grup multiplikatif elemen tak nol dari lapangan \(F\text{,}\) maka \(G\) bersifat siklik.
Bukti.
Misalkan \(G\) subgrup hingga dari \(F^\ast\) yang berorde \(n\text{.}\) Menurut Teorema Dasar Grup Abelian Hingga (Teorema 13.1.4),
\begin{equation*}
G \cong {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}\text{,}
\end{equation*}
dengan \(n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}\) dan \(p_1, \ldots,
p_k\) merupakan prima (yang tidak harus berbeda). Misalkan \(m\) kelipatan persekutuan terkecil dari \(p_1^{e_1}, \ldots,
p_k^{e_k}\text{.}\) Maka \(G\) memuat elemen berorde \(m\text{.}\) Karena setiap \(\alpha\) dalam \(G\) memenuhi \(x^r - 1\) untuk suatu \(r\) yang membagi \(m\text{,}\) \(\alpha\) juga harus merupakan akar dari \(x^m - 1\text{.}\) Karena \(x^m -1\) mempunyai paling banyak \(m\) akar dalam \(F\text{,}\) \(n \leq m\text{.}\) Di sisi lain, kita mengetahui bahwa \(m \leq |G|\text{;}\) oleh karena itu, \(m = n\text{.}\) Dengan demikian, \(G\) memuat elemen berorde \(n\) dan harus bersifat siklik.
Korolari 22.1.11.
Grup multiplikatif semua elemen tak nol dari suatu lapangan hingga bersifat siklik.
Korolari 22.1.12.
Setiap perluasan hingga \(E\) dari lapangan hingga \(F\) merupakan perluasan sederhana dari \(F\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(\alpha\) pembangkit bagi grup siklik \(E^{\ast}\) dari elemen-elemen tak nol \(E\text{.}\) Maka \(E = F( \alpha )\text{.}\)
Contoh 22.1.13.
Lapangan hingga \(\gf(2^4)\) isomorfik dengan lapangan \({\mathbb Z}_2[x]/ \langle 1 + x + x^4 \rangle\text{.}\) Oleh karena itu, elemen-elemen \(\gf(2^4)\) dapat diambil sebagai
\begin{equation*}
\{ a_0 + a_1 \alpha + a_2 \alpha^2 + a_3 \alpha^3 : a_i \in {\mathbb Z}_2 \text{ dan } 1 + \alpha + \alpha^4 = 0 \}\text{.}
\end{equation*}
Dengan mengingat bahwa \(1 + \alpha +\alpha^4 = 0\text{,}\) kita menjumlahkan dan mengalikan elemen-elemen \(\gf(2^4)\) tepat seperti kita menjumlahkan dan mengalikan polinomial. Grup multiplikatif \(\gf(2^4)\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_{15}\) dengan pembangkit \(\alpha\text{:}\)
\begin{align*}
& \alpha^1 = \alpha & & \alpha^6 = \alpha^2 + \alpha^3 & & \alpha^{11} = \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 &\\
& \alpha^2 = \alpha^2 & & \alpha^7 = 1 + \alpha + \alpha^3 & & \alpha^{12} = 1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 &\\
& \alpha^3 = \alpha^3 & & \alpha^8 = 1 + \alpha^2 & & \alpha^{13} = 1 + \alpha^2 + \alpha^3 &\\
& \alpha^4 = 1 + \alpha & & \alpha^9 = \alpha + \alpha^3 & & \alpha^{14} = 1 + \alpha^3 &\\
&\alpha^5 = \alpha + \alpha^2 & & \alpha^{10} = 1 + \alpha + \alpha^2 & & \alpha^{15} = 1. &
\end{align*}
