Lewati ke konten utama

Bagian 23.2 Teorema Fundamental

Tujuan bagian ini adalah membuktikan Teorema Fundamental Teori Galois. Teorema ini menjelaskan hubungan antara subgrup-subgrup \(G(E/F)\) dan lapangan-lapangan antara \(E\) dan \(F\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(\sigma_i(a) = a\) dan \(\sigma_i(b)=b\text{.}\) Maka
\begin{equation*} \sigma_i(a \pm b) = \sigma_i(a) \pm \sigma_i(b) = a \pm b \end{equation*}
dan
\begin{equation*} \sigma_i(a b) = \sigma_i(a) \sigma_i(b) = a b\text{.} \end{equation*}
Jika \(a \neq 0\text{,}\) maka \(\sigma_i(a^{-1}) = [\sigma_i(a)]^{-1} = a^{-1}\text{.}\) Terakhir, \(\sigma_i(0) = 0\) dan \(\sigma_i(1)=1\) karena \(\sigma_i\) merupakan automorfisme.
Sublapangan \(F_{ \{\sigma_i \} }\) dari \(F\) disebut lapangan tetap dari \(\{ \sigma_i \}\text{.}\) Lapangan yang ditetapkan oleh subgrup \(G\) dari \(\aut(F)\) akan dinotasikan dengan \(F_G\text{.}\)

Contoh 23.2.3.

Misalkan \(\sigma : {\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) \rightarrow {\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) automorfisme yang memetakan \(\sqrt{3}\) ke \(-\sqrt{3}\text{.}\) Maka \({\mathbb Q}( \sqrt{5}\, )\) merupakan sublapangan dari \({\mathbb Q}(\sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) yang ditetapkan oleh \(\sigma\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \(G = G(E/F)\text{.}\) Jelas bahwa \(F \subset E_G \subset E\text{.}\) Selain itu, \(E\) harus merupakan lapangan pemisah atas \(E_G\) dan \(G(E/F) = G(E/E_G)\text{.}\) Menurut Teorema 23.1.7,
\begin{equation*} |G| = [E: E_G] =[ E:F]\text{.} \end{equation*}
Oleh karena itu, \([E_G : F ] =1\text{.}\) Akibatnya, \(E_G = F\text{.}\)
Banyak matematikawan pertama kali mempelajari teori Galois dari monograf Emil Artin mengenai pokok ini [1]. Bukti yang sangat cerdik untuk lema berikut berasal dari Artin.

Bukti.
Misalkan \(|G| = n\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa setiap himpunan yang terdiri atas \(n + 1\) elemen \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n + 1}\) dalam \(E\) bergantung linear atas \(F\text{;}\) yaitu, kita perlu menemukan elemen-elemen \(a_i \in F\text{,}\) yang tidak semuanya nol, sedemikian sehingga
\begin{equation*} a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + \cdots + a_{n + 1} \alpha_{n + 1} = 0\text{.} \end{equation*}
Misalkan \(\sigma_1 = \identity, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\) adalah automorfisme-automorfisme dalam \(G\text{.}\) Sistem persamaan linear homogen
\begin{align*} \sigma_1( \alpha_1 ) x_1 + \sigma_1(\alpha_2) x_2 + \cdots + \sigma_1(\alpha_{n + 1} ) x_{n + 1} & = 0\\ \sigma_2( \alpha_1 ) x_1 + \sigma_2(\alpha_2) x_2 + \cdots + \sigma_2(\alpha_{n + 1} ) x_{n + 1} & = 0\\ & \vdots &\\ \sigma_n( \alpha_1 ) x_1 + \sigma_n(\alpha_2) x_2 + \cdots + \sigma_n(\alpha_{n + 1} ) x_{n + 1} & = 0 \end{align*}
memiliki lebih banyak variabel yang tidak diketahui daripada persamaan. Dari aljabar linear kita mengetahui bahwa sistem ini memiliki solusi taktrivial, misalnya \(x_i = a_i\) untuk \(i = 1, 2, \ldots, n + 1\text{.}\) Karena \(\sigma_1\) adalah identitas, persamaan pertama menjadi
\begin{equation*} a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + \cdots + a_{n + 1} \alpha_{n + 1} = 0\text{.} \end{equation*}
Masalahnya adalah beberapa \(a_i\) mungkin berada dalam \(E\text{,}\) tetapi tidak dalam \(F\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa hal ini mustahil.
Misalkan sekurang-kurangnya salah satu \(a_i\) berada dalam \(E\text{,}\) tetapi tidak dalam \(F\text{.}\) Dengan mengurutkan ulang \(\alpha_i\text{,}\) kita boleh mengasumsikan bahwa \(a_1\) taknol. Karena setiap kelipatan taknol dari suatu solusi juga merupakan solusi, kita juga dapat mengasumsikan bahwa \(a_1 = 1\text{.}\) Di antara semua solusi yang memenuhi deskripsi ini, kita pilih solusi dengan jumlah suku taknol paling sedikit. Sekali lagi, dengan mengurutkan ulang \(\alpha_2, \ldots, \alpha_{n + 1}\) jika perlu, kita dapat mengasumsikan bahwa \(a_2\) berada dalam \(E\text{,}\) tetapi tidak dalam \(F\text{.}\) Karena \(F\) adalah sublapangan dari \(E\) yang setiap elemennya ditetapkan oleh \(G\text{,}\) terdapat \(\sigma_i\) dalam \(G\) sedemikian sehingga \(\sigma_i( a_2 ) \neq a_2\text{.}\) Dengan menerapkan \(\sigma_i\) pada setiap persamaan dalam sistem tersebut, kita memperoleh sistem homogen yang sama, karena \(G\) adalah suatu grup. Oleh karena itu, \(x_1 = \sigma_i(a_1) = 1\text{,}\) \(x_2 = \sigma_i(a_2)\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(x_{n + 1} = \sigma_i(a_{n+1} )\) juga merupakan solusi dari sistem semula. Kita mengetahui bahwa kombinasi linear dari dua solusi suatu sistem homogen juga merupakan solusi; akibatnya,
\begin{align*} x_1 & = 1 -1 = 0\\ x_2 & = a_2 - \sigma_i(a_2)\\ & \vdots &\\ x_{n + 1} & = a_{n + 1} - \sigma_i(a_{n + 1}) \end{align*}
harus merupakan solusi lain dari sistem tersebut. Ini adalah solusi taktrivial karena \(\sigma_i( a_2 ) \neq a_2\text{,}\) dan memiliki lebih sedikit entri taknol daripada solusi semula. Ini merupakan kontradiksi, karena jumlah entri taknol dalam solusi semula diasumsikan minimal. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa \(a_1, \ldots, a_{n + 1} \in F\text{.}\)
Misalkan \(E\) suatu perluasan aljabar dari \(F\text{.}\) Jika setiap polinomial taktereduksi dalam \(F[x]\) yang memiliki sebuah akar dalam \(E\) memiliki semua akarnya dalam \(E\text{,}\) maka \(E\) disebut perluasan normal dari \(F\text{;}\) yaitu, setiap polinomial taktereduksi dalam \(F[x]\) yang memiliki sebuah akar dalam \(E\) merupakan hasil kali faktor-faktor linear dalam \(E[x]\text{.}\)

Bukti.
(1) \(\Rightarrow\) (2). Misalkan \(E\) suatu perluasan hingga, normal, dan separabel dari \(F\text{.}\) Menurut Teorema Elemen Primitif, kita dapat menemukan \(\alpha\) dalam \(E\) sedemikian sehingga \(E = F(\alpha)\text{.}\) Misalkan \(f(x)\) polinomial minimal dari \(\alpha\) atas \(F\text{.}\) Lapangan \(E\) harus memuat semua akar \(f(x)\) karena merupakan perluasan normal dari \(F\text{;}\) jadi, \(E\) merupakan lapangan pemisah untuk \(f(x)\text{.}\)
(2) \(\Rightarrow\) (3). Misalkan \(E\) lapangan pemisah atas \(F\) dari suatu polinomial separabel. Menurut Proposisi 23.2.4, \(E_{G(E/F)} = F\text{.}\) Karena \(| G(E/F)| = [E:F]\text{,}\) grup ini hingga.
(3) \(\Rightarrow\) (1). Misalkan \(F = E_G\) untuk suatu grup hingga automorfisme \(G\) dari \(E\text{.}\) Karena \([E:F] \leq |G|\text{,}\) \(E\) merupakan perluasan hingga dari \(F\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(E\) merupakan perluasan hingga dan normal dari \(F\text{,}\) misalkan \(f(x) \in F[x]\) suatu polinomial monik taktereduksi yang memiliki akar \(\alpha\) dalam \(E\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa \(f(x)\) merupakan hasil kali faktor-faktor linear berbeda dalam \(E[x]\text{.}\) Menurut Proposisi 23.1.5, automorfisme-automorfisme dalam \(G\) mempermutasikan akar-akar \(f(x)\) yang berada dalam \(E\text{.}\) Jadi, jika kita membiarkan \(G\) bertindak pada \(\alpha\text{,}\) kita memperoleh akar-akar berbeda \(\alpha_1 = \alpha, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) dalam \(E\text{.}\) Misalkan \(g(x) = \prod_{i = 1}^{n} (x -\alpha_i)\text{.}\) Maka \(g(x)\) separabel atas \(F\) dan \(g( \alpha ) = 0\text{.}\) Setiap automorfisme \(\sigma\) dalam \(G\) mempermutasikan faktor-faktor \(g(x)\) karena mempermutasikan akar-akar tersebut; jadi, ketika \(\sigma\) bertindak pada \(g(x)\text{,}\) automorfisme itu harus menetapkan koefisien-koefisien \(g(x)\text{.}\) Oleh karena itu, koefisien-koefisien \(g(x)\) harus berada dalam \(F\text{.}\) Karena \(\deg g(x) \leq \deg f(x)\) dan \(f(x)\) adalah polinomial minimal dari \(\alpha\text{,}\) diperoleh \(f(x) = g(x)\text{.}\)

Bukti.
Karena \(F = K_G\text{,}\) \(G\) merupakan subgrup dari \(G(K/F)\text{.}\) Jadi,
\begin{equation*} [K : F ] \leq |G| \leq |G(K/F)| = [K:F]\text{.} \end{equation*}
Dengan demikian, \(G = G(K/F)\text{,}\) karena keduanya harus memiliki orde yang sama.
Sebelum menentukan korespondensi yang tepat antara perluasan lapangan dan automorfisme lapangan, mari kita kembali ke sebuah contoh yang sudah dikenal.

Contoh 23.2.8.

Dalam Contoh 23.1.4 kita telah menelaah automorfisme-automorfisme dari \({\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, )\) yang menetapkan \({\mathbb Q}\text{.}\) Gambar 23.2.9 membandingkan kisi perluasan lapangan dari \({\mathbb Q}\) dengan kisi subgrup dari \(G( {\mathbb Q}( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) /{\mathbb Q})\text{.}\) Teorema Fundamental Teori Galois menjelaskan hubungan antara kedua kisi tersebut.
Graf tersebut merupakan kisi subgrup dari grup (identitas, sigma, tau, mu). Grup (identitas, sigma, tau, mu) memiliki subgrup (identitas, sigma), (identitas, tau), dan (identitas, mu). Pada tingkat ketiga terdapat subgrup (identitas), yang termuat dalam semua subgrup.
Graf tersebut merupakan kisi sublapangan dari bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari tiga dan akar kuadrat dari lima. Lapangan bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari tiga dan akar kuadrat dari lima memiliki sublapangan bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari tiga, bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari lima, dan bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari lima belas. Pada tingkat ketiga terdapat bilangan rasional yang termuat dalam semua lapangan di atasnya.
Gambar 23.2.9. \(G({\mathbb Q( \sqrt{3}, \sqrt{5}\, ) / {\mathbb Q})}\)
Sekarang kita siap untuk menyatakan dan membuktikan Teorema Fundamental Teori Galois.

Bukti.
(1) Misalkan \(G(E/K) = G(E/L) = G\text{.}\) Baik \(K\) maupun \(L\) merupakan lapangan tetap dari \(G\text{;}\) jadi, \(K=L\) dan pemetaan yang didefinisikan oleh \(K \mapsto G(E/K)\) bersifat satu-ke-satu. Untuk menunjukkan bahwa pemetaan tersebut bersifat pada, misalkan \(G\) suatu subgrup dari \(G(E/F)\) dan \(K\) lapangan yang ditetapkan oleh \(G\text{.}\) Maka \(F \subset K \subset E\text{;}\) akibatnya, \(E\) merupakan perluasan normal dari \(K\text{.}\) Jadi, \(G(E/K) = G\) dan pemetaan \(K \mapsto G(E/K)\) merupakan bijeksi.
(2) Menurut Teorema Teorema 23.1.7, \(|G(E/K)| = [E:K]\text{;}\) oleh karena itu,
\begin{equation*} |G(E/F)| = [G(E/F):G(E/K)] \cdot |G(E/K)| = [E:F] = [E:K][K:F]\text{.} \end{equation*}
Jadi, \([K:F] = [G(E/F):G(E/K)]\text{.}\)
Pernyataan (3) diilustrasikan dalam Gambar 23.2.11. Bukti sifat ini diserahkan sebagai latihan.
(4) Bagian ini memerlukan sedikit lebih banyak usaha. Misalkan \(K\) suatu perluasan normal dari \(F\text{.}\) Jika \(\sigma\) berada dalam \(G(E/F)\) dan \(\tau\) berada dalam \(G(E/K)\text{,}\) kita perlu menunjukkan bahwa \(\sigma^{-1} \tau \sigma\) berada dalam \(G(E/K)\text{;}\) yaitu, kita perlu menunjukkan bahwa \(\sigma^{-1} \tau \sigma( \alpha) = \alpha\) untuk semua \(\alpha \in K\text{.}\) Misalkan \(f(x)\) polinomial minimal dari \(\alpha\) atas \(F\text{.}\) Maka \(\sigma( \alpha )\) juga merupakan akar dari \(f(x)\) yang berada dalam \(K\text{,}\) karena \(K\) merupakan perluasan normal dari \(F\text{.}\) Jadi, \(\tau( \sigma( \alpha )) = \sigma( \alpha )\) atau \(\sigma^{-1} \tau \sigma( \alpha) = \alpha\text{.}\)
Sebaliknya, misalkan \(G(E/K)\) suatu subgrup normal dari \(G(E/F)\text{.}\) Kita perlu menunjukkan bahwa \(F = K_{G(K/F)}\text{.}\) Misalkan \(\tau \in G(E/K)\text{.}\) Untuk semua \(\sigma \in G(E/F)\text{,}\) terdapat \(\overline{\tau} \in G(E/K)\) sedemikian sehingga \(\tau \sigma = \sigma \overline{\tau}\text{.}\) Akibatnya, untuk semua \(\alpha \in K\text{,}\)
\begin{equation*} \tau( \sigma( \alpha ) ) = \sigma( \overline{\tau}( \alpha ) ) = \sigma( \alpha ); \end{equation*}
jadi, \(\sigma( \alpha )\) harus berada dalam lapangan tetap dari \(G(E/K)\text{.}\) Misalkan \(\overline{\sigma}\) pembatasan \(\sigma\) pada \(K\text{.}\) Maka \(\overline{\sigma}\) merupakan automorfisme dari \(K\) yang menetapkan \(F\text{,}\) karena \(\sigma( \alpha ) \in K\) untuk semua \(\alpha \in K\text{;}\) jadi, \(\overline{\sigma} \in G(K/F)\text{.}\) Selanjutnya, kita akan menunjukkan bahwa lapangan tetap dari \(G(K/F)\) adalah \(F\text{.}\) Misalkan \(\beta\) suatu elemen dalam \(K\) yang ditetapkan oleh semua automorfisme dalam \(G(K/F)\text{.}\) Secara khusus, \(\overline{\sigma}(\beta) = \beta\) untuk semua \(\sigma \in G(E/F)\text{.}\) Oleh karena itu, \(\beta\) termasuk dalam lapangan tetap \(F\) dari \(G(E/F)\text{.}\)
Terakhir, kita harus menunjukkan bahwa apabila \(K\) merupakan perluasan normal dari \(F\text{,}\)
\begin{equation*} G(K/F) \cong G(E/F) / G(E/K)\text{.} \end{equation*}
Untuk \(\sigma \in G(E/F)\text{,}\) misalkan \(\sigma_K\) automorfisme dari \(K\) yang diperoleh dengan membatasi \(\sigma\) pada \(K\text{.}\) Karena \(K\) merupakan perluasan normal, argumen pada paragraf sebelumnya menunjukkan bahwa \(\sigma_K \in G( K/F)\text{.}\) Akibatnya, kita memiliki pemetaan \(\phi:G(E/F) \rightarrow G(K/F)\) yang didefinisikan oleh \(\sigma \mapsto \sigma_K\text{.}\) Pemetaan ini merupakan homomorfisma grup karena
\begin{equation*} \phi( \sigma \tau ) = (\sigma \tau)_K = \sigma_K \tau_K = \phi( \sigma) \phi( \tau )\text{.} \end{equation*}
Kernel dari \(\phi\) adalah \(G(E/K)\text{.}\) Menurut (2),
\begin{equation*} |G(E/F)| / |G(E/K)| = [K:F] = |G(K/F)|\text{.} \end{equation*}
Jadi, citra dari \(\phi\) adalah \(G(K/F)\) dan \(\phi\) bersifat pada. Dengan menerapkan Teorema Isomorfisma Pertama, diperoleh
\begin{equation*} G(K/F) \cong G(E/F) / G( E/K )\text{.} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{CD} E @>>> \{\text{id}\} \\ @AAA @VVV\\ L @>>> G(E/L) \\ @AAA @VVV\\ K @>>> G(E/K) \\ @AAA @VVV\\ F @>>> G(E/F) \end{CD} \end{equation*}
Gambar 23.2.11. Subgrup dari \(G(E/F)\) dan sublapangan dari \(E\)

Contoh 23.2.12.

Dalam contoh ini kita akan mengilustrasikan Teorema Fundamental Teori Galois dengan menentukan kisi subgrup dari grup Galois untuk \(f(x) = x^4 - 2\text{.}\) Kita akan membandingkan kisi ini dengan kisi perluasan lapangan dari \({\mathbb Q}\) yang termuat dalam lapangan pemisah dari \(x^4-2\text{.}\) Lapangan pemisah dari \(f(x)\) adalah \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\text{.}\) Untuk melihat hal ini, perhatikan bahwa \(f(x)\) dapat difaktorkan sebagai \((x^2 + \sqrt{2}\, )(x^2 - \sqrt{2}\, )\text{;}\) jadi, akar-akar dari \(f(x)\) adalah \(\pm \sqrt[4]{2}\) dan \(\pm \sqrt[4]{2}\, i\text{.}\) Pertama-tama kita adjoin akar \(\sqrt[4]{2}\) pada \({\mathbb Q}\text{,}\) lalu mengadjoin akar \(i\) dari \(x^2 + 1\) pada \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )\text{.}\) Dengan demikian, lapangan pemisah dari \(f(x)\) adalah \({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )(i) = {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\text{.}\)
Karena \([ {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}\, ) : {\mathbb Q}] = 4\) dan \(i\) tidak berada dalam \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}\, )\text{,}\) haruslah \([ {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i ): {\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )] = 2\text{.}\) Jadi, \([ {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i ):{\mathbb Q}] = 8\text{.}\) Himpunan
\begin{equation*} \{ 1, \sqrt[4]{2}, (\sqrt[4]{2}\, )^2, (\sqrt[4]{2}\, )^3, i, i \sqrt[4]{2}, i (\sqrt[4]{2}\, )^2, i(\sqrt[4]{2}\, )^3 \} \end{equation*}
merupakan basis dari \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\) atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Kisi perluasan lapangan dari \({\mathbb Q}\) yang termuat dalam \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i)\) diilustrasikan dalam Gambar 23.2.13(a).
Grup Galois \(G\) dari \(f(x)\) harus berorde \(8\text{.}\) Misalkan \(\sigma\) automorfisme yang didefinisikan oleh \(\sigma( \sqrt[4]{2}\, ) = i \sqrt[4]{2}\) dan \(\sigma( i ) = i\text{,}\) serta \(\tau\) automorfisme yang didefinisikan oleh konjugasi kompleks; yaitu, \(\tau(i ) = -i\text{.}\) Maka \(G\) memiliki suatu elemen berorde \(4\) dan suatu elemen berorde \(2\text{.}\) Mudah diverifikasi melalui perhitungan langsung bahwa elemen-elemen dari \(G\) adalah \(\{ \identity, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau, \sigma \tau, \sigma^2 \tau, \sigma^3 \tau \}\) dan bahwa relasi-relasi \(\tau^2 = \identity\text{,}\) \(\sigma^4 = \identity\text{,}\) dan \(\tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\) dipenuhi; jadi, \(G\) harus isomorfik dengan \(D_4\text{.}\) Kisi subgrup dari \(G\) diilustrasikan dalam Gambar 23.2.13(b).
Diagram atas merupakan kisi lapangan dan diagram bawah merupakan kisi grup yang bersesuaian. Di puncak kisi lapangan terdapat bilangan rasional yang diperluas dengan akar pangkat empat dari 2 dan i. Pada tingkat berikutnya terdapat lima sublapangan: bilangan rasional yang diperluas dengan akar pangkat empat dari 2, bilangan rasional yang diperluas dengan i kali akar pangkat empat dari 2, bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari 2 dan i, bilangan rasional yang diperluas dengan 1 ditambah i kali akar kuadrat dari 2, serta bilangan rasional yang diperluas dengan 1 dikurangi i kali akar kuadrat dari 2. Pada tingkat ketiga terdapat bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari 2, yang merupakan sublapangan dari bilangan rasional yang diperluas dengan akar pangkat empat dari 2, bilangan rasional yang diperluas dengan i kali akar pangkat empat dari 2, dan bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari 2 dan i. Terdapat bilangan rasional yang diperluas dengan i, yang merupakan sublapangan dari bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari 2 dan i. Terdapat bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari 2 kali i, yang merupakan sublapangan dari bilangan rasional yang diperluas dengan akar kuadrat dari 2 dan i, bilangan rasional yang diperluas dengan 1 ditambah i kali akar kuadrat dari 2, serta bilangan rasional yang diperluas dengan 1 dikurangi i kali akar kuadrat dari 2. Pada tingkat keempat terdapat bilangan rasional, yang merupakan sublapangan dari semua lapangan lainnya. Dalam kisi bawah terdapat grup dihedral D4 pada tingkat teratas. Tingkat berikutnya terdiri atas tiga subgrup: (identitas, sigma kuadrat, tau, sigma kuadrat kali tau), (identitas, sigma, sigma kuadrat, sigma pangkat tiga), dan (identitas, sigma kuadrat, sigma kali tau, sigma pangkat tiga kali tau). Tingkat ketiga terdiri atas lima subgrup. (identitas, tau) merupakan subgrup dari (identitas, sigma kuadrat, tau, sigma kuadrat kali tau). (identitas, sigma kuadrat kali tau) merupakan subgrup dari (identitas, sigma kuadrat, tau, sigma kuadrat kali tau). (identitas, sigma kuadrat) merupakan subgrup dari (identitas, sigma kuadrat, tau, sigma kuadrat kali tau), (identitas, sigma, sigma kuadrat, sigma pangkat tiga), dan (identitas, sigma kuadrat, sigma kali tau, sigma pangkat tiga kali tau). (identitas, sigma kali tau) merupakan subgrup dari (identitas, sigma kuadrat, sigma kali tau, sigma pangkat tiga kali tau). (identitas, sigma pangkat tiga kali tau) merupakan subgrup dari (identitas, sigma kuadrat, sigma kali tau, sigma pangkat tiga kali tau). Tingkat terbawah hanya memuat subgrup yang terdiri atas identitas, yang termuat dalam semua subgrup.
Gambar 23.2.13. Grup Galois dari \(x^4-2\)

Subbagian 23.2.1 Catatan Sejarah

Penyelesaian untuk persamaan kubik dan kuartik ditemukan pada tahun 1500-an. Upaya menemukan penyelesaian untuk persamaan kuintik membingungkan beberapa matematikawan terbaik sepanjang sejarah. Pada tahun 1798, P. Ruffini menyerahkan sebuah makalah yang menyatakan bahwa penyelesaian semacam itu tidak dapat ditemukan; namun, makalah tersebut tidak diterima dengan baik. Pada tahun 1826, Niels Henrik Abel (1802–1829) akhirnya memberikan bukti benar pertama bahwa persamaan kuintik tidak selalu dapat diselesaikan dengan radikal.
Abel mengilhami karya Évariste Galois. Lahir pada tahun 1811, Galois mulai menunjukkan bakat matematika yang luar biasa pada usia 14 tahun. Ia beberapa kali mendaftar ke École Polytechnique; namun, ia sangat kesulitan memenuhi persyaratan penerimaan formal, dan para penguji gagal mengenali kejeniusannya dalam matematika. Ia akhirnya diterima di École Normale pada tahun 1829.
Galois berupaya mengembangkan teori keterpecahan polinomial. Pada tahun 1829, ketika berusia 17 tahun, Galois menyerahkan dua makalah tentang penyelesaian persamaan aljabar kepada Académie des Sciences de Paris. Makalah-makalah tersebut dikirim kepada Cauchy, yang kemudian menghilangkannya. Makalah ketiga diserahkan kepada Fourier, yang meninggal sebelum sempat membacanya. Sebuah makalah lain diajukan, tetapi baru diterbitkan pada tahun 1846.
Simpati Galois terhadap demokrasi menyeretnya ke dalam Revolusi 1830. Ia dikeluarkan dari sekolah dan dipenjarakan karena keterlibatannya dalam pergolakan tersebut. Setelah dibebaskan pada tahun 1832, ia terseret ke dalam sebuah duel, mungkin akibat persoalan cinta. Karena yakin akan terbunuh, pada malam sebelum kematiannya ia merangkum karya dan gagasan dasar penelitiannya dalam sebuah surat panjang kepada sahabatnya, Chevalier. Ia benar-benar meninggal keesokan harinya, pada usia 20 tahun.
Sblm.Paling AtasLanjut